D AS EE

Substituant dans l'expression de dx, dy, etce., ces valeurs de da, db, ete.,

a doit avoir des équations identiques; par conséquent, 1l faudra que les termes affectés de dx”, dy", dz', dans les expressions de dx, dy, dz, devien-

sent nuls, ce qui donnera, par rapport à dx, les équations identiques

dx da da àx' dx da da dy’

dx db

db dx’

dx db db dy!

dx dc de dx

. dx de ns de

dx dc de dz!

SECONDE PARTIE. —— LA DYNAMIQUE. 69 {On aura donc simplement dx — Tr dt, et l’on trouvera de la même manière

d d | si de e 7 Ve ee dt, comme si les constantes à, b, c, h, etc., ne variaient

point.

60. Lorsque les forces perturbatrices viennent des attractions d’autres corps fixes ou mobiles, et que ces attractions sont proportionnelles à des fonctions des distances, alors si l’on désigne, comme dans l'art. 8 de la sect. V, par — Q la somme des intégrales de chaque force multipliée par l'élément de sa distance au centre d'attraction, et qu’on regarde la quantité Q comme fonction de x, y, z, les forces X, Ÿ, Z sont de la forme

| 1Q IN = 9 = Pass ;

7 Az ?

je donne lei le signe + à la quantité Q, parce que j'ai supposé que les forces X, Ÿ, À tendent à augmenter les distances x, y, z, au lieu que, dans les fonctions — Q, les forces perturbatrices, dirigées sur des centres, sont supposées tendre à diminuer Îles distances des corps à ces centres.

Dans ce cas, qui est celui de la nature, les variations des éléments a, b, c peuvent s'exprimer d’une manière plus simple, en employant, au lieu des différences partielles de Q relatives à x, y, z, ses différences partielles relatives à a, b, ce, ete, après la substitution des valeurs de x, y, z en t et a, b, ce, ete.; c’est cette considération qui a fait naître la nouvelle théorie de ia

variation des constantes arbitraires.

51 l’on regarde x, y, z comme fonctions de a, b, c, etc., on aura

d® __dQ da dQ db dQ de A le Vo ub ln A di | ns

49 __dQ da, dû db, dde | D cd di dd de dr

710) d da dQ db dQ de sl

De D nee à bide le to

et ces valeurs étant substituées dans l'expression de da de l'art. 58, à la place

de X, Ÿ, Z, elle deviendra

Haies da da da da da da dQ

=(oatwptwE)e / da db da db da db\dQ di Pa an dde d)d

da de da dc da dce\dQ de dx dy dde da) de

de, ; +. d'A On peut faire disparaître de cette expression les termes multipliés par —; da par la considération que Q ne contenant point les variables æ°, y’, z', on a

dQ dQ da dQ db dQ dc

ie de D de Ie da M0 ro Où dQ dQ da dA db dQ de …L

Dé dard à db dé de ete ee da dQ da dQ db da de es

un die VOD dec 0 a da

Donc, si l’on soustrait de la valeur de da la quantité

{da da dQ da dQ LT

es ms

dx dx dy dy | de de

qui est nulle, on aura

es RS ee Om et ne One ee

de dx dd dé de dx de dd dde da dc da de FA da de da dc da dc da de \d@ he de dx dy dy de de dx de dj de de

da db da db da db da db da db da db \4Q da — ( te di

Cette expression de da est en apparence plus compliquée que la formule primitive d’où nous sommes partis: mais elle a, d’un autre côté, le grand

aQ dQ | à n° gs EC. devien-

nent indépendants du temps #, après la substitution des valeurs de x, y, z,

avantage que les coefficients des différences partielles

x", y", 2, entet a, b,c,etc., données par le mouvement elliptique de la planète, comme on peut s’en assurer par la différentiation, en faisant varier le temps & dans les coefficients.

61. En effet, puisque a est censé fonction de t, x, y, z, «', y”, z', et que

x / / / ‘ à | “ dx / / , V2, &,Y,2Z varient aussi avec é, de manière que TX =); dz st é dx" dN dy! dV dz! dV RU

ir 9 rt: } pa = —— dy? ps = —— PE > par les cqua IOnNS

différentielles du problème (art. 4), il s'ensuit qu’on aura, en différentiant

par rapport à f, | d’a d° a

EUR se ee d° «& / d? & / da | dx di” dx?

