APR HU TT
Enfin soient x, y, z les coordonnées rectangles du lieu de la comète par rapport au soleil, parallèles aux mêmes axes, et r le rayon vecteur de son orbite autour du soleil; il est visible qu’on aura ces trois équations :
R=RI— bn, y=Rm—pu, z2—=fRn—py; et comme r°=— 2%" + y" + 2°, on aura n° = R°+ p°— 2 Rp(lA + mu + nv).
Or on sait que l'expression {A + mx + nv est celle du cosinus de l'angle formé entre les deux rayons R et p, partant du centre commun de la terre et dirigés, l’un à la comète, l’autre au soleil; de sorte que si l’on désigne cet angle par o, on aura r°= R°— 2 Rpcoss + p°.
Si donc on a trois observations de la même comète, faites à des intervalles de temps connus, on aura trois systèmes pareils d'équations qui contiendront
chacun une nouvelle inconnue p, et les propriétés de la parabole (*) donneront trois autres équations.
38. Ce qui se présente de plus simple pour cet objet, est d'employer la
ER e nn men er 2. = Se
(*) C'est-à-dire les propriétés du mouvement parabolique développées plus haut. (7. Bertrand.)
formule donnée dans l’art. 28, par laquelle on a le temps que la comète emploie à décrire un arc quelconque exprimé par la corde de l’are, et par la somme des rayons vecteurs qui aboutissent à ses deux extrémités, et dégagée de tous les éléments de l'orbite; car les trois intervalles de temps entre les trois observations, ‘prises deux à deux, donneront les trois équations demandées.
Nous marquerons par un trait les lettres qui désignent les quantités analogues dans la seconde observation ; nous aurons ainsi
r=R?— 28") coso+ p” et s—r-+tr!,
Pour la corde x de l'arc parcouru par la comete. dans l'intervalle des deux P P , observations, 1l est clair qu'on aura
r+r— ao (xx + ÿy + 22).
En substituant pour x, y, z et pour #”, y”, z° leurs valeurs, on aura
aa" + vy" + 22 = RAR + mm + nn) + pp' (AN + ue + 19!) — REX + mu + ny) — R'o(l'A + mu —- n'y).
Or, par les théorèmes connus, l'expression {+ mm'+ nn’ doit représenter le cosinus de l’angle compris entre les deux rayons R et R” partant du centre de la terre et dirigés aux deux lieux de la comète dans les deux observations ; de même, AN + wu'+ w” sera le cosinus de l’angle formé au centre de la terre par les deux rayons p, p” dirigés aux deux lieux du soleil, et ainsi des autres expressions semblables.
Donc si, pour plus de clarté, on imagine que les deux lieux apparents de la comète soient marqués sur la surface de la sphère par les lettres C, C”, et de même les lieux apparents du soleil par les lettres S, S”, et qu’on joigne par des arcs de grands cercles les quatre points C, C”, S, $”, il est évident que les arcs CS, C’S’ représenteront les angles que nous avons dénotés par “etc ; que les arcs CC’ et SS’ représenteront les angles dont les cosinus. sont
+ mm nn! et AN + uu' + w’,
ho MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
et qu'enfin les ares CS” et C’S représenteront les angles dont les cosinus sont IN + mu + ny et la+mut+n'r.
