BL

aa ses

où l’on voit que la quantité 0 est de l’ordre de A Si donc on fait 0 — 7 & €

3 » L] , I et qu on ne pousse l’approximation que lusqu’aux termes de l’ordre -, on q P PP que Jusq | 2°

aura A Se) Vs=:60+,50 +2:(59 13° RTS +.

On trouvera par les mêmes réductions, He (baron are (2e pores 6) ax 7 2 4a\ 2 | ous t = - lé de; MF Er TT 3p ?

el 0 b? I 4) » VE | ŸY = 58 — ——e".

Soit T la valeur de © lorsque a — æ , ce qui est le cas de la parabole; on a, pour déterminer T'en t, l’équation du troisième degré,

TH SET —6(1— 0) Ve,

T=V3(—c) Ve + votre + 7

laquelle donne

et si l’on fait B2T Fe bT* su L* T'— Re 3:4.5

al,

Méc. anal, T1

on aura

G—=T+—+..., et, de là,

mt, Pa NE Va Un AP) 2 B? 4 cime f+ rm)

Y=Tyo+ (EE TE).

Mais l’irrationnalité de l'expression de T empèchera toujours que ces formules ne soient d’un grand usage dans le calcul analytique des orbites paraboliques ou presque paraboliques.

25. Il est bon de remarquer, relativement au mouvement parabolique, qu'on peut déterminer le temps employé à parcourir un are quelconque de la parabole, par une formule assez simple, qui ne renferme que la somme des rayons vecteurs qui répondent aux deux extrémités de l’are, et la corde qui sous-tend cet arc.

En faisant a infini et 0 — + VL2 les formules précédentes donnent

: ; P G(é—c) Ve = bVb(3r +5), T = tang —) or —=b(1+7T), 2X —b(1—7T), V — br.

Marquons par un trait les mêmes quantités rapportées à un autre point de

la parabole; la différence {’ — +, ou le temps employé à parcourir un arc de parabole contenu entre deux points donnés, sera exprimé par la formule

G(& — t) Vg — b Ve (3 + PE pq" + Tr”) (Tr — T).

Or on a

PRES à Y — ÿ2 br — b?;

a CE , VA . , É Î et si l’on nomme y Îa corde qui joint les deux extrémités des rayons r et 7”,

ON aura

D (XXE CV VE fr r + (obr BR ob EE}.

Soit, pour abréger, = —(r—r),

U = ÿ26r — Bb? \/2br —b?,

équation d’où il s’agit de tirer la valeur de b.

on aura

Faisant disparaître les radicaux et ordonnant les termes par rapport à b, on à

[Gr — r)° + 0] — BU* (nr) + © = 0, es l’on tire Urr+ Arr TU) à (7 — rÿ + U°] ?

ou bien, en multipliant le haut et le bas par r'+r — YA4r'r — U”,

D — o(rir— Varre Ur)

Maintenant on a

Vo br — b?

Hs donc 3 + al U° Fr, et T+r + or — ee DER donc

substituant la valeur de b, cette quantité devient Le (+71) + Vérr =] Vo (r + r) — 2 hr — Ur.

Donc enfin, en remettant pour U? sa valeur, et faisant r + r'= 5, on aura

(25 + Vs? #2) Vas— 9 Vs — re

PS LE 6 Ve

expression qui peut se mettre sous la forme suivante, plus simple,

FA 6 Ve

comme on peut s'en assurer en prenant les carrés.

tt —

26. Cette formule élégante a été donnée d’abord par Euler, dans Île septième volume des Miscellanea Berolinensis. On pourrait la déduire du lemme X du troisième livre des Principes mathématiques, en traduisant en analyse la construction par laquelle Newton détermine la vitesse qui ferait parcourir uniformément la corde d’un are de parabole, dans le même temps que l’are serait parcouru par une comète, et en observant que dans la parabole la demi-somme des rayons vecteurs qui aboutissent aux extrémités d'un are quelconque est toujours égale au rayon vecteur qui aboutit au sommet du diamètre mené par le milieu de la corde parallèlement à l’axe, plus à la partie de ce diamètre interceptée entre l’arc et la corde ; d’où et du lemme IX on tire la valeur de ce dernier rayon, exprimée par la corde et par la somme des rayons vecteurs qui répondent à ses deux extrémités.

On verra plus bas comment on peut étendre la même formule au mouvement elliptique où hyperbolique (*).