/ FT dy) À dxde

ns ee OMS cm ngenne ee EE RES

dx dx! dx dx dy" dy dx dz'" dz

Mais à étant une des constantes arbitraires introduites par l'intégration des

mêmes équations, sa différentielle relative à £ doit devenir identiquement

RE D. nulle par les mêmes valeurs de 0 rs ON aura donc

da da

y. da y, da rs da dV da dV da dV Tu TD) TE de de dd dj ds de

équation identique qui subsistera, par conséquent, en faisant varier séparément. æ, Y, 2; &', V2. | Faisons varier +; on aura donc aussi

d'a d°a so d°a ea d°a pe d'a dN d'a dN dd dé * dy) 7 dxds® — dde de dd d'a dV da d'V da d'NV da d’V

——— mm mme ee tee nn es, ns et Om ne nm memes

diode de dx dx dj dxdy de dxdz °°

Donc la valeur de la différentielle de : se réduira à

da da d?V da d?V da d?V di dx — \ dx! dx? dy' dx dy dz' dx dz

On trouve de la même manière

da da d°V da d°’V da d?V 7 dy — dx did dt de de dde)

da (ss d°V da d?V da d°V

ee alaede i dede dan jee

On aura ensuite

d’a d'a ” da / da 1 2 da dx’ di Le dx dx!" a dy dx’ D dz dx lé D d'a dV d'a dy d'a dV

dx dx — dx dy AN — di de! de!

Mais en faisant varier x” dans l'équation identique da — o, et observant que la fonction V est supposée ne pas contenir les variables +’, y’, z!, on a

d°a da dé :; d°a / d'a y dx' di dx

a en PERLES te ren RO es emmenmees

dx® dx dx'dy! dy dx'dz' dz Dhs

donc on aura simplement

da __ de dx! dx

et l’on trouvera de la même manière

d d de = — dt, dy dy da da de ES dz dt.

| | Mt eh, … 16 dè On aura des expressions semblables pour les différentielles d': —. d : db dt db er 0 d. = , d:. Te d. ne d: Tr en changeant seulement a en b, et ainsi cour les autres quantités semblables.

Re rire | da SA ue, Si maintenant on différentie ie coefficient de Tr dé dans l'expression de

da de l’art. 60, et qu'on y substitue les valeurs qu’on vient de trouver pour

oi ds de in VE AB | | les différentielles de T D ) To sr TT on verra d’abord que les

x dy ; re 7 da db da db da db termes qui contiendront les différentielles de dede dit da * der

dx” dx se détruiront mutuellement, et que les termes qui contiendront les différen-

| db / - 7.

tielles de Æ, À , ete ., étant ordonnés par rapport aux différences partielles dx dx

de V, se détruiront aussi mutuellement dans chacun des coefficients de ces différences partielles.

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. vas

#49 À M dQ D'où l’on peut conclure que le coefficient de PR dans l’expression de da,

sera constant à l'égard du temps £, et ne pourra être qu’une fonction de a, b, c, etc., après la substitution des valeurs de x, y, z, &”, y", z" en a, b, ce, ete., et t; de sorte que la variable # disparaîtra d'elle-même, et qu'il suffira d’y substituer les valeurs de æ, y, z, x’, y”, z! qui répondent ou à {—0, ou à une valeur quelconque de £. |

On prouvera de la même manière que £ disparaîtra des autres coeflicients des différences partielles de Q, dans la même expression de da. Aïnsi la variation de «a sera représentée par une formule qui ne contiendra que les différences partielles de Q par rapport à b, c, ete., multiphiées chacune par une fonction de «a, b, c, ete., sans t. Et la même chose aura lieu à l'égard des variations des autres constantes arbitraires b, c, À, etc.

Ce résultat important, que nous venons de trouver à posteriori, n'est qu'un cas particulier de la théorie générale de la variation des constantes arbitraires, que nous avons exposée dans le & IT de la sect. V, et nous aurions pu le déduire immédiatement de cette théorie; mais nous avons cru qu'il n'était pas inutile de montrer comment on peut y arriver, en partant des formules qui donnent directement les variations des éléments dues aux forces perturbatrices, et surtout comment ces variations acquièrent une forme simple et élégante par la réduction des forces perturbatrices aux différences partielles d’une même fonction, relatives à ces mêmes éléments regardés comme variables.

