II. Si « n tend vers zéro avec (1 : n), la série
*era convergente si le rapport (n a» : log n) tend vers une limite supérieure à 1, quand n est de plus en plus grand, divergente si ce rapport tend vers une limite inférieure à 1, ou s'il tend vers V unité, en lui restant sans cesse inférieur. (V. Jamet.)
Seconde solution par M. A. G. Joachimescu. Remarquons d'abord que les deux questions peuvent être ramenées à une seule. En effet, soit
h (log n : n)=
a n tend vers zéro avec (1 : ri), car
lim a n = lim == 0.
Donc
y/ Un = l — a n lu n =2(1 — a»)".
Pour prouver la convergence ou la divergence de cette dernière série, observons qu'on a :
(1) (1 -«„)» = [(l- an )y n °S lim(l-a w )«n = ^
Donc nous pouvons écrire
Par suite, e tendant vers zéro avec a» ou (1 : ri), la relation (1) devient
/l . \ wa »
Posons, fi étant nulle on ayant une limite nulle avec (1 : »), noL n = h log n + >j.
Alors,
/i \*iogn/i \yj
Comparons entre elles les séries :
On a
J \ k log n
k logn
* log n
== lim (1 -J- es) = lim
— Keelogn et Ires logn
(l-\-ee) = lim e
Comme (1 — a n ) a " a pour limite - > on a
le s log n
lim ^ =1.
Les deux séries (3), (4) sont en même temps convergentes ou divergentes; il en est de même, d'après un théorème bien connu, de la série (2)
car le facteur ^ -ftend vers l.
a toujours une valeur finie et pour »=oo
Bucharest, 13 avril 1892.
Notes. I. Les séries qui ont respectivement pour termes généraux
sont convergentes et divergentes ensemble, car le rapport r de ces
(log n\ n 1 — k — ^— ) » tend veps l'onité En effet, on a
log r = h log n -j- » log ^1 — * =
expression qui a pour limite 0. (Y. Jamet).
II. La solution de la question 760, due à M. Ë. Cesàro (Mathesis, 1892, p. 125), se trouve aussi dans son remarquable Corso ii Analisi algebrica (Torino, Bocca, 1894) pp. 489-491.
"Question 1*48.
(Voir MathetU, (2) IX, p. 280.)
Trouver le maximum de l'expression sin 2x sin 2y 9 sachant que sin y = m sin x. (A. C.)
Solution par M. Soons. Posons p, = sin 2a? sin 2y ; nous aurons
ju,* = 16m« (sin 8 x)' (1 — sin» *) (1 — m} sin* a?).
Le maximum de \t? a lieu en même temps que celui de la quantité
sin*# sin 2 # 1 — sin*# 1 — m 9 sin*#
Il suffît maintenant de choisir les indéterminées a, |3, y de manière que la somme des facteurs du produit (1) soit constante et que ces facteurs soient égaux entre eux ; ce qui donne
sin'a? 1 — sin'a? 1 — m 2 sin'a?
De là on déduit
sin 2 a? 1 — sin'a? 1 — m* sin 2 # ou 4w 2 sin 4 a? — 3 (m* + 1) sin*a? +2 = 0. (2)
Cette équation donne
3 (m' + 1) d= [/dm* — 14m* + 9 ,~ 8.n«* = -±X ^ IL. (3)
Appelons a et /3 ces deux valeurs de sin* x. La quantité sous le radical, égale à 9(m* — 1)* + 4m 2 , est toujours positive; de plus, des signes de « + P et de aj3 on conclut que sin 2 x a deux valeurs positives.
L'hypothèse m 2 = 1 se discute immédiatement. Nous supposons m 9 < 1 ; s'il en était autrement on exprimerait /ex 2 en fonction de sin 2 y après avoir posé sin x = m' sin y où m' = 1 : i». Le premier membre de l'équation (2) prenant une valeur positive pour sin 2 x = et la valeur négative m 2 — 1 pour sin 2 a? = l, l'équation a une racine comprise entre et 1, et une autre supérieure à 1. Il résulte de là que le maximum de p. 2 a lieu pour sin 2 x = {3.
Dans la solution qui précède, sin* x est la variable et ^ % la fonction; la discussion devient pins compliquée si l'on prend x pour variable indépendante et p. pour la fonction.
M. Barisien a résolu la même question en égalant à zéro la dérivée de
fn = im sin* x cos x [/l — m* sin* x.
"Question 1*9*.
(Voir MathtiU, (2) X, p. 182.)
Un triangle indéterminé ABC a son sommet A sur une circonférence (A), son sommet B sur une autre circonférence (B), <?* son sommet C sur une troisième circonférence (C). Trouver la courbe ou les courbes qui limitent les régions du plan où se trouve le bary centré G d'un de ces triangles.
Question analogue pour le barycentre d'un tétraèdre indéterminé dont les sommets appartiennent à quatre sphères données. (E. Lemoinb).
