Z — SIN

Ces valeurs étant substituées dans les mêmes équations, donneront celles-ci,

tdn— nd; .

AE EM in 5 cos h — B, dt

Edn—ndË

= sin L sin h ere Â.

Ajoutant leurs carrés ensemble, et extrayant ensuite la racine, on à

-—= D (art. 6);

de sorte que les valeurs des constantes À, B, C seront C— Deost, B——Dsinscosh, A — Dsincsin/.

Or, désignant par ® + k, comme dans l’art. 7, l'angle que le rayon r fait avec la ligne d’intersection du plan de l'orbite et du plan fixe des x, y, il est

clair qu'on aur:

£—rcos(® +k), n—rsm(d +),

et la dernière des équations précédentes deviendra

r° db = Dut,

laquelle donne le théorème connu des secteurs /r*d® proportionnels aux temps £.

Substituant la valeur de di, on aura

D dr dd — a 9

comme dans l’article cité.

Ainsi le problème est de nouveau réduit à Fintégration des deux équations séparées en é, d et r, que nous avions déjà trouvées ci-dessus (art. 6 et 7); mais cette intégration dépend de lexpression de la force centrale À en fonction du rayon r. |

12. On voit, par ces équations, que ce rayon sera le plus grand ou le lus petit. soit relativement au temps c, soit relativement à l’angle ®, lors- Ë : ) ps £, 9 qu'il sera déterminé par l'équation

2H — 2 fRdr — À —o.

Fr 2

Supposons qu'en intégrant ces mêmes équations on prenne les intégrales en r de leurs seconds membres, de manière qu'elles commencent au point où r est un murimum, et que l'angle ® commence aussi à ce point; l'angle # sera alors celui que le rayon qui passe par le même point fera avec la ligne d’intersection de l'orbite avec le plan fixe (art. 7) ; et cette constante #, jointe à celle que l'intégration peut ajouter à £, et aux constantes À, B, C, H, où D, 2, k, H, complétera le nombre des six constantes arbitraires que l'intésration des trois équations différentielles en +, y, z et & doit donner.

4%. Si maintenant on fait

X —rcos®, Ÿ —rcos®,

il est clair que X et V seront les coordonnées rectangles de la courbe, pla-

cées dans son plan, et ayant la même origine que le rayon r, les abscisses X étant dirigées vers le point où r est un müinimum; et si l’on substitue ces quantités dans les expressions de £ et n de l’art: À#, on aura

&= X cosk — Y sin, n— Ÿ cosk + X sin#.

Substituons ces valeurs dans celles de x, y, z du même article, et faisons, pour abréger,

cos 4 cos h — sin À sin h cos,

— sin À cos À — cos # sin A cos,

= cos # sin h + sin # cos # cos c,

.— — sin # sin À + cos £ cos À cos 1,

, —= sin À sinc, 8, — cos À sin z, on aura

t—aX + BY —r(acos® + Bsind),

y=aX+$,YŸ —r(a, cos bd +8, sind), z—a,X + $B,Ÿ —r(a,cosb + B,sinoD),

expressions qui ont cet avantage, que les quantités dépendantes du mouvement dans l’orbite sont séparées des quantités qui dépendent uniquement de la position de l'orbite, relativement au plan fixe des æ, y.

Ces expressions de x, y, z sont conformes à la théorie générale exposée dans la sect. ÎT, art. 40, et l’on aurait pu les en déduire immédiatement.

En eflet, en considérant tout de suite le mouvement dans l'orbite, on a les coordonnées X, Ÿ, la troisième Z étant nulle, lesquelles ne renfermant que trois constantes arbitraires, peuvent être regardées comme des valeurs par ticulières des coordonnées générales x, y, z; ensuite on aura celles-ci, par le moyen des coefficients «, 8, «,, ete., qui renferment les trois autres constantes. |

14. Si, au lieu de considérer le mouvement dans l'orbite propre du corps, on rapportait ce mouvement à un plan quelconque, par les trois coordonnées X, V, Z, lesquelles ne continssent aussi que trois constantes arbitraires, on

aurait alors par la même théorie les expressions générales x= aX ee BY —- y 2, La a, X + 6, Ÿ + y,2, As a, X = BY —+- V.L

et comme on a trouvé dans l’art. 10 de la sect. ITT,

7 — af des Bit, V1 —= Pa, — af,, Ya = af, — Éa,,

Où aurait y =smAsme, 7y,——coshsins, ‘y, — cos.