37. Enfin l'équation entre Ü et { est toujours résoluble par approximation, lorsqu'on suppose le temps £ très-petit; on a alors pour 6, et, par conséquent, pour toutes les variables qui en dépendent, des séries ordonnées suivant les puissances de #, et qui seront d'autant plus convergentes que la valeur de & sera plus petite. Mais, dans ce cas, il est plus simple d’en tirer la solution directement des équations différentielles enx,y,zeté de l'art. 9,

en y faisant R — =.

es 7?

(*) La formule relative au temps nécessaire pour parcourir un arc de parabole a été souvent attribuée à Lambert, qui, en effet, y est parvenu en 1761 sans avoir eu connaissance du Mémoire d’Euler où elle se trouve démontrée, et qui date cependant de 1744. Lagrange lui-même a partagé longtemps l'erreur dont nous parlons, car, dans son premier Mémoire sur la détermination de l'orbite des cométes, il dit, à propos de son théorème : « M. Lambert est parvenu à un des théorèmes les plus élégants et les plus utiles qui aient été trouvés sur ce sujet, ef qui a en même temps l'avantage de s'appliquer aux orbites elliptiques. » Cette phrase a été imprimée en 1980, c’est-à-dire trois années avant la mort d’Euler, qui n’a jamais réclamé son droit de priorité. Dans les Mémoires de Berlir pour 1771, Lambert cite le même théorème, et s’en attribue la découverte. (J. Bertrand.)

in regardant les variables x, y, z comme des fonctions de #, et supposant

qu'elles deviennent x + x”, y + y", 3 + %', lorsque t devient # + #', on a en général, par le théorème connu,

Ru a a us oi

à dz ,, d?z 1” d'z 1"

2 = — + > + .., dt dt 9 dt 9,3

et il ne s'agira que d'y substituer les valeurs des différentielles de æ, y, z, déduites des trois équations

72 12 ? a dx gx dy Pure RS Re dé a Fr 4 r° / di? ‘ ;

auxquelles on pourra joindre, pour simplifier le caleul, l'équation en r de l'art. 46, r°? dr?

2 Hr° + 2gr — nn 0

jaquelle, étant différentiée et divisée par 2r dr, donne

œ d.rdr 2H =: — —; = O,

ss bte , ie STE rar d’où, en différentiant de nouveau et faisant, pour abréger, s — re ON 4

celle-cr,

laquelle est tout à fait semblable aux précédentes. On aura ainsi, par des différentiations et des substitutions successives,

dx gx dx 3gs g dx A à 13 ? dE 40 r° dt” En [38 ds AU D 2.3gs dx dé \r dt r T7 r dt dx [ 3.3.5g sds 3.5.7gs° 3 E:) = ste che Te, 5.88 ds 3.3.0gs° g* \ dx RON PSR NE F1 r6 ) dt

et ainsi de suite.

On aura de pareilles expressions pour les différentielles de y et z, en chanseant seulement x en y et z. |

28. On fera donc ces substitutions, et comme les quantités x, y, z et leurs différentielles se rapportent, dans ces formules, au commencement du temps é”, si on y change f” en f, et qu'on désigne par x, y,Z, r,s les valeurs

de x, y, z, r, s qui répondent à & — o, et qu’on suppose, pour abréger,

Tr, 8%..538 t ( ds 3.5gs° ë t* = = :

r° Ft 2,5 r° dt r° r6/2.3.4 3.3.5g sds 3.9.78gs° 3.bg°s LS +(—° r? HT r° Ur Vas + NS

r° r° 3.4.5 LÉ

| ji. JS Rs 4 A RSA RR) HAN, V7 ner di D” DA mr ne 70) on aura Ces EXPrESSIONS :

dx - ? d'y dz XL + V, r=Yyl+s V, 22 + V.

os ds À l’égard des constantes s et 7 que renferment ces expressions, 1l est bon

de remarauer qu’elles se réduisent immediatement aux constantes D et q q , d’où dépendent les éléments a. b. c de l'orbite elliptique, comme nous 9 9 P q 2 l'avons vu dans l’art. 8. Car, en rapportant au commencement du temps # les deux équations en r de l’article précédent, on a

(rdr)? : rdr Br LE — 2gr — 2Hr°— D”, d.—s —°?=2H, SAVOIT : | | 2 __ à 2 D° ds — of S S — 2891 + 92Hr EE 9 pie Ft

et substituant pour H et D° leurs valeurs — À. , et gb (art. 45), on aura

ds 1 £ D r° A “oo A0 SR OS ne,

: ds | 2 + lei a g

d’où l’on tire

On voit par là que les quantités T et V ne dépendent que de la figure de l'orbite, et nullement de la position de son plan.