Ainsi, en considérant le quadrilatère sphérique CC’SS”", qui est censé donné par les deux observations de la comète et par les deux lieux calculés du soleil, on aura
r? = R°? — 2 Rpcos (CS) + p”,
r'2— R/? Er "p’cos (C'S”) = p',
uw =r°+7r?— 2RR'cos (CC) — 2 pp’ cos (SS")
+ 2 Rp" cos (CS) + 2 Rp cos (CS);
donc, comme la différence &” — & des temps £ et #” qui répondent aux deux
observations, c’est-à-dire leur intervalle en temps, est censée donnée, on aura, par la formule de l’article cité, l'équation
2 3 (r+r ou) — (r + —u) 6 Ve | dans laquelle il n’y aura d’inconnues que les deux distances R et R’. Si l’on a une troisième observation, pour laquelle les quantités analogues
ét —t —
soient désignées par les mêmes lettres marquées de deux traits, on aura, par la comparaison de la première observation avee celle-ci, une deuxième équation tout à fait semblable, dans laquelle les lettres marquées d’un trait dans l'équation précédente, le seront par deux traïts, et qui ne contiendra que les deux inconnues R et R7,
On aura de même une troisième équation semblable, par la comparaison de la deuxième observation avec la troisième, en ne faisant que marquer d’un trait, dans la première équation, toutes les lettres qui n’ont point de trait, et de deux traits toutes celles qui en ont un: ainsi cette troisième équation ne contiendra que les mêmes inconnues R” et R”; de sorte que les trois équations ne contiendront que les trois inconnues R, R, R”, et suffiront pour les déterminer. Mais, quoique ces équations se présentent sous une forme assez simple, leur résolution offre des difficultés presque msurmontables, parce que les inconnues y sont mêlées entre elles et renfermées dans
différents radicaux.
39. Aureste, si l’on pouvait parvenir d’une manière quelconque à trouver les valeurs des rayons R, R’, on aurait tout de suite le demi-paramètre b,
qui, dans la parabole, est égal au double de la distance périhélie, par la formule (art. 25) |
Pas (Tr) —— De afrbrt— V{r+ rl"
et comme on a, en général (art. 10), l'équation Cz + Ax + By — o, dans
+ . BD s laquelle à — sin * tangi, à — — cosh tangz (art. 44), on aura ces deux-c1 :
z —(xsinh + ycosh)tangi — 0, z'— (x'sink + y'eosh) tangi — 0,
d'où l’on tirera facilement les valeurs de tang c et tang k, ce qui donnera la position du plan de la parabole, relativement au plan qu’on aura choisi pour les axes des x et y.
On peut même remarquer que, par le moyen de ces équations, qui dépendent de ce que l’orbite de la comète est supposée dans un plan passant par le soleil, on peut d’abord réduire les trois inconnues à deux seulement.
En effet, si l’on fait, pour abréger, L —tangisimh, M—tangzcos#, on aura, en substituant les valeurs de x, y, z, l'équation Ra — pr = L(RI — pa) + M(Rm — pu),
d’où l’on tire nas
Rp
et l’on aura de même les expressions de R’ et de R”, en marquant d’un trait et de deux traits les lettres, à l'exception de L et M, qui sont les mêmes pour toutes les observations.
De cette manière, les trois inconnues R, R’, R” seront réduites aux deux l et M, de sorte qu’il ne faudra employer que deux équations pour leur détermination, ce qui simplifie un peu la solution du problème.
40. Pour la simplifier davantage, il ne paraît pas qu’il y ait d'autre moyen que de supposer les intervalles de temps entre les observations assez petits Mée, anal. T1. 6
pour qu'on puisse négliger plusieurs termes comme insensibles, ce qui ne donnera d’abord qu'une solution approchée, qu'on pourra rendre plus exacte ensuite, par de nouvelles corrections. C’est aussi ce qu on a fait Jusqu'ici dans toutes les solutions qu'on a données de ce problème.
En appliquant cette hypothèse à la solution précédente, la corde w deviendra très-petite, et en ne retenant que les deux premiers termes des radicaux qui entrent dans l'expression du temps 4 — +, écoulé entre les deux pre-
mières observations, on aura
uVr+r!
/ Lt 9
ce qui donne étre) = lt 0,
et 1 n’y aura plus d'autres radicaux dans cette équation, que ceux qui entrent dans les expressions de r et r'; mais les équations entre les trois inconnues R, R’, R”, ou entre les deux L, M, seront encore trop compliquées pour qu’on puisse les employer avec suecés. |
On peut conclure de là que ces inconnues ne sont pas ceiles dont l'emploi est le plus avantageux dans la question présente; et lorsqu'on ne demande d'abord qu’une solution approchée, il est beaucoup plus simple de faire usage des formules que nous avons données dans Part. 28, pour le cas où
l'on suppose le tem ps £ très-petit.