Ces valeurs de «, G, y, «,, etc., renfermant les trois arbitraires k, #, 2, satisfont d’une manière générale aux six équations de condition données dans l’art. 40 de la sect. IT de la Ï" partie,

D. + 2 2 752 2 ose 2 2 eue Ha +a, lt, Harpe ls PS Vite — hd aB+a.l,+af.0, ay+a.y,+a7:. =0, y +B,y, +7: 0.

Après avoir donné les formules générales pour le mouvement d’un corps attiré vers un point fixe, 1l ne reste qu'à les appliquer au mouvement des planètes et des comètes ; c’est l’objet des paragraphes suivants.

S 1 — Du mouvement des planètes et des comètes autour du soteïi supposé fixe.

15. Dans le système du monde, la force attractive étant en raison inverse du carré des distances, on fera R — &, g étant la force attractive d’une planète vers le soleil, à la distance — 1, ce qui donnera fRdr — — S.

Substituant cette valeur dans l’équation entre ® et r (art. A4), on voit que la quantité sous le signe devient | D° 2 H —- — user À

laquelle peut se mettre sous la forme

a D 2 mp5)"

alors le second membre de l’équation exprimera la différentielle de l'angle

ayant pour cosinus la quantité

de sorte qu’intégrant, ajoutant à ® la constante arbitraire K, et passant des arcs à leurs cosinus, on aura

82 1/2H+ Écos(9+K).

aies

On voit que la plus petite valeur de 7 aura lieu lorsque l'angle ® + K est nul; de sorte que, comme nous avons supposé (art. 42) que l'angle 4 commence au point qui répond au minimum de r, on aura K — 0.

Donc, en faisant, pour abréger,

D° V:- 2HD* ne. E — DA

on aura — b 1e cos D équation polaire d’une section conique dont b est le paramètre, e l'excentricité, c’est-à-dire le rapport de la distance des foyers au grand axe, r le rayon vecteur partant d’un des foyers, et ® l'angle qu'il fait avec la partie du grand axe qui répond au sommet le plus proche de ce foyer.

L] f b La plus grande et la plus petite valeur de r étant et , leur LC Ce À b . + demi-somme sera x; C'est la distance moyenne que nous désignerons par a, de sorte qu’on aura

et si l’on substitue ici pour b et e leurs valeurs en D et H, on aura

d'où l’on voit que la constante H doit être négative pour que l'orbite soit elliptique; si elle était nulle, l’axe 2a serait infini, et l’orbite deviendrait

parabolique ; mais si elle était positive, l'axe 2 a serait négatif (”), et l'orbite serait hyperbolique. Dans le premier cas, la valeur de l’excentricité e sera moindre que l'unité; elle sera — 1 dans le deuxième cas, et > 1 dans le troisième.

il y a encore une autre hypothèse d'attraction qui donne aussi une orbite elliptique, c'est l'attraction en raison directe des distances ; mais comme elle n’est point applicable aux planètes, nous ne nous y arrêterons pas ici. On peut voir les Principes de Newton et les ouvrages où l’on a traduit ses

théories en Analyse.

16. Revenons mamtenant à l'équation qui donne ÿ en r (art. 40), et sub-

stituons-y 2% 4 la place de fRdr, gb — ga(r — e°) à la place de D”, et

> la place de 2H; elle deviendra

à] 4 memes sms Re © em 4 4

tee ?' Faisons 1 — - — e cos ô, ce qui donne

r— a(i —e cos), on aura

dt — V= (1 — e cos Ü) db,

et intécrant avec une constante arbitraire c 8 :

b— c— de phnn)

Cette équation donnera 6 en ft, et comme on a r en 6, on aura, par la substitution, r en t.