Solution par MM. H. Brocard et Ripert. Soient 0«, O», O e , les centres, et a, b, c les rayons des trois cercles donnés (A), (B), (C).
Supposons d'abord le point A fixe. Le lieu du milieu M de AB sera un
cercle (B') de rayon - .
Si maintenant on suppose qu'à son tour le point A décrive le cercle (A), les centres des cercles (B') de rayon constant égal à ^ se déplaceront sur
une circonférence (A') Ae rayon * > O» étant ie «entre d'homothétie.
Donc la région des points M est un cercle (M) de rayon , dont le
centre est au milieu de O a Ob.
Le barycentre G est au tiers des droites telles que MC. Si Ton suppose
C fixe, on a pour lieu de G un oerole de rayon - • — — ou -~ — •
Mais si l'on fait décrire au point G le cercle (C), on voit qu'à son tour le
barycentre G se trouvera dans un cercle limite, enveloppe d'un cercle
de rayon - dont le centre décrit le cercle de rayon — j- — • Par conseo o
quent, le cercle-enveloppe a pour rayon — -— - — et Ton voit, en outre,
que son centre est le barycentre du triangle O a O*O e des centres des trois cercles donnés.
Note. Par analogie, l'extension au tétraèdre n'offre aucune difficulté, et fait prévoir pour résultat une sphère à la place d'un oercle.
Autre solution. Soit co le barycentre du triangle O a O*0,. Pour passer de go à G, il suffit de construire une ligne brisée wDEG dont les côtés wD, DE, EG sont parallèles aux rayons 0«A, (WB, 0«C et égaux à {a, \ b, ±c. La distance «G est donc en général plus petite que ^(a + è-J-c); elle atteint cette valeur lorsque les rayons 0«A, 0*B, C sont parallèles et de même sens. On en conclut que la région des points G est limitée
par la circonférence ^<«>, .
Si l'on peut former un triangle ajSy avec les rayons a, b, c 9 la distance coG peut devenir nulie; il suffit pour cela que les rayons 0„A, 0*B, O c C fassent des angles égaux avec les droites (3y, y a, a(3 ou qu'ils aient des directions symétriques de ces droites par rapport à une droite quelconque.
Supposons a = b-\- c. Alors le point G coïncide encore avec co lorsque les rayons O a A, 0*B, O c C sont parallèles entre eux, les deux derniers étant dirigés en sens contraire du premier.
Ainsi, quand on a a<J + cou=J + c, le point G peut occuper une position quelconque à l'intérieur de la circonférence limite
Considérons maintenant le cas où a > b + ç. Prenons sur De» la longueur DI = \(b + c )t dô
g>D <DE + EG + G&> f ou «D — DE — EG < Gw,
(q, b — C\ \ constitue une seconde limite des points G : aucun de ces points ne peut tomber à l'intérieur de la circonférence. (J. N.).
"Question 1*9*.
(Voir Matkesis, (2), X, p. 250.)
Dans un triangle sphérique ABC, rectangle en A, on porte sur AC Varc AD égal au complément de Varc de grand cercle. qui mesure V angle B, et du point D comme pôle, on décrit l'arc de petit cercle BE rencontrant le prolongement de DA en E; Varc AE mesure la surface du triangle proposé. (C. E. W.)
Solution par M. E. Pire, étudiant à V École des arts et manufactures.
La surface du triangle sphérique rectangle ABC est égale à B -f- C — l dr — ou bien à C — (l dr — B) ou encore à C — AD.
La question revient donc à prouver que.
C — AD = AE ouC = BD.
Or dans le triangle rectangle ABD, on a :
. „ cos BD
cos AD = sin B — >
cos AB
et dans le triangle ABC, on a également
cos C
sin B =-
cos AB
De ces deux égalités il résulte que
cos BD = cos C
et par suite, que BD = C.
Solution analogue par M. Déprez.
QUESTIONS D'EXAMEN
•94. Le produit des payons des trois cercles qui passent par deux sommets d'un triangle ABC et par un même point de Brocard est égal au cube du rayon du cercle ABC. (E. N. Barisibn.)
•95. Le produit des rayons des deux cercles qui passent par A et touchent BC, l'un en B, l'autre en C, est égal au carré du rayon du cercle ABC. (E. N. Barisibn.)
•96, a, b, c, i, étant quatre nombres inégaux, trouver la condition nécessaire pour que les équations/
x -\- ay -f + a k = 0, x + by + b*z + i* = 0,
soient compatibles.
Réponse : a + b + c+ d=0.
•99. Exprimer que les équations
a|/3 — y = a, x -\- y [/3 = b y x*-\-y* = c % sont compatibles, • 98. Dans tout triangle ABC, on a
4}* + a a — 4ab cos C = 4c* -f a* — 4ac cos B = t« + c 2 + 2J<? cos C.
On obtient cet relations en prolongeant CA de AD = CA, et BA de AE = BA, et en calculant BD* dans les triangles CBD, EBD et ABD.
(E. N. Barisibk )
