l).2fc

Faisant croître » indéfiniment, on trouve à la limite, d'après la formule de Wallis,

C»=J.4 = 2îr, C = {/2ii.

On a donc enfin

1.2.3.... « = \/2Ttnn*e 1J * comme nous l'avions annoncé. (P. M.).

NOTES MATHÉMATIQUES

x t*. Paradoxe mathématique. Si Ton élimine entre les deux équations

y = (0 — a)tg0, y = — (x — a) cote, (1)

en multipliant ces égalités membre à membre, on trouve

Mais si Ton écrit les équations (1) ainsi :

x sin — y cos = a sin 6, s cos + y sin 6 = a cos 0, (3)

et qu'on en fasse la somme des carrés, on obtient

x' + y' = a 2 . (4) Expliquer le paradoxe. (E. N. Barisien.)

Les équations (1) représentent, lorsque varie, deux droites rectangulaires mobiles autour du point (a, 0). Si Ton reste dans le domaine réel, le lieu de l'intersection de ces droites se réduit au point (a, 0). Mais chacune des droites isotropes (de coefficient angulaire db(/ — 1) menées par le point (a , 0) étant perpendiculaire à elle-même, on peut aussi dire que le lieu considéré se compose de l'ensemble de ces droites, représenté par l'équation (2).

Si l'on élève les équations (3) au carré et qu'on les ajoute ensuite membre à membre, on combine deux droites parallèles m et », menées par les points (a, 0) et (— a, 0), avec deux droites m f et »' menées par les mêmes points dans des directions respectivement perpendiculaires aux droites m et ». Les droites m et de même que les droites n et m\ se coupent sur le cercle (4). (J. N.)

18. Sur les triangles trihomologiques. A l'égard de l'article de M. Ripert sur les triangles trihomologiques (Mathesis, (2) X, p. 226), je remarque que tous les centres d'homologie, appartenant à un groupe de triangles trihomologiques deux à deux, inscrits à une même conique,

sont situés sur une même droite, et que les tangentes à la conique menées par les sommets de chaque triangle du groupe coupent les côtés opposés sur cette droite.

Il est évident que les centres d'homologie Si, S 2 , S s de deux triangles trihomologiques A,AîAi et BiB 2 B ( forment un triangle trihomologique à A|A a As, les centres d'homologie étant B,, B 2 , B 3 , et aussi à B|B t B 8 , les centres étant Ai, A 2 , A 5 . Quand les triangles A et B sont inscrits à une même conique 0, M. Ripert a trouvé que les coordonnées de Si, Ss, S 5 par rapport à A sont

Si oc^Xtf ûCs^j), Sa (#iA 5 , aa? 2 , asÀj), Si (<%i^î. a 2 Ai, agA*),

avec la condition 1\ + A 2 + A 8 = 0. On déduit de là facilement au moyen de ces coordonnées que Si, Sa, Ss se trouvent sur une droite. En se servant du théorème B de mon article (Mathesis (2) X, p. 154) et en remplaçant A, B, C, Si, Sa, Ss. A', B', C, 2 de ce théorème par Ai, Ai, As, Bi, B 2 , Bs, Si, S 2 , Ss, respectivement, on voit que les tangentes à menées par les sommets de A et de B coupent les côtés opposés sur la droite SiS 2 S s . Cette droite est évidemment la même pour tout couple du groupe de triangles inscrits à 0, trihomologiques deux à deux, dont A et B font partie. (J. A. Third.)

Autrement. Les couples AiBi, A 2 B 2 , A 5 B 3 appartiennent à une involution (Si) sur la conique. Dans cette involution, aux éléments doubles ai, a 2 de la projectivité cyclique (A|A 2 A 5 ) correspondent les éléments doubles |3i, f3 2 de la projectivité cyclique (BiB 2 B s ). Les sens correspondants A1A2A2 et BiB 2 B 5 permettent de distinguer les couples de points conjugués a t p{, <x 2 (3 2 , de l'involution (Si). De même, les couples A, B 2 . A t Bs, AsBi appartiennent à l'involution (S 2 ) sur la conique et les couples a,(3i, a 2 j3 2 sont conjugués dans cette involution, car les sens B 2 B s B t et B1B2B5 sont identiques. Les involutions (Si) et (S 2 ) étant distinctes, les couples £i(3i et a 2 (3a sont identiques; par suite, «1 = (3 2 , /3 t = a 2 . Ainsi les ternes AiAaA s , B,B 2 B 3 appartiennent à une même projectivité cyclique dont les éléments doubles a l9 a% sont situés sur la droite SiS 2 . Ce qui démontre le théorème de M. Third.

Dans la projectivité (A1B3, A*B,, A 5 B 2 ) les éléments imaginaires conjugués ai, a 2 sont correspondants ; par suite, les ponctuelles sont involutives et les droites A,B 2 , A 2 B 4 , A 8 B 2 concourent en un point Ss de la droite a ( a 2 ou SiS 2 . Ainsi les points Si, S 2 , S 2 sont en ligne droite.

(Servais.)

SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES

Question 9SO.

(Voir Mathesis (2) II, 80 et 125.)