28. Comme la quantité 77) OUS, est déterminée par une équation diffté- ? |

rentielle semblable à celles qui déterminent x, on aura aussi pour cette quan-

Los | dx tité une expression semblable, en changeant seulement x et — en s et Te

dt On aura ainsi 2 À ds = Tr =S ES V.

De là, en intégrant et ajoutant la constante r”,

pr + sf Tdt + 2% Var, où les intégrales doivent être prises de manière qu’elles soient nulles lorsque t — 0. On aura ainsi, en substituant les valeurs de T et V, et ordonnant les termes par rapport aux puissances de f,

— ds ,» gs & 3 gs” RS A rs 9 s 2... = ARS : ES ire orne 7 ee LS + ( r 5 r° R)5- (98 sds 16gs | gs\ +(E Re re 3.4.5

Cette expression de r*? doit être identique avec celie que donneraient les

valeurs de x, y, z; Car, puisque 7° = x? + y? + z°, on aura aussi

r°— (x° + +2") 1° + Po a EUR | | AE Ar

dt di?

Or X° + Y+ Tr — LÉ pe Et Be PAPE SES et dx? + dÿ° + dr? so 28 d.rdr g ds g Re Me 2H + (art. 9) — er (arts 97) = ES

de sorte qu’on aura

2 3 r d © ge rl 28 TV + US LE VE \ de r

valeur qui coïncide avec la précédente.

S IE. — Détermination des éléments du mouvement elliptique ou parabolique.

50. Dans la théorie des planètes, on nomme éléments les six quantités constantes qui servent à déterminer la figure de l'orbite, sa position par rapport à un plan fixe qu'on prend pour celui de l’écliptique, et l'époque ou Île moment du passage par l’aphélie ou par le périhélie. |

Soient, comme dans le paragraphe précédent, «& le demi-grand axe ou la distance moyenne, et b le demi-paramètre; ces deux éléments déterminent la figure de l'orbite, et si l’on nomme e l’excentricité, ou plutôt le rapport de la distance des deux foyers au grand axe, on a

be a (1 rc e*), et, par conséquent, .

b Co À — —° &

Soit, de plus, c le temps qui répond au passage de la planète par Île périhélie ; cet élément, avec les deux précédents, servira à déterminer le mouvement elliptique, indépendamment de la position de l'orbite dans l'espace.

Pour déterminer cette position, soit 4 la longitude du périhélie comptée depuis la ligne des nœuds, c’est-à-dire l'angle que la partie du grand axe qui répond au périhélie fait avec la ligne d’intersection du plan de l'orbite, avec un plan fixe; cet élément détermine la position de l’ellipse sur le plan de l’orbite.

Soit enfin z l’inclinaison de ce plan sur le plan fixe auquel on le rapporte, et qu'en astronomie on prend ordinairement pour l’écliptique; nous le prenons dans nos formules pour celui des coordonnées x, y, et soit À la longitude du nœud, c’est-à-dire l'angle que l'intersection des deux plans fait avec une ligne fixe, que les astronomes supposent dirigée vers le premier point d’Aries, et que nous prenons pour l'axe des x.

Ces six quantités a, b, c, h, 1, k sont les éléments qu'il s’agit de déterminer, d'après quelques circonstances du mouvement elliptique donné.

3i. Le cas le plus simple de ce problème est celui où l’on connaît la position du mobile, sa vitesse et sa direction dans un instant quelconque

de, dy, de our

donné. Dans ce cas, les données sont les valeurs de x, y, z, A

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. sa

un instant donné, valeurs que nous désignerons par les lettres romaines x,

dx dy dz RS A PER | 7 ee Y2, 7° 7° 7 €til s'agira d'exprimer par ces six quantités les six éléments &, b,c,k,h, 1.

L'art. 9 donne d’abord, en mettant — à la place de f Rdr, et changeant

Es VS Es Pr es ®, en x, ÿ,2, ÉS ae A—19 —y%, B—: © x 2, C=x9—7y%,

et les art. 44 et 45 donnent À — Dsinz sin, B— Dsinscosh, CG — D cosz,

On aura ainsi immédiatement, par ces formules, les valeurs du demi-axe a,

, Qu +. b du demi-paramètre bd, d'où l’on tire l’excentricité e — 4/ 1 — =) €t les angles k et 1; et il ne restera qu’à connaître les quantités c et 4.