41. Pour appliquer ces formules à la détermination de l'orbite des comètes, 11 n’y aura qu'à y substituer à la place x, y, z les expressions données dans l’art. #7; on aura ainsi, en général,
dx dt À
RE — pa = xT +
| d Ron — pu = y À + HV,
R A — pr — LÀ + —
dx d
LE | : | ar répondent au commencement du temps t dt la
ou les quantités x, y, Z, oi
et sont regardées comme constantes, et où T et V sont des fonctions ration-
El ar nelles de t, et des constantes r, do
Comme le commencement du temps # est arbitraire, on peut le fixer au
moment de la première observation; or, en faisant £ — 0, on a Les et N°0
donc on aura pour la première observation ce premier système d'équations,
Ré PA —X, Rm — pu = Y, Rn — pr —7.
Pour la deuxième observation, distante, de la première, du temps é, on aura, en marquant d’un trait les lettres R, /, m, n, p, À, u, v, ce second système d'équations,
R'/! . pa Le "ui sh Ne
dt
d Rm— pu = NT + . V, Rn — 0 —12T + da y ' P Le AE
On aura des équations pareilles pour la troisième observation, distante, de la première, du temps #”, en marquant de deux traits les lettres marquées d’un trait dans les dernières équations, et d’un trait les lettres T et V, pour imdiquer que le # dont elles sont fonctions doit être changé en t’; on aura ainsi
ce troisième système d'équations,
R°’/’ A LU — x TT" NS
| ädz Rp" EL sep Her V’.
On peut éliminer des premières équations de chacun des trois systèmes,
dx e / les deux constantes x et Tr? et faisant, pour abréger,
TV’ mr VT' __ V7, on aura (R/ — pA) Lu D. (R'// ma px) V' ee (R707 — p’A') V = Q, Méc. anal, X. 6*.
Éliminant de même les deux constantes y, u des secondes équations des mêmes systèmes, on aura (Rm Le pu) V” — (R'm'— pu) V'+ (R7F — pra") V 0, et l'élimination des constantes 7, É des dernières équations de ces systèmes donnera pareillement (Ra — pr) V"— (Re — pr) + (Rn" — pr") V = 0.
De ces trois équations on tire
pTV'— p'T'V'— D'LTNV
R ET CV? 3 R’ Ee pT,V'— p'T'V'+ DEL" V re R'— pT, V'— p'EVE DOTOV De EU = > 2
en supposant, pour abréger, G—= mn" mn l = nlm"— nm" — mn" nm 0,
et en dénotant par T', T’, T” ce que devient G lorsqu'on y change /, m, n, respectivement en À, u, v, en À’, m’,v" et en À”, u”, »”’; en dénotant de À ; ! t f (2 . . . ° même par 1',, [,, F,, et par F,, l,, T, ce que G devient en faisant subir les mêmes changements aux quantités /’, m', n°, ainsi qu'aux quantités ana-
logues !”, m", n”.
Maintenant les trois observations donnent aussi (art. 37, 38) les équations
R° — 2 Rp cos (CS) + p— r*°, R® — 2 Rp" cos (CS) +p=r?, R7° — 9} ou COS (C”S7) 2, pe ne pre Donc, si l’on y substitue les valeurs précédentes de R, R’, R”, on aura trois
équations finales qui ne contiendront que des quantités connues, avec les quantités V, V', V'etr, r’,r”, qui sont données en fonctions du temps et
} $ d 9 LA 14 ? .
des trois constantes r,s, d’où dépendent les éléments de l'orbite (art. 28,
@9)\ : de sorte qu’on pourra déterminer ces trois constantes. pl
49. En ne poussant l’approximation que jusqu'aux quatrièmes puissances det,ona
et, de même, 13 7
[A / / c Ke us, V os FA FR 8 Gr° —— 0° À r 5 —- » € » 3
et comme V’— TV'— VT"', on trouvera
/ .\ 8 1! 8 /\5 Poe 0 (é — t) (lt (tr) VE + +
n faisant ces substitutions dans les +, R’, R”, : san En faisant bstitut dans les valeurs de R, R’, R”, et supposant {'— mt, le coefficient m étant donné par le rapport des deux intervalles entre les trois observations, il est clair que la quatrième dimension de # disparaîtra par la division, et qu’ainsi il suffira d’avoir égard à la troisième dans les valeurs de 7° et r”.
