G — (CC/C

Si ensuite on place sur le même globe ies trois lieux du soleil S, S&', S”, dans les trois observations, et qu'en joignant ces lieux et ceux de la comète par des arcs de grands cercles, on forme différents triangles sphériques SC/C”, S'C'C”, etc., il est facile de voir, par ce que nous avons dit dans l’art. 40, relativement aux quantités T, EF”, L°, P,, 1, 1, L,, 1, 1, que les trois premières seront données par des fonctions semblables des triangles SC/C”. S'C'C”, S'C'C"; que les trois autres seront données par de pareilles fonctions des triangles CSC”, CSC”, CS”C”, et que les trois dernières le seront par de semblables fonctions des triangles CCS, CC'S", GC’S”. On aura donc ainsi, d’après la même notation,

(SCC PT SCC), ae eco":

ER). ets Ch PC Cr

r,=(CCS), r,—(00S), r,— (CCS).

Ces quantités ne dépendent, comme l’on voit, que de la position mutuelle des lieux apparents de la comète et du soleil, et comme elles sont les seules qui entrent dans les équations qui déterminent les éléments absolus de l’orbite, notre analyse a l'avantage de séparer la détermination de ces éléments de celle des autres éléments qu’on peut appeler relatifs, parce qu'ils se rapportent à la position de l'orbite dans l’espace.

49. On peut remarquer encore que les expressions que nous venons de donner ont lieu quelle que soit la position des lieux apparents de la comète

et du soleil; mais lorsque, comme nous l'avons supposé, les lieux de la comète sont peu distants entre eux, les arcs CC’, C/C” seront très-petits, et l'angle C’ compris entre ces ares sera peu différent de deux droits; il serait égal à deux droits si la terre et la comète décrivaient, dans l'intervalle de ja première à la troisième observation, des lignes droites, parce qu’alors les trois lieux apparents de la comète seraient dans un même grand cercle. Les sinus de CC’, C’C” et de (/ seront donc très-petits, et la quantité

G — sin (CC) sin (CC) sin C’ sera très-petite du troisième ordre; mais les quantités

T — sin ($C) sin (SC”) sinS,

T’— sin (SC) sin(S'C") sin’,

Fii:7

ne seront que du premier; et comme d’ailleurs il n'entre dans la valeur de G que des quantités dépendantes des lieux apparents de la comète, au lieu que les quantités T, F”, etc., dépendent en partie des lieux du soleil, qui, étant donnés par les Tables, peuvent être regardés comme exacts ; 1! s'ensuit que la valeur de la quantité & sera toujours beaucoup plus sujette à erreur que celles des quantités T', ”, etc., et qu’ainsi il conviendra, autant qu’il est possible, de l’éviter, comme nous l’avons montre dans l’art. 46.

50. Nous remarquerons enfin que, comme l'observation d’une comète donne ordinairement son ascension droite et sa déclinaison, si l’on veut employer immédiatement ces données dans nos formules, 1l n’y aura qu’à supposer que les trois axes auxquels nous avons rapporté les rayons R, KR’, R”, dirigés vers la comète, et les rayons p, p”, p”, dirigés vers le soleil, soient dirigés, le premier vers l’équinoxe du printemps, le deuxième à angle droit sur le plan de l'équateur et suivant l’ordre des signes, et le troisième vers le pôle boréal de l'équateur ; alors nommant a l'ascension droite de la comète, d sa déclinaison dans la première observation, et de même x l’ascension droite du soleil, à sa déclinaison au même instant, il est facile de voir qu’on. aura

{—smacosd, m—cosacosd, n—smd,

A = sin & COs à, u — COS & COS 0, y —8in0..