32. Îl est bon de remarquer que la valeur de a et celle de peuvent se réduire à une forme plus simple. En effet, il est clair que x’? + y’? + 7° est

le carré de la vitesse initiale, laquelle étant nommée u, on aura

d’où l’on voit que le grand axe de la section conique, et par conséquent aussi le temps périodique (art. 16), ne dépendent que de la distance primitive du corps au foyer attractif, et de la vitesse de projection.

À l'égard du paramètre 2 b, on a réduit, dans l’art. 44, la quantité D à la

r°d® dt Mec. anal, XI. ÿ

forme > où d® est l’angle décrit par le rayon r dans l'instant dé; de

sorte que rd® est le petit arc décrit par le même rayon, par conséquent -

est la vitesse perpendiculaire à ce rayon, et que le corps a pour tourner autour du foyer. | Si l’on désignait cette vitesse de rotation par v, on aurait

r°d® — Te =ITV= ÿgb,

et, par conséquent,

Aïnsi le paramètre 20 ne dépend que du rayon r et de la partie de la vitesse 4, par laquelle le corps tend à tourner autour du foyer vers lequel il est attiré.

55. Pour trouver la valeur de l'élément c, qui détermine le temps du passage par le périhélie, on remarquera que cette constante n'est entrée dans le calcul que par l'intégration qui a donné la valeur de r en t (art. 46).

Done, si l’on dénote par 5 la valeur de 4 qui répond à { — o, on aura par les formules de l’article cité, en y faisant é — 0, ce qui changer enr etfens,

—e=ÿT(s—esins), r—a(i—ecosS).

Ainsi on aura par l’élimination de 3 la valeur de c en r, puisque a et e sont déjà connues.

Enfin, pour déterminer le dernier élément À, qui est aussi entré par l'intégration de l’équation entre r et ® (art. 45), on remarquera d’abord que lon a (art. #4), en changeant x, y en x, y, et rapportant l'angle ç au commence-

x e) Ensuite l’art. 7 donne ere lang (® — h) RU —

De sorte que 2 et z étant déjà connus, on aura par l'angle intermédiaire #, l'angle ® en x et y; et de là on aura À par l'équation de l’art. 45 rapportée

à l'instant où t — 0, b cos (9 — 4) =1(? —1):

34. Si l’on connaissait deux lieux du mobile dans son orbite, avec Île temps écoulé entre les instants où il a occupé ces deux lieux, on aurait aussi six données par les coordonnées qui répondent aux deux points donnés de l'orbite, et les six éléments seraient aussi déterminés par les valeurs de ces coordonnées; mais l’expression transcendante du temps empêécherait de donner une solution générale et algébrique du problème. On pourra seulement le résoudre par approximation, si l'intervalle de temps entre les deux lieux est assez petit, en faisant usage des formules de l’art. 49.

Soient x, y, z les trois coordonnées du premier lieu dans l'orbite, et x”, y', z celles du second lieu; en prenant £ pour le temps écoulé entre les passages du mobile par ces deux lieux, on aura, en général (art. 28),

/ : dx = dY +7 .

=xT+ TV, =yT + V, LIT + - V.

Supposons qu'on ne veuille porter la précision que jusqu'aux troisièmes

puissances de £{, on aura

g t° L° L° Ti 2 ae V t— Si:

as enr

» | e cr O Se

Comme l'expression de T renferme la constante

rdr xdx + ydy + 247

| dt É

on commencera par la déterminer en ajoutant ensemble les trois équations précédentes, après avoir multiplié la première par x, la deuxième par y, et

la troisième par z; on aura ainsi l'équation XX’ VY' + 27) — | Soit À —- sV,

d'où l’on tirera la valeur de s qu’on substituera ensuite dans l'expression

de T.

Les valeurs de T et de V étant connues, les mêmes équations donneront dy

: . , e° dx d'z . e à 4 È les valeurs des différentielles =, =, ==; ainsi le problème sera réduit au ü (a)

cas précédent.