Or on a, en général, aux {* près, 2 2 ds 2 ES 43 à ARR à + 2sit+ ri da aie mais nous avons supposé que la première observation répond à £ — 0, et + . / e & que les deux suivantes répondent aux temps £ et ? — mi; ainsi on aura
ds , o L — re)
æ] 2 Fr" + 281 + — —— è dt “ra
ds a = 1? + 9 mst + n° Te — mm" = L”, (AA 2
On fera donc ces substitutions dans les trois dernières équations de l’article précédent, et rejetant les termes qui contiendraient des puissances de # supérieures à la troisième, on aura trois équations entre les trois inconnues
ds F NS NAS r, set —> dont les deux dernières n’y paraîtront que sous la forme linéaire,
de sorte qu’il sera très-facile de les éliminer et de réduire le problème à une
seule équation en r. C’est en quoi consiste le principal avantage de la méthode que nous proposons.
Si l’on voulait pousser l'approximation plus loin et avoir égard à un plus
oränd nombre de termes dans les valeurs de V, V', V”,r°,r°?, on aurait
Le) des équations où les inconnues s et Te teraient successivement à des dimensions plus hautes, ce qui rendrait leur
S - L. f L} L] ne seraient plus linéaires, mais mon-
élimination plus difficile et l'équation finale encore plus compliquée.
45. Pour donner là-dessus un essai de calcul, nous nous contenterons d'avoir égard, dans les valeurs de V, V’, V”, aux troisièmes dimensions de t£ et de #”, ce qui fera disparaître les termes affectés de l’inconnue s; nous ferons, pour plus de simplicité, g — 1, en prenant la distance moyenne de la terre au soleil pour l'unité des distances, et représentant les temps par les mouvements moyens du soleil (art. 23); et supposant {’— mt, nous aurons
| mt V — —— — V'— mt — sd
Les valeurs de R, R’, R” deviendront ainsi de la forme nl pi
fées D 6Pr°—Qr
Pertes GPir— Q,/° KR — [G(rm—i1)r— (m—i)e |G" B”/—- 6Prr— QE
TT Létr—1}r9 {nm 1) ]C?
en supposant, pour abréger,
P= (m—1)p0 — mpT'+ pr”, Q ns (m + 1)°pT bre me pr" + CL MS
et dénotant par P,, Q, et P,, Q, ce que P et Q deviennent en y changeant Parents Li ete: 1 F2
Ces valeurs de R, R”, R”, distances de la comète à la terre dans les trois observations, ne contiennent, comme l’on voit, que la seule inconnue r, rayon vecteur de la comète dans la première observation. Si donc on subsitue la valeur de R dans l’équation (art. 25)
R° + 2kRpcos(OS) + p° = r?,
on aura une équation finale en r, laquelle montera au huitième degré, et le problème sera réduit à la résolution de cette équation.
Ayant trouvé la valeur de r, on aura par les formules précédentes celles de R’ et R”; de là on aura, par les formules de Part. 4%, les valeurs des trois rayons vecteurs r, r”, r/, ainsi que celles des coordonnées x, y, z, et de leurs
2 dx dy dz dt de” dt
du $ IT, ou, si l’on aime mieux, par les formules trigonométriques connues,
différentiell : et l’on pourra déterminer l'orbite par les formules
d’après les trois distances R, R”, R” de la comète à la terre.
44%. Les expressions des distances R, R’, R” peuvent être simplifiées par la considération suivante: Comme la terre et la comète se meuvent autour du soleil, par la même force attractive de cet astre, si l'on nomme Ë, n, Ê les coordonnées rectangles de la terre autour du soleil lorsque t — 0, et qu’on désigne par O6, Y ce que deviennent les fonctions T'et V iorsqu'on y change les éléments de l'orbite de la comète en ceux de la terre, on aura, comme
dans l’art. 28, les trois équations
LE — pA = 40 EX TE Le
ne — pu 18 +,
Ge. dé os py — CO —- Je de
parce qu'ayant dénoté (art. 24) par pA, pu, pr les coordonnées rectangles du lieu du soleil par rapport à la terre, on aura — pA, — pu, — pr pour celles de la terre par rapport au soleil. |
Comme ces équations ne diffèrent de celles de l’art. 28 que parce que x, Y,Z, À, V sont changées en Ë, n, C, 9, Y et que À y est nul, il est clair qu'on aura des résultats analogues, en faisant ces mêmes changements dans ceux que nous venons de trouver dans l’article précédent. Ainsi, puisque les expressions de R, R’, R”, données à la fin de cet artiele, ne contiennent d'autre quantité dépendante des éléments de l’orbite que le rayon vecteur r, si l’on y change r en p, rayon vecteur de l'orbite de la terre, on aura
d'ou l’on tire
GP — Se, Gps, 6p =.