Si l’on fait la même substitution dans l’équation entre ® et r de l'art. #4, on aura celle-ci, de Vr —e?

EN ne.

Ve es 1— e? cos 0

(*) Lorsque les formules donnent pour 2 a une valeur négative, l’équation d — a {1 — e?) apprend

PACS D te que e est plus grand que lunité, car b est positif et égal à — ; c’est pour cette raison que la trajectoire | 8

est une hyperbole. (J, Bertrand.)

dont l'intégrale est sin 0 Vi — €?

1 — e cos û

D — angle (sin — ) + const.

Mais on peut avoir la valeur de ® en 8 sans une nouvelle intégration, par la simple comparaison des valeurs de r, laquelle donne l'équation

Tec === a(1 — € cosô),

d’où l’on tire, à cause de b — al1 — e° 9 9

Ie LENS a ë.

1— e cos0 1 — e COsÜ et, de là, tan mers (= bre D à =) 0 9.

On voit, par ces formules, que lorsque l'angle 8 est augmenté de 360 degrés, le rayon r revient le même, et que l’angle & est aussi augmenté de 360 degrés. Ainsi la planète revient au même point, après avoir fait une révolution entière. Or, l'angle 4 augmentant de 360 degrés, le temps # se

trouve augmenté de V= — X 300°; c’est le temps que la planète emploie pour

revenir au même point de son orbite, et qu on nomme le temps périodique. Ainsi ce temps ne dépend que du grand axe 24, et il est le même que si la planète décrivait un. cercle ayant pour rayon la distance moyenne a. Dans ce cas, on aurait

A CO, t—c— 6 a et Û — d;:

ainsi le temps serait proportionnel aux angles parcourus. Et si l’on suppose g — 1, et qu on prenne la distance moyenne a de la terre pour l’unité des distances, les temps seront représentés par les angles mêmes que la terre décrirait si elle se mouvait dans un cercle dont la distance moyenne serait le rayon, avec une vitesse égale à l’unité. Le mouvement, dans ce cercle, est celui que les astronomes appellent mouvement moyen de la terre ou du soleil, et auquel ils rapportent communément les mouvements des autres planètes.

47. Lorsque l'orbite est hyperbolique, le grand axe a devient négatif, et l'angle Ÿ imaginaire. Pour appliquer les formules précédentes à ce cas, Méc. anal, I. si

faisons () a —= — À et 0 — —— , V1

on aura par les formules connues, z étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est 1,

1 Disc L 9 59 CSS ( sin À =— 7" —, cos À — ) D) V1 2 et les équations de l’article précédent deviendront A5 Are 9 Eee (8e :

ea 2

P 46 10 tang — — ve HR RE a

< sl AR e —- I 150 D; :0

a cause de e > 1.

18. L’équation r(1 + e cos®) — D, trouvée dans l'art. 45, donne, en substituant X pour r cos ® (art. #5),

ne ——

E € Substituant pour r sa valeur en Û, a(i — e cosé), on aura X — a(cosô — e), et comme Ÿ — V r?— X?, on trouvera Y — ay/1 — e sinb,

expressions fort simples qu’on pourra substituer dans les expressions générales de x, y, z du même article.

Ainsi il ne s'agira plus que de substituer la valeur de Ü en #, tirée de l'équation donnée dans l’art. 46, pour avoir les trois coordonnées en fonction du temps.

19. L’angle 8, que nous venons d'introduire à la place de f, est ce qu'on appelle en astronomie anomalie excentrique, et qui répond à l’anomale

œ . | ; : ï, | moyenne (t —— c + et à l'anomalie vraie bd: mais les astronomes ont coua? 9

tume de compter ces angles depuis le sommet de l’ellipse le plus éloigné du

foyer où le soleil est supposé placé, et qu’on nomme aphéle ou apside supérieure, au lieu que, dans les formules précédentes, ils sont supposés comptés depuis le sommet le plus proche du même foyer, qu'on nomme périhélie ou apside inférieure. Pour les rapporter à l’aphélie, il n’y aurait qu'à y ajouter l'angle de 180 degrés, ou, ce qui revient au même, changer le signe de la quantité e; mais, en prenant l’origine des anomalies au périhélie, on a l’avantage d’avoir des formules également applicables aux planètes, dont l’excentricité est assez petite, et aux comètes, dont l’excentricité est presque égale à l'unité, leur grand axe étant très-grand, tandis que le paramètre conserve une valeur finie.