35. Enfin, si l’on ne connaissait que trois rayons vecteurs 7, r”, r”, avec les temps £ et £” écoulés entre les passages par r et r”’ et par r etr”, on pourrait encore déterminer l'orbite par les formules de l’art. 29, en supposant les temps f et {” assez petits.

Car, en faisant { — o dans la valeur de r*, et ne poussant les séries pour les valeurs de r'? et r”? que jusqu'aux t* et &”?, on aura

Ze 2 l2 2 gt” à ds Ft PT Bb ls be ja ( 3 =) de dt” | 13 d Æ 2 / gt ja: ŒS DT LOTS NS pr DÉC ie

équations d’où l’on tirera les valeurs r, s et Ces deux dernières donnent

tout de suite, par les formules de l’art. 49,

pi r

U ds Fan

ar gd me Do

ensuite on aura l’angle I compris entre le rayon r et celui du périhéhe, par la formule (art. 45)

e étant = 4/1 — À.

S1 l'orbite était une parabole, on aurait a — æ , et, par conséquent,

ds L : . 5x = — À ; alors 1! suffirait de connaître deux distances r et r”; la première

| b—r cos Il — ; re

donnerait la valeur de r, et la seconde la valeur de s, par l’équation

o L? Le ir + (arf )s.

36. Les éléments des planètes sont assez connus; c’est par des observations de longitudes et de latitudes qu'on les a déterminés, et la petitesse de leurs excentricités et de leurs inclinaisons sur le plan de l’écliptique a beaucoup contribué à faciliter ces déterminations.

En prenant ce plan pour celui des x et y, les angles @ et À (art. #) représentent, l’un la longitude du corps, et l’autre sa latitude; et nous avons donné dans les art. 22 et 25, pour les valeurs de + et 4 en #, des séries qui

sont d'autant plus convergentes, que l’excentricité e et l’inclinaison z sont plus petites. En prenant six observations, trois de longitude et trois de latitude correspondante, ou en général de longitude ou de latitude, à des instants donnés, on aura six équations par lesquelles on pourra déterminer les six éléments, du moins pour le soleil et la lune qui tournent immédiate ment autour de la terre.

Pour les autres planètes qui tournent autour du soleil, le calcul est un peu plus compliqué, parce que l'observation ne donne immédiatement que les longitudes et latitudes vues de la terre, qu'on nomme géocentriques : mais, en supposant le mouvement du soleil connu, on peut toujours déduire de chaque observation une équation; de sorte que six observations suffiront, à la rigueur, pour la détermination des six éléments.

Ce problème est surtout important pour les comètes dont les éléments, lorsqu'elles paraissent, sont tout à fait inconnus; aussi depuis Newton, qui a le premier tenté de le résoudre, il y a peu de géomètres et d'astronomes qui ne s’en soient occupés. Ne pouvant établir l’approximation sur la petitesse de l’excentricité et de l’inclinaison, comme pour les planètes, ils ont tous supposé que les intervalles de temps entre les observations sont trèspetits, et ils ont donné des méthodes plus ou moins approchées pour déduire les éléments des comètes de trois longitudes et d'autant de latitudes observées. Comme celle que j'ai proposée dans les Mémoires de Berlin, pour 1783, me paraît offrir la solution la plus directe et la plus générale du problème des comètes, je crois pouvoir la donner ici, mais un peu simplifiée et accompagnée de remarques nouvelles ; elle fournira une application importante des principales formules que nous avons développées dans le paragraphe précédent.

S EEE. — Sur la détermunation des orbites des comètes.

37. Soient, dans un instant quelconque, R la distance de la comète à la terre, et /, m, n les cosinus des angles que la ligne ou le rayon visuel R fait avec trois axes perpendiculaires entre eux et supposés fixes dans l’espace; on aura R/, Rm, Ra pour les trois coordonnées rectangles de la comète, parallèles à ces axes et ayant leur origine dans le centre de la terre. La quanuté R sera l’inconnue, mais les trois quantités /, m, n seront connues par

l'observation de la comète, et devront être telles, que l'on ait la condition Fer = parce que par l'hypothèse on doit avoir RE (R/)°+ (Rm)®+ (Ra).

Soient de même p, À, w, v les quantités correspondantes relativement au soleil, en sorte que pA, pu, pv soient les coordonnées rectangles du lieu du soleil par rapport à la terre, et parallèles aux mêmes axes; ces quantités doivent être censées connues par le calcul du lieu du soleil dans le même instant de lobservation de la comète, et l’on aura aussi la condition