Ces valeurs étant maintenant substituées dans les mêmes expressions de R, R’, R”, et négligeant, dans le dénominateur, le terme très-petit du second ordre (m—1})°#* vis-à-vis du terme fini 6(m —1}r°, on aura ces expressions plus simples:
G(m—1)G \p*° r° Er Qt + [' ù Se (x 1
S1 donc on substitue la valeur de R dans l'équation R°— 2Rp cos (OS) + p—r—0,
et qu'on fasse, pour abréger, Që Gf(m—i1)G K, quantité toute connue par les observations, en multipliant par Lp°r°, on aura l'équation
K2(r°— p}— 2 KR pr (r°— pt) cos (CS) + p°r° (p°— r°) — 0,
où l’inconnue r montera au huitième degré, mais qui, étant divisible par r — p, ne sera, après la division, que du septième degré.
Cet abaissement de l'équation en r est dû à ce que nous avons représenté le mouvement de la terre, comme celui de la comète, par des formules ap- prochées où l’on a négligé les puissances de # supérieures à la troisième ; il n'aurait pas lieu en employant la valeur de R de l’article précédent, dans laquelle les lieux du soleil sont supposés exacts, étant déterminés d’après les
Tables.
45. On peut ramener l’équation précédente à une construction assez simple. Ayant mené d’un point donné deux droites qui fassent entre elles un angle égal à l’arc CS, distance apparente de la comète au soleil dans la pre-
s A . | eo , 4 \ K Lé mière observation, et dont la première soit égale à nL et la seconde égale
à p; il s'agira de trouver dans la première un point tel, que la partie comprise entre ce point et l'extrémité de la même droite soit à la droite entière comme le cube de la seconde droite est au cube de la droite qui joindra l’extrémité de celle-ci et le point cherché: alors cette dernière droite sera égale à r, et la partie de la première interceptée entre le point donné et le point cherché, sera égale à R. Car par cette construction on aura la proportion
K 3 = — Riz: pt:r, laqueile donne
R—K{(<—<), \P T° et ensuite
r — /p° — 2pkR cos (OS) + R?,
d’où résulte l'équation ci-dessus en r.
Lambert est, je crois, le premier qui ait réduit le problème des comètes, envisagé d’une manière approchée, mais exacte (”), à une équation unique à une seule inconnue. Îl y est parvenu par une considération ingénieuse, fondée sur ce que le lieu apparent de la comète, dans la deuxième observation, s’écarte du grand cercle mené par les lieux apparents, dans la première et dans la troisième observation; et la détermination de cet écartement l’a conduit directement à une construction analogue à celle que nous venons de donner, et qui se réduit à une équation en r du septième degré. F'oyez les Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1771.
Connaissant ainsi les valeurs de r et R, on aura
PR, R=R Q Sn
en eo Cm de mpnmen
(*) Euler avait donné, en 1744, une solution approchée du problème des comètes; mais sa méthode exigeait plusieurs fausses hypothèses et l'emploi d’une quatrième observation. Quant à la solution de Lambert, on doit observer que celle dont Lagrange donne ici une idée succincte est la seconde qui ait été proposée par ce géomètre, qui a même négligé d’en développer les calculs. Le problème avait été résolu par lui d’une manière très-différente dans un ouvrage spécial, Znsignores orbitæ cometarum proprietates, qui date de 1761. (J. Bertrand.)