De là on aura (article cité) cos (CS) = {2 + mu + ny = cos (a — x) cos d cos à + sin d sin à,

et, pareillement, cos (OS) — cos (a — «’) cos d’ cos à’ + sin d’ sin”,

cos (08) = cos (a”— «”) cos d” cos à” + sin d” sin”,

en marquant, comme nous l'avons fait, par un trait et par deux traits Îles quantités analogues qui se rapportent à la deuxième et à la troisième observation. |

On aura de la même manière

cos (C0) — cos(a — a”) cos d cos d’+ sin d sin d”, cos (SS’) — cos (4 — x”) cos à cos d” + sind sin?” cos (OS”") — cos (a — x”) cos d cos d + sin dsiné”, et ainsi des autres cosinus.

Si ensuite on substitue ces mêmes valeurs de /, m,n,l',m,n/, W,m',n”, dans l’expression de G, on aura |

G— cos d cos d’ sin d”sin(a'— a) LA : ° .

— cos d cos d” sin d’ sin («”— a) + cos d’ cos d” sin d'sin(a”— a)

$ / W , 74 LT | sin(a — «)tang d'—sm(a — &) tang d : DU — cos d cos d' cos d Je | + sin(a”— à )tang d

et l’on en déduira les valeurs de T', T”, Tr”, en changeant a et d en x et à

en «et 9’, en +” et à”; celles de T,, T',, T°, en faisant les mêmes change-

f " ° à ments sur a’ et d’, et celles T,, T,, T”,, en faisant ces mêmes changements sur a”, d”. On aura ainsi

T — cos à cos d’ cos d” sin (a'— «)tang d'— sin(a"— «)tang d' + sin (a”— a”) tang à

,Fsin(a — a)tang d”— sin(a”— à) tango

l',— cos d cos à cos d HEC

+ sin (a — «)tang d . ! Q . 4 sin(a/— a)tango — sin(a — a)tang d

T,—= cos d cos d’ cos à Le |

+ sin (x — a’) tang Ô

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 0 et pour avoir les valeurs de F”, …,, [°,, et de F”, 1, [,, il n’y aura qu à marquer, dans les expressions de T, T,, T,, les lettres « et à d’un trait et de deux traits. L Ïl est inutile d’observer que si, au lieu des ascensions droites et des déelinaisons, on avait pour données les longitudes et les latitudes, il n'y aurait qu à substituer ces données à la place de celles-là dans les mêmes formules ; l'orbite se trouverait alors rapportée à l’écliptique, au lieu de l'être à l'équateur.

31. Après avoir calculé ces valeurs, on caleulera celles des quantités Q, Q,, Q, par la formule de l’art. 42, et si l’on veut employer la méthode de l'art. 44, comme la plus courte, on aura tout de suite l’équation finale en r, dont la résolution ne sera pas difficile, en la réduisant pour la première approximation au quatrième degré.

Si les intervalles entre les observations étaient égaux, on aurait # — 24, et, par conséquent, nm — 2, ce qui donnerait

Q—= pT — 80 T'+ PT" = — Gp T'+ A°.pF,

en désignant par la caractéristique 4° la différence seconde des quantités pF, p'E", p’T”, dans lesquelles 1l n’y a que les quantités relatives au soleil qui varient. Or, comme on suppose les observations peu distantes entre elles, les différences de ces quantités seront très-petites, par conséquent la différence seconde A?. pl" sera très-petite du second ordre et pourra être négligée vis-à-vis de la quantité finie — 69'T", ce qui réduira la valeur de Q à cette seule quantité, et l'on pourra faire les mêmes réductions sur les quantités

analogues Q,, Q, ; de sorte qu’on aura simplement | fn la pe fast Q=— — 69P'T, Q—=—6pT;, Q;, = —6GpoT,, ce qui abrégera encore le calcul de la première approximation.

À l'égard de la mesure du temps, comme ce temps doit être représenté par le mouvement moyen du soleil, si on veut l’exprimer en Jours moyens, il suffira de multiplier le nombre des jours et des décimales de jours par l'angle du mouvement moyen du soleil dans un jour, réduit en parties du rayon. Cet angle est de 59°8”,3, et donne en parties du rayon Île nombre 0,0172021, par lequel il faudra done multiplier les intervalles de temps #, réduits en jours moyens.

Méc. anal. 1. )

5$ MÉCANIQUE ANALYŸTIQUE.