CHAPITRE DEUXIÈME
SUR LA VARIATION DES ÉLÉMENTS DES ORBITES ELLIPTIQUES PRODUITE PAR UNE FORCE | D IMPULSION, OÙ PAR DES FORCES ACCÉLÉRATRICES.
52. Un des premiers et des plus beaux résultats de la Théorie de Newton, sur le système du monde, consiste en ce que toutes les orbites des corps célestes sont de même nature, et ne diffèrent entre elles qu’à raison de la force de projection que ces corps peuvent être supposés avoir reçue dans l’origine des choses. Il suit de là que, si une planète ou une comète venait à recevoir une impulsion étrangère quelconque, son orbite en serait dérangée: mais il n’y aurait que les éléments, qui sont les constantes arbitraires de l'équation, qui pourraient changer: c’est ainsi que l'orbite circulaire ou elliptique d’une planète pourrait devenir parabolique ou même hyperbolique, ce qui transformerait la planète en comète.
il en est de même de tous les problèmes de Mécanique. Comme les constantes arbitraires introduites par les intégrations dépendent de l’état initial du système, qui peut être placé dans un instant quelconque, si l’on suppose que les corps viennent à recevoir pendant leur mouvement des impulsions quelconques, les vitesses produites par ces impulsions étant composées avec les vitesses déjà acquises par les corps, pourront être regardées comme des vitesses initiales, et ne feront que changer les valeurs des constantes.
Et si au lieu d’impulsions finies, qui n’agissent que dans un mstant, on suppose des impulsions infiniment petites, mais dont l’action soit continuelle, les mêmes constantes deviendront tout à fait variables. et serviront à déterminer l'effet de ces sortes de forces. qu'il faudra regarder comme des forces perturbatrices. On aura alors le problème dont nous avons donné une solution générale dans la sect. V, et que nous appliquerons 1ei aux orbites des
plan êtes.
$ EL. — Du changement produit dans les éléments de l'orbite d’une planète,
lorsqu'elle est supposée recevoir une impulsion quelconque.
53. Nous avons vu, dans le $ Il du chapitre précédent, comment on peut exprimer tous les éléments du mouvement elliptique d’une planète, par
SECONDE PARTIE. —— LA DYNAMIQUE. 5c
dx dy dz des fonctions des coordonnées x, y, z, et de leurs différentielles — + À T° qui expriment les vitesses suivant les directions de ces coordonnées. Si donc on suppose qu'une planète, pendant qu’elle se meut, recoive dans un lieu quelconque de son orbite une impulsion qui lui communique les vitesses x,
y, z suivant les mêmes coordonnées et tendantes à les augmenter, 1l n'y dd
aura qu'à mettre dans les mêmes fonctions — + #, Hs Te z, à la
ne dz ; 117 ee
> ro n° € l’on aura les ia de la nouvelle ma que la
planète Frais après l'impulsion.
place de &
Si, à la place des coordonnées rectangles x, y, z, on prend, comme dans l’art. 5, le rayon vecteur r, avec les angles d et 9, dont le premier, 4, soit linclinaison de r sur le plan fixe des x, y, et dont l’autre, ®, soit l'angle de la projection de r sur ce plan avec l’axe fixe des x, les expressions de l’orbite deviennent plus simples. |
En effet, en substituant r cos d cos ®, r cos À sin ® et r sin À à la place de +, Y, 3, On trouve pour les éléments a, 6, h, 1,
d.,.=2 7? (cos” d do? + dd?) + dr?
De DENT * (cos d do? + dd” 1 RENE es g di ___ sinpdÿ — sind cos ÿ cosdg ranÈr cose dŸ — sin ÿ cosd sinç do” vd? + sin°Ÿ cos’ do?
EL
: . : dr rd rd Dans ces formules, les expressions différentielles 7 ; . et ii
sentent les vitesses dans la direction du rayon r, dans une direction perpen-
repr 6
diculaire à ce rayon et parallèle au plan de projection, et dans une direction perpendiculaire à ce même plan.