20. 11 nous reste à déterminer Ü en #, c’est-à-dire l'anomalie excentrique par l’anomalie moyenne; e’est le problème connu sous le nom de problème de Képler, parce qu'il est le premier qui lait proposé et qui en ait cherché la solution. Comme l'équation entre # et Ÿ est transcendante, il est impossible d'avoir, en général, la valeur de 8 en & par une expression finie; mais, en supposant l’excentricité e fort petite, on peut l'avoir par une série plus ou moins convergente. Pour y parvenir de la manière la plus simple, nous ferons usage de la formule générale que nous avons démontrée ailleurs (”), pour la résolution en série d’une équation quelconque.

Soit une équation de la forme

f.? dénotant une fonction quelconque de 8, on aura réciproquement

2 du 2.3 du”

à 2 8 L 3 Ju + f.u + UP d'.(fru)

ee 4

En général, si l’on demande la valeur d’une fonction quelconque de £ désignée par F.4, on fera

5 1.5.0 pris Fra | i— dÿ

et l’on aura

| L f 2 L/ pA / F0—=F.u + fuF'.u + COR EN RSR RE ÈCES ES 2 du 2.3 du’

eme rames,

(”*) Voyezles Mémoires de Berlin, années 1968-60; la Théorie des fonctions, chap. XVI, P° partie, et le Traité de Résolution des équations, note 11. (Note de Lagrange.)

21. Pour appliquer cette formule à l'équation de l’art. 46, on fera

f.0— esint et u=(t—c) VS;

on aura immédiatement

d,sin?u , d”.sin°u

Le . 2 Î—=u+esnu+e a MO ans ee

où il n’y aura plus qu’à exécuter les différentiations indiquées ; mais, pour avoir des expressions plus simples, il conviendra de développer auparavant les puissances des sinus en sinus et cosinus d’angles multiples de &.

On aura de même

| d.(sin*u cos u) , d?.(sin’u cosu) sin 0 — sinu + e sin uw cosu + ee = TI He DÉS N Er A SEE UE DE 2 2 du 2.3 du Cos Ÿ — cosu — esin?u — e? RU c° HUE codu. 2.3 du? TANT A sin? u , sin? w "cos? u ; cos u

Sin uU tangÜ — tangu + € ee

NPA Le CR can 2 du Ai dE dur 0 Lo

On aura ainsi, par les formules des art. 16 et 47,

7 2 + 9 3 d.sin°u ” d?.sin'u | r = a(i—ecosu + 6 sin u + He ,,., | 2 du 2.3 du

(1— ecosu)"+ ne° sim°u(i — ecosu)" |

F —=«Q 3 A.sin® n—1 ne d.sin*u{i—ecosu + EE | 2 du X — a | cosu — e(1 + sin tu} = ci UE e° Pre | 2 du 2.3 du? Sy d.(sin’ucosu) SIN 4 —- € SIN 4 COS U —- e°? SR Ye /1— 6? — €° 2 du + nos ; d°.(sin d?.(sin°u cosu) " ?

| 2.3 du MORE | / sin” LU Sin’ e? 1 + cos u msn i tang = LÉ D BOT eee t (Hs) 2 1+ COSu 2 2 du ANS — —= D 2 Vresé ’ sin ° & 1+ cos u

29. On pourait tirer de là la valeur de l'angle ® par la série qui donne l’angle par la tangente, mais on aurait difficilement, de cette manière, une série dont on püt connaître la loi. Pour obtenir une telle série, il faudra tirer d’abord la valeur de l’angle ® de l'équation

ce qu’on peut faire d’une manière élégante, en employant les exponentielles imaginaires. On aura ainsi cette transformée, en prenant z pour le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité,

b — D 0 y— 0 }— UEr — =ÿ—1 — Vi 2 .2 2