G— 1 2 ELLE — FL? — L?— D

Or nous avons déjà remarqué (art. 38) que la quantité (+ mm'+ nn’ est égale au cosinus de l’angle compris entre les deux rayons R et R’ dirigés vers la comète dans les deux premières observations, angle que nous avons désigné par le côté CC’ du triangle sphérique CCC”, supposé tracé sur la sphère en joignant par des arcs de grands cercles les trois lieux apparents de la comète dans les trois observations. Ce triangle est entièrement donné par les observations de la comète, de quelque manière qu'elles aient été faites; et nous pouvons regarder comme connus ses trois côtés CC”, CC”, C’C7, ainsi que les angles G, C7, C7 côtés C/C7, CC’ et CC.

On aura donc

, qui sont respectivement opposés aux

EL — cos (CC), et, de même,

L'= cos(00”), L’— cos(C'C”),

et l'expression de Îa quantité G° deviendra G= 1 + 2 cos (CC”) cos (C0”) cos (C/C7) — cos? (CC) — cos? (C0) — cos* (C/C”).

Cette expression de G*? peut encore se réduire à une forme plus simple;

car 1l est facile de se convaincre, par le développement des termes, qu’elle est la même chose que celle-ci :

[cos (GC’+ CC”) — cos (C/G”)] [eos (C/C”) — cos (CC — GC”) |,

laquelle, par les transformations connues, devient celle-ci :

CCE CC + Sa se ee )

Ge fsin ( = CC 0CC"'+ —. $ FE | es SO E—————— |,

*X sin {

formule très-commode pour le calcul logarithmique.

Si l’on veut employer les angles du même triangle, on peut avoir encore

une expression plus simple de la quantité G; car on a, par les formules

connues, cos (C/C/”) — cos (CC) cos (OC”) + sin (CC) sin (CC”) cos ü;

si l’on fait cette substitution dans la première expression de G*, on aura,

après les réductions,

G?=— sin (CC)? sin (CC”)* sin C?, et, par conséquent, en tirant la racine carrée, G — sin (GC) sin (GC) sin C.

On peut trouver de la même manière

G — sin (C/C”) sin (C/C) sin = sin (C/C) sin (C/C”) sin C”’.

Il est facile de prouver que la quantité G n’est autre chose que ia solidité, prise six fois, de la pyramide triangulaire qui a le sommet au centre de la sphère dont le rayon est supposé égal à l'unité, et qui s'appuie sur le triangle sphérique CCC”, c’est-à-dire qui a pour base le triangle rectiligne formé par les cordes des trois ares CC’, GC”, C'C”. Car, si l’on considère une des faces triangulaires de cette pyramide, celle, par exemple, qui à pour base la corde de l’are CC”, on aura <sin (CC) pour l'aire de ce triangle isocèle. Ensuite, si l’on considère la face adjacente qui a pour base la corde de l'arc CC”, il est visible que l’inclinaison mutuelle de ces deux faces sera égale à l'angle C du triangle sphérique ; par conséquent, la perpendiculaire menée de langle C” sur la première face sera égale à sin (CC”) >< sin G. Cette perpendiculaire devient la hauteur de la pyramide, en la supposant couchée (”) sur la première

(*) C'est-à-dire que cette perpendiculaire est la hauteur qui correspond à cette première face. | (7, Bertrand.)

face égale à sin (UC); donc la solidité de la pyramide sera égale à

= sin (CC) sin (GC7) sin O,

/ Ze LÉ et, par conséquent, égale à sus

48. Nous dénoterons en général par le symbole (CCC) la fonction des côtés et des angles de tout triangle sphérique CC/C”, par laquelle nous avons exprimé la quantité G.

Ainsi ayant marqué sur un globe les trois lieux apparents de la comète OC, C',C”, donnés par les trois observations, et formé le triangle sphérique CC’C”, on aura tout de suite | |