54. Prenons, pour plus de simplicité, le plan de projection dans le plan même de l’orbite, et supposons que la vitesse reçue par l'impulsion soit décomposée en trois, l’une suivant le rayon r, l’autre perpendiculaire à ce rayon dans le plan de l'orbite, et la troisième perpendiculaire à ce plan. Si
l’on désigne la première par r, la deuxième par rœ et la troisième par ra, on aura les éléments de la nouvelle orbite après l’impulsion, en mettant dans les expressions précédentes dr + rdt, do + odt, di + ddt à la place de dr, do, di, et faisant À — 0, dif — 0; alors la position de la nouvelle orbite se trouvera rapportée au plan de l'orbite primitive.
Soient À, B, H, I ce que les éléments a, d, h, t deviennent pour la nouvelle orbite, on aura |
r[(do + o de} + dde] + (dr + rdt)
I ee 2 RS g dt?
pr [dp+ dr) + ar] ed . *?
tang | — nee , de + odt ang — — tang ©,
donc H — 9; en effet, il est clair que le nœud de la nouvelle orbite avec l'orbite primitive doit être dans le lieu où se fait impulsion. né | | d Lee, Pr Si l’on fait aussi d — 0 et " — o dans les expressions des éléments pri-
mitifs a et b,ona
et de là on tire
5 rs. passant me ere ————…
COS Vb FA 72 i b Vgdt 7° Vedt \ /
En substituant ces valeurs, on aura les éléments de la nouvelle orbite exprimés par ceux de l'orbite primitive et par les vitesses r, r@, r) produites par l’impulsion.
55. Supposons maintenant qu'on demande l'impulsion nécessaire pour changer les éléments primitifs «a, b en A et B, et pour rendre la nouvelle orbite inclinée à la première avec l'angle 1; il ne s’agira que d'avoir les
expressions ®, +, r en À, B, I et a, b, r. Les formules que nous venons de
trouver donnent
cms
he: VgBsinI per mo
VgB cos! — Vgb D ee 7
Fr
- fa 1 B — fo 1 b
d = VEVi-i-i-vevi-i-£ Soit & la vitesse imprimée par l'impulsion, et soient «, 8, y les angles que la direction de l'impulsion fait avec trois axes dont l’un soit le rayon r prolongé, l’autre perpendiculaire à ce rayon dans le plan de l'orbite primitive et dans le sens du mouvement de la planète, et le troisième perpendiculaire au même plan ; on aura, par le principe de la décomposition, w cos x, u cos £, u cos y pour les trois vitesses suivant ces axes, lesquelles sont aussi celies que
nous avons désignées par r, r@ et r À. On aura donc UCosS& = FT, u COS B— Tr, u cos y = r\; d’où l’on tire, à cause de cos” « + cos" 8 + cos” y =1, 7 = Vr?+ r?@? + paie
Done, si l’on fait, pour abréger,
(4 on aura À I I à VBÈ = \/e(f—i-i- a Cosi—2Ef ), mea) COS a = — V£; VBcosi—Vb /cos £ V£; Ve jé
Mais si l’on voulait rapporter la direction de l'impulsion à deux autres axes placés dans le plan de l'orbite primitive, dont l’un serait perpendiculaire et ? LE s Û l’autre tangent à cette orbite, alors en nommant « l’angle que la perpendieu-
laire à l'orbite fait avec le rayon vecteur r, et dont la tangente est exprimée
dr Da 96 par 7rA les vitesses imprimées suivant ces deux axes seront par :
rCose —r@sins et sine + r@COSe,
la vitesse suivant le troisième axe perpendiculaire au plan de l'orbite ‘emeurant la même. Si donc on désigne par «” et par 8” les angles que la direction de l'impulsion fait avec ces nouveaux axes, on aura
U COS «= Tr COS € — r@sine,
u cos B'— rsines + rpCos s;
Or ON à | Y am dr salés LL ‘e tang == rd9 = VE?
d’où l’on tire, en substituant la valeur de f
Vb SIN £ — j. , COS ES ee 2 I V 2 E Lo tenu ie F St tnt, PR r & A a
et de là on aura | F Vb — fYB cos .
