On aura ensuite @ par l'équation

DL D cosidt ® ET r? cos” Ÿ 9

or, comme le plan des angles ® est arbitraire, si on le fait coïncider avec le

plan de l'orbite, en faisant : — o, on aura aussi 4 — o (art. 5), par consé- D dt |

quent de — —;) et, dans ce cas, l'angle d@ sera celui que le rayon r décrit

dans le plan de l'orbite. Donc, si l’on désigne en général eet angle par d®, on aura |

7e et substituant la valeur de dt en dr, che do? —— se . -+0):

‘2 /2H— 2 f R dr — RE

équation dont l’intégrale donnera la valeur de ® en r, et réciproquement celle de r en ®.

Ensuite on aura @ en ® par l'équation

| dd dh — cosv'ag

COS Z laquelle, en substituant pour cos 4 sa valeur tirée de l'équation tang N — tangisin(g — h) trouvée plus haut, devient

NÉ le) (g —

D — è ES ES ae cos i|1—+ tang” z sin° (o — h) | cos” : + tang

do cos id. tang (@

d’où l’on tire par l'intégration

D + & — angle! tang = PERL,

COS k étant une constante arbitraire: et de là

tang (@ — }) — cos z tang (D +),

SECONDE PARTIE. —— LA DYNAMIQUE. o

équation qui indique que ® + À est l'hypoténuse du même triangle sphérique rectangle dont la base est @ — }, et l'angle adjacent : (art. 5), et dont le côté opposé à & est A.

On voit par là que ® + # est l'angle décrit par le rayon r dans le plan de l'orbite, et dont l’origine est à la ligne d’intersection de ce plan avec celui des x, y; que @ — h est l'angle décrit par la projection de ce rayon sur le mème plan, et que & est l’inélinaison du plan de l’orbite sur le plan fixe des

RE

3. Le problème est donc résolu, puisqu'il ne dépend plus que de lintégration des deux équations séparées entre £, ® et r; les six constantes arbitraires nécessaires pour l'intégration complète des trois équations différentielles en r, ® et 4 seront z, , D, H, et les deux que l'intégration introduira dans les valeurs de ft et de ©.

Dans la solution que nous venons de donner, nous avons pris pour coordonnées le rayon vecteur avec les deux angles de longitude et de latitude, pour nous conformer à l’usage des astronomes ; aussi cette solution a-t-elle l'avantage d'offrir directement la plupart des théorèmes que l’on ne trouve ordinairement que par la ‘Frigonométrie sphérique. Mais, en l’envisageant du côté analytique, elle est moins simple que si l'on avait conservé les coordonnées rectangles primitives ; c’est ce qu’il est bon de faire voir, d'autant

qu'il en résultera de nouvelles formules qui pourront être utiles par la suite.

8. En prenant «, y, z pour les trois variables indépendantes, les formules sénérales de l’art. 3 donnent tout de suite les trois équations différentielles

“7 NES R= FE d?

a + RE=o, d? z Z

di Re — LE

et l'équation intégrale dx? + dy° + dz°

En chassant R des trois équations différentielles, on à immédiatement

Méc. anal. XI. 2

trois équations intégrables et dont les intégrales sont

xdy —ydx

dt 0 z dx — x dz

dt = b, y dz — zdy

dt Feu

Ü, B, À étant des constantes arbitraires dont la première est la même que

1 as T° cos do . | ; Le 5 celle de l'équation — 3," = C de Part. à, parce qu’en effet celle-ci n’est

j: ; , , x dy — ydx Re qu une transformée de l'équation I — C par la substitution des

valeurs de #, y, z de l'art. 4.

Ces trois intégrales répondent à celles que nous avons données pour un

système de corps, dans l’art. 9 de la sect. ITT, d'où nous aurions pu les emprunter.

10. En ajoutant ensemble les carrés des trois dernières équations, et employant cette réduction connue

(xdy — y dx) + (zdx — xdz) + (y dz — zdy) = (+ y + 2) (da + dy* + de) — (xdx + y dy + zdz)’, on à l'équation

.2 2 ; o CE D r° (dx + dy re J LRU EE EDP

laquelle, en ÿ substituant pour dx° + dy? + dz* sa valeur tirée de la première intégrale, et faisant, pour abréger,

A+ B°+ C— D”, donne

>r*(H— fRdr) — 2 =D’,

d’où l’on tire tout de suite

dt +

comme dans l’art. 6.

SECONDE PARTIE. —— LA DYNAMIQUE. Ti

Les mêmes équations étant ajoutées ensemble, après avoir multiplié la première par z, la deuxième par y et la troisième par x, donnent celle-ci,

Cz + By + Ax—o,

laquelle est à un plan passant par l’origme des coordonnées, et fait voir que

l'orbite décrite par le corps est une courbe plane décrite autour du centre des forces.

44. Nommons £, » les coordonnées rectangles de cette courbe, l'axe des £ étant pris dans la ligne d’intersection du plan de la courbe avec celui des x, y; nommons de plus, comme dans l’art. 5, 1 l'angle formé par ces deux plans, et À l’angie que la même ligne d’intersection fait avec l’axe des æ, ces deux quantités & et À seront constantes, et, par les formules connues de la transformation des coordonnées, on aura

x = £ cos h — ncosc sin A, y —= Esinh + ncoszcosh,