62. Nous avons supposé, dans l’art. 60, que les forces X, Ÿ, Z pouvaient s exprimer par les différences partielles d’une même fonction Q, relatives à +, y, z. Cette hypothèse simplifie le calcul, mais n’est pas absolument nécessaire pour son exactitude, puisque les équations différentielles sont toujours indépendantes de la nature des forces accélératrices du mobile ; il s’agit seulement de savoir ce qu’on doit substituer à la place des différences partielles de Q relatives aux constantes arbitraires a, b,c, etc. Or ces constantes n’entrent dans la fonction Q que parce qu'elles entrent dans les expressions des variables x, y, z, dont Q@ est supposé fonction; ainsi on aura

d@ dQ dx dQ dy | dQ dz da — dx da dy da Ÿ dz da’

Méc. anal, II. | 10

; : SL dQ dE dQ Se et remettant X, Ÿ, Z à la place de dr dr de On aura dQ X dx y dy 7 dz di: da ‘da de

quelles que soient les valeurs de X, Y, Z. il en sera de même à l'égard de

dQ d4Q nd re etc., en changeant a en D, c, etc.

En général, si l’on dénote par la caractéristique à les variations de Q relatives aux constantes arbitraires a, d, ce, etc., on aura

0Q — Xôx + Vôy + Zôz; et si l’on suppose que les forces perturbatrices soient R, Q, P, etc., tendantes à des centres dont les distances respectives soient r, q, p, ete., ee qui donne — dQ = Rdr + Qdq + Pdp + ...; on aura aussi, relativement aux constantes arbitraires,

— 00 = Rôr + Qiq + Pôp + ....

Je donne ici à dQ le signe —, parce que les forces R, Q, P, etc., sont supposées tendre à diminuer les distances r, q, p, etc., au lieu que les forces X, Ÿ, Z sont supposées tendre à augmenter les lignes +, y, z, comme nous l'avons déjà observé dans l’art. 69 (”).

63. Pour appliquer les formules générales de l’art. 48 de la section citée, él

aux éléments d’une planète, il n’y à qu’à considérer que les coordonnées x, y, z étant mdépendantes, doivent être prises pour les variables £, 4, ©; et comme il n'y a qu'un seul corps mobile dont la masse m peut être supposée

égale à l’umité, on aura simplement, comme dans l'art. 5,

TT LL dx? + dy° + dz? . 24 y°+ 212 |

donc boss Abe AD. 4 M tr ie) qu?

1x Lun 23 ‘: Le : ï “ 3 e : : À > s ? :

( ) L'introduction de la fonction & dans un raisonnement relatif au ras où cette fonction n'existe pas, donne à ce paragraphe une apparence d’obscurité qu’un peu d'attention fait néanmoins dispa-

A raitre, (7, Bertrand.)

SECONDE PARTIE. -—— LA DYNAMIQUE. ue

Ainsi les constantes &, GB, y et À, «, v, qui représentent les valeurs de +, 7,2 et de +”, y”, x lorsque £ — o (art. 1%, sect. V}, seront ici x, y, z, x”, y”, z' (art. 5i les variati des élé b deviend le À: À " (art. st), et les variations des eiéments &@, 0, ©, etc., deviendront de la

Le our 1OFIRC

1Q 1 {2 1 da=| (a, 8) 7 + (a, 0) 7e +... [dr,

| 110 120) db=|— (a, 6) Ge + (6,0) +. lde

les coeflicients représentés par les symboles (a, b), (a, c), ete., étant expri-

da db da db da db da db da db da db (a, db) = + —

Le Rte PES Frs TERRE LU NES PR PE 7e QE a ER T Q PET PSS PRESENT 9

dx dx dy’ dy dz dx dx dx dy dy dz dr)

, da dc da de da dc da dc da dc da dc d, C) — ; Fu rade

ZX dx ‘dy dy di da dx dy dy dy di dr

On voit que ces expressions de da, db, ete., coïincident avec celles que nous avons trouvées ci-dessus (art. 60), si ce n’est qu’à la place des lettres x, y,zil ya les ietires x, y,2z, qui représentent les valeurs de x, y, z lorsque est égal à zéro, ou à une valeur quelconque, puisque le commencement du temps £ est arbitraire, ce qui revient au même, parce que les coefficients (a, db), (a, ce), ete., devant être indépendants de é, Îles pig 0 cs éte

doivent être les mêmes fonctions de x, y, z, æ”, y”, z° que de x, y, 2, x, ns

54. Üomme les quantités x, y, z, x”, y’, z sont aussi des constantes arbitraires, on peut les prendre à la place des six constantes &, b, ©, ñ,1,k. Changeant done «a en x, b en x”, c en y, ken y’, on aura