COS «a — TE I HN ne r a = I 1 NrFf+VBbcosi r al r COS BL —— ———— — ——— |) \/g, E I ur NE r a
ne
— 2 I : Fe. | où l’on remarquera que V g V se él la vitesse dans l'orbite primitive.
"À l'égard des signes ambigus des radicaux qui entrent dans ces formules,
on remarquera :
7 dr . . :
1°. Que f étant la valeur de La Cxprime la vitesse suivant le rayon r, dans l’orbite primitive, et que F exprimera la vitesse suivant ce rayon dans la nouvelle orbite; ainsi il faudra prendre ces quantités positivement ou
négativement, suivant que les vitesses qu’elles représentent tendront à aug-
SECONDE PARTIE. —— LA DYNAMIQUE. 05 menter ou à diminuer le rayon r, c’est-à-dire à éloigner ou à rapprocher le corps du foyer ;
b, ° = 74 | , 2°. Que 2 étant égal à TS , représente la vitesse circulatoire autour du F 5
dant à B ’ foyer dans l'orbite primitive, et que de même - représentera la vitesse cir-
culatoire dans la nouvelle orbite, et de cos Ï sera cette vitesse circulatoire rapportée au plan de l'orbite primitive. Ainsi, en prenant 4/b positivement, il faudra prendre l’autre radical VB positivement ou négativement, suivant que la nouvelle orbite sera, par rapport au plan de l'orbite primitive, dans le mème sens que dans cette orbite, ou en sens contraire, c’est-à-dire suivant que le mouvement dans la nouvelle orbite sera direct ou rétrograde, relativement au mouvement dans l'orbite primitive.
56. Lorsqu'on voudra appliquer ces formules aux planètes et aux comètes, ou fera g — 1, en prenant la distance moyenne de la terre au soleil pour l'unité des distances, et la vitesse moyenne de la terre dans son orbite pour l'unité des vitesses. Cette vitesse est à peu près de 7 lieues, de 25 au degré, par seconde. La vitesse d’un boulet de 24, au sortir du canon, est d'environ 1400 pieds, ou 233 toises par seconde, laquelle est aussi à peu près celle d’un point de l'équateur dans le mouvement diurne de la terre, celle-ci étant de 238 toises par seconde. Donc si, pour rendre nos estimations plus sensibles, nous prenons pour unité cette vitesse d’un boulet de 24, laquelle est à peu près d’un dixième de lieue, la vitesse de la terre dans son orbite sera exprimée par le nombre 70; par conséquent, il faudra multiplier par 70 la valeur & de la vitesse d’impulsion.
Voyons quelle peut être la plus grande valeur de &.
En nommant l’excentricité de l’orbite primitive, et ® l'anomalie vraie qui répond au rayon r, on a (art. 45)
b Ne a(i— e).
1+eCcos® 1+ecoso?
CD mmemnns
ES
donc I ET ch
ss men RS NE EEE DE TES LATE SE AEC TEE PEN - © mers
a r(1+ ecoso)
€ A ‘ , et de même la plus petite valeur
. S : : I Ï — Ainsi la plus petite valeur de - sera re “à
IL — EF | | : CE f | e de L sera , en nommant E l’excentricité de la nouvelle orbite. Donc y À I ï 5 E.4e la plus grande valeur des termes : — 7 ;sera ——— ; et cette expres-
sion aura lieu aussi pour les orbites hyperboliques où E et e surpasseraient l'unité. | ; | b | | Par les mêmes formules, on a I + € COS ÿ, dont la plus grande valeur
+ D k est 1 +e; la plus grande valeur de = sera de même 1 + E; donc la plus
Bé G+E) (i+e) … erande valeur de ie sera “UE DES mais il est facile de prouver que
ei
Vi+E) (1+e) Rue
donc on aura toujours
, car la différence de leurs carrés est L( D)
2 VB 2+E+e SE
Fr 7 il faut encore chercher les plus grandes valeurs de f'et F. Or les plus
| 1 b , 1—€ 2 € petites valeurs de - et de -; étant —— » la plus grande valeur de f'sera / +
| ; EF et de même la plus grande valeur de F sera V =:
Donc, puisque dans les expressions de w, 1/b, V B, jet F peuvent avoir
les signes + où —, en prenant positivement les termes qui contiennent ces
radicaux, et donnant aussi à cos Ï sa plus grande valeur 1, on aura
2 V RATE RNT TS
Cette limite se réduira à " + lorsque l'orbite primitive sera circulaire où presque circulaire comme celle des planètes, et que la nouvelle sera parabolique comme celles des comètes.