Méc. anal, T. 7
et les deux équations (art. 40 et 44)
2/2 OS TD à EE US DRE | l sa ls R°® — 2R p cos (CS) +p°=r"—r +(at— 5) +8
R/2 0 R’p" cos (c”S”) ce pr — pl p? re ( > mt —- ee
ds 2 42 | Ge sn D
| ds \ 1/ donneront les valeurs des constantes s et dE et de là celles des éléments &
et b de l'orbite, par les formules de l’art. 28, 2 a étant le grand axe, et 2 0 le
paramètre.
46. Si l’on suppose l'orbite parabolique, on aura a infini, ce qui donne
= = - Dans ce cas, les deux dernières équations ne contiendront plus que l’inconnue s, laquelle étant éliminée, on aura une nouvelle équation en R qui devra avoir une racine commune avec celle qu’on a déjà trouvée, ce qui servira à faciliter la recherche de cette racine. |
En adoptant d’abord, pour les comètes, l’hypothèse de la parabole, il sera préférable de faire dépendre la solution uniquement de cette dernière équation, parce qu’elle a l'avantage d’être exempte de la quantité G, qui est trèspetite du troisième ordre, lorsque les intervalles de temps # et £” ou mt sont très-petits du premier, comme on le verra plus bas, de sorte que les erreurs des observations d’où cette quantité dépend, peuvent y avoir une influence très-grande.
En faisant, pour abréger,
Re (Q:}° — M, mQ p’ cos Ne Q:p” cos (CS) —N,
et négligeant les termes affectés de &* dans les coefficients de p, élimination
de cette quantité donnera l'équation en R MR? — 2NR + mp? — p?— (m—1)r + m(m—i1) (e) es 08 qui, étant combinée avec l'équation R°— 2Rp cos (CS) + p—r —0o,
donnera, par l'élimination de R, une équation en r du sixième degré; et
Ée
SECONDE PARTIE. -— LA DYNAMIQUE. ji
si, dans la combinaison des deux équations, on: néglige le carré du terme gt? . . “hr. °\ 7 . à
m(m — 1 qui serait du quatrième ordre, l'équation finale ne montera
plus qu'au cinquième degré. On pourrait même, dans là première approxi-
mation, négliger ce terme, qui nest que du second ordre; alors l'équation
finale ne serait plus que du quatrième degré, et pourrait se résoudre directement par les méthodes connues.
La valeur de r donnera celles de R, R’, R”, et de là celles de 5, par les formules de l’article précédent, et comme on suppose a infini, on aura
b— 2r—s, ou le demi-paramètre b devient double de la distance périhélie de la comète.
47. Après avoir réduit le problème des comètes à des équations finales à une seule inconnue, 1l reste à examiner les quantités qui doivent être supposées connues ; ces quantités sont :
1°. Les trois rayons p, p', p”, qui représentent les distances du soleil à la terre dans les trois observations, et qui doivent être calculées par les Tables du soleil ;
2°. Les quantités G, T, r',r°,r,,1, 1°, 1,, 1,1, d'où dépendent les valeurs de P, Q, P,, Q,, P,, Q, (art. 44 et 48): celles-c1 doivent être déterminées par les trois observations de la comète et par le calcul des lieux du soleil; mais on peut les ramener à des expressions plus simples, qui en rendront la détermination beaucoup plus facile.
Commençons par la quantité G, dont les autres ne sont que des dérivées ; on a (art. 44)
G—= mr" mn nl m" — nm" — mn" — nm'l"; le carré de cette expression peut se mettre sous la forme (CG? — (+ me? —- n°) (Ur + in = n°) (72 +. Hi n°?) + 2 (2 mm + nn!) ("mme + nn!) (VU mm" + n°n7) e- (+ m2 + n°) (re mm" n'n"} er (Er + m'? si n°) UM mm" = nn") PR Qi hs ARS À n”) (El +- mm + nn’),
comme on peut s’en convaincre par le développement. Or, par la nature des quantités /,m,n,l',m',n', l",m",n" (art. 87),
PH m+n =1, Emi n?—;, men — 1.
Donc, faisant, pour abréger,
LU" + mm + nn, L'—= Ü" + mm" + nn”, 17 EE mm —- n'n”,
on aura