57. Les principales circonstances du mouvement des planètes autour du soleil nous portent à croire qu'elles ont eu une origine commune; c’est le contraire pour les comètes ; elles n’ont de commun entre elles que le mouvement dans une parabole, ou, en général, dans une section conique, et elles paraissent avoir été jetées au hasard dans l’espace.
Ne peut-on pas supposer que la cause qui a produit nos planètes en à produit en même temps un plus grand nombre d’autres placées au delà de
Saturne, et décrivant des orbites semblables, comme Üranus, mais dont plusieurs seront devenues ensuite comètes, en éclatant par une explosion interne; car une planète étant brisée en deux ou plusieurs morceaux, par la force de l’explosion, chacun de ses morceaux recevra une impulsion qui lui fera décrire une orbite différente de celle de la planète; et pour que cette orbite soit parabolique, il suffira (”) que la vitesse imprimée par l’explosion
ER 6 < TS n'excède pas 70 / - lois celle d’un boulet de canon. Pour Saturne on à
r—9, et pour Uranus r — 19; en supposant r — 24, il suffira d’une vitesse moindre que 35 fois celle d’un boulet qui n’est produite que par une poignée de poudre.
L'hypothèse d’une planète brisée par une explosion interne a déjà été proposée par M. Olbers, pour expliquer la presque égalité des éléments des quatre nouvelles planètes; et ce qui pourrait la confirmer, ce sont les variations de lumière qu'on observe dans ces planètes, et qui, en indiquant un mouvement de rotation, imdiquent en même temps que leur figure n’est pas de révolution comme celles des autres planètes: que, par conséquent, elles ne pouvaient pas être fluides, mais qu’elles devaient être déjà durcies lorsqu'elles sont devenues planètes comme elles le sont dans l’état actuel.
Si l’on suppose l'orbite primitive circulaire, et l'orbite changée par l’explosion, ellipiique mais peu différente d’un cercle, et peu mclinée au plan de l'orbite primitive, et qu'on n'ait égard qu'aux premières dimensions de l’excentricité E et du sinus de l’inclinaison 1, on à
…. VE? (sin? ® tcos D} 6m l
= ———— Vr E sin ® E cos D sin À COS = —— ; COS 6 = - — ; COS y = ——; u Yr ouVr u Vr
l'angie ® étant celui que ie rayon r fait avec le raÿon du périhélie.
Ainsi, puisque les excentricités et les inclinaisons des planètes ne gardent eutre elles aucune loi, et n’ont de commun que leur petitesse, on pourrait supposer que les orbites des planètes ont été circulaires dans leur formation,
0 NN . « . 6 . , (*} C'est-à-dire, 11 n’est pas nécessaire que la vitesse excède 70 VE fois celle d’un boulet de :
canon. {/. Bertrand.)
Méc. anal. TI. 9
et qu’elles sont devenues ensuite elliptiques et inclinées par l'effet de petites explosions internes. En effet, si un petit morceau m de la masse M d’une planète en avait été détaché et lancé avec une vitesse V capable d’en faire une comète, la planète n'aurait recu en sens contraire qu’une petite vitesse
Pues rui aurait pu changer son orbite circulaire en elliptique et inclinée M—m q P D | puq ?
comme celles de nos planètes, et la même impulsion aurait pu produire aussi quelque changement sur sa rotation, comme nous le verrons plus bas.
S IT. — Wariaiions des éléments des planètes produites par des forces
perturbairices.
58. Supposons maintenant que les impulsions qui changent les constantes arbitraires soient infiniment petites et continuelles ; ces constantes deviendront variables, et l’on pourra, de cette manière, réduire l’effet des forces perturbatrices des planètes aux variations des éléments de leurs orbites.
Soient X, Ÿ, Z les forces perturbatrices décomposées suivant les directions des coordonnées rectangles +, y, z, et tendantes à augmenter ces coordonnées ; ces forces engendreront pendant l'instant di les petites vitesses
| Le #8 : | dx dy dz À dt, Ÿ dt, Ldt, qu'il faudra ajouter aux vitesses » ere Lars
sion de chacun des éléments &, b, ce, etc., comme dans l’art. 52. Mais comme
, dans l’expres-
ces vitesses additionnelles sont ici infiniment petites, elles ne produiront dans les éléments que des variations infiniment petites, qu’on pourra déterminer par le calcul différentiel.
Faisons, pour abréger,
dx re 2 dy = / dz 2 Ah NS. Rod ie
; 147 . ; & , ; f chacun des éléments sera exprimé par une fonction donnée de x, y, 2, #, >”, 3". Soit a un quelconque de ces éléments, on aura sa variation da, en augmentant +’, y , = des quantités infiniment petites X dé, Y dt, £dt; on
aura ainsi
et l’on aura de pareilles équations pour les autres éléments de l'orbite 6, e, PR PE D
Pour faire usage de ces équations, il faudra substituer à la place des variables x», y, z, x’, y", z' leurs valeurs en # et en a, b, c, ete., données par les formules trouvées dans le premier chapitre; on aura ainsi autant d’équations du premier ordre entre le temps # et les éléments à, b, c, ete., devenus variables, qu'il y a de ces éléments, et il ne s’agira plus que de les intégrer.
Si l’on voulait introduire directement les forces perturbatrices dans les équations de l'orbite primitive (art. 4), il joies sr La respective-
ment les quantités X, Y, Z aux termes Re RT 5° RE - de ces équations.
Ainsi on peut regarder les équations dés AS " nouvelles variables a, b, c, ete., comme des transformées des équations en x, y, z; mais ces transformations seraient peu utiles pour la solution générale du problème. Leur grande utilité est lorsque la solution rigoureuse est impossible, et que les forces perturbatrices sont très-petites ; elles fournissent alors un moyen d'approximation que nous avons exposé d’une manière générale dans la sect. V.
59. Cette approximation, fondée sur la variation des éléments, est surtout applicable aux orbites elliptiques des planètes, autant qu'elles sont dérangées par l'action des autres planètes, et les géomètres l'ont souvent employée dans la théorie des planètes et des comètes; on peut dire que ce sont les observations elles-mêmes qui l’ont fait connaître, avant qu'on y eût été conduit par le calcul; elle a l'avantage de conserver la forme elliptique des orbites, et même de supposer l’ellipse invariable pendant un temps infiniment petit, de manière que non-seulement le lieu de la planète, mais aussi sa vitesse et sa direction (*) ne soient point affectées de la variation instantanée des éléments.
En effet, en regardant les coordonnées x, y, z comme des fonctions du temps et des éléments &, b, ce, ete., devenues variables, on a, par la difiérentiation,
dx
de = + — da a + % db + D At
CEE
(*) C'est-à-dire la formule qui exprime la vitesse et celles qui font connaître la direction du mouvement. (J. Bertrand.)
et 1l est facile de prouver que la partie qui contient les variations da, db, ete.,
devient nulle par la substitution de la valeur de da donnée ci-dessus, et des valeurs semblables de db, de, etc. Car, en faisant ces substitutions dans les
termes e d ce a gp Ÿ, 4, on aura { dx da \ da ax { dx da \da dy (FE da
da dz
db +.
dx db Ab de dx db dx db db dz'
dx dc dx dc dx dc dc dz!
,, €t ordonnant par rapport aux quantités X,
.\Xdi
\Vd j
….)Zdt
Mais en regardant d’abord x, y, z, x”, y", z' comme fonctions de «&, b,
c, h, 1, k, et ensuite a, b, €, etc.,
dx — 3
da db . A
comme fonctions de x, 7,2, x”, etc., on a
bise
dy = Ÿ da + Ÿ db + Ÿ de + Ÿ É dh + |
da SRr
db = Ÿ
? da +rd+T
+ Ti AA + ...,