/ | / FX mue, (RX)=—-1, (y)=—-x, (Z,2)=—1,

et tous les autres coefficients (x, y}, (x, z), (x", y}, etc., deviendront nuls; de sorte que les variations de x, y, z, x”, y”, Z seront représentées par ces formules très-simples,

dx’ dy’ d3 dx = — de, dy'— Li d : TT d,

lesquelles résultent aussi de celles auxquelles nous sommes parvenus directement dans l’art. 44 de la sect. V ; ainsi il y aurait toujours de l'avantage à employer ces constantes à la place des autres constantes «&, b, c, etc. pl 9 2 Mais quelles que soient les constantes &, b, c, etc., elles ne peuvent être

cçue des fonctions des constantes x, y, z, x’, etc.; donc, réciproquement, on peut regarder celles-ci comme fonctions de celles-là. On aura ainsi

dQ dQ dx dQ dy Pi 4Q dz aQ dx! je 4dQ dy’ dQ dr

da dx da dy de dz da dx! da dy! da dz' da ?

ee IQ 4Q ee r 1.

donc, substituant les valeurs de =) di etc., de l’article précédent, on

aura

dQ ls : ha = dr + Ta ee ose de

Or x, y,z, x’, ete., étant fonctions de a, b, c, ete., on a dx dx di did de dé 4,

y dx dx dx dx — = da -- TE db — 7. dé +.

Substituant ces valeurs et ordonnant les termes par rapport aux variations

da, db, de, etc., on aura de — [a, b] db d he] di __ t—|a,b]db+{a,c|dc+{a,h]dh +

où les symboles [ a, b|, [a, c|, ete., sont exprimés par ces formules :

dx dx! dy dy’ dz dz' dx! dx dy’ dy d2' dz

[a b]— da Ab ie db «1 da db da db da db da db’ dx dx! dy dy’ dz dz! dx' dx dy" dy dz' dr

—— mme OS nt Os sas es mt RS ee ms

a, c | da de. 0 da de + da dc da dc da de da dc’

On aura de même, à cause de 1b, a | ee [ a, b, D dt= —[a, b|da + pb, c | de + [b, A] dh + —

Lb, el __dx dx dy dy dr dy dx'dx dy dy ds ds PR RE bu de — db de de 0.

SECONDE PARTIE. —— LA DYNAMIQUE. ni:

et ainsi de suite, en changeant simplement les quantités a, b, c, h, x, k entre

elles, prises deux à deux, et en observant que l’on a, en général, [8,a]= — {a b];

de sorte que la valeur des symboles ne fait que changer de signe par la permutation des deux quantités qu'ils contiennent.

Si l’on compare les valeurs de ces symboles marqués par des crochets carrés avec celles des symboles analogues marqués par des crochets ronds (art. 63), on y remarque une analogie singulière, qui consiste en cé qu’elles sont exprimées de la même manière en différences partielles de a, b, ce, ete., relatives à x, x”, y, ete., ou de x, x”, v, relatives à à, b, c, etc.

65. Ces dernières formules sont celles que j'avais trouvées directement, dans mon premier Mémoire sur la variation des constantes arbitraires (*), et elles résultent aussi immédiatement de la formule de l’art. 4% de la sect. V, laquelle, en faisant les substitutions indiquées ci-dessus (art. 64), se réduit à

A.Qdt = AxÔx + AyÔy + AZÔZ — Ax'Ôx — Ay'Ôy — AZ ÔZ.

Dans cette formule, les différences marquées par à doivent se rapporter aux variations de toutes les constantes arbitraires a, D, c, etc.; mais les différences marquées par À peuvent se rapporter à la variation de chacune de ces constantes en particulier (art. A0, section citée). Ainsi on aura, en rappor-

tant la caractéristique A successivement à à, b, c, etc.,

d'y / dzs ; dx! dy’ + ÔY + Tr ÔZ — —— 0x

. dz’ da Te DL OY 7 07,

et de même en changeant a en b, c, etc.

Mais on a

dx AUX 55 dx

me dx! dx!

Ôx = da + = db + = de + Lens

et de même pour 5y, èy’, z, dz'; en faisant ces substitutions, on à pour

4Q dQ k ; :

Te) mp? EC. les mêmes formules trouvées ci-dessus,

(*) Voyez les Mémoires de la première Classe de l’Institut pour 1808. (Note de Lagrange.)

Mais une conséquence importante qui résulte de ces penis c'est que la variation de la fonction Q, en tant qu’elle dépend de celle des éléments a, b, ce, ete., est toujours nulle. En effet, si dans la différentielle

as 492 a

db + C+...,

G C L. DE C2 e À

tous Les termes se détruisent, ce est un résultat très-remarquable.

86. Comme la solution du problème principal dans lequel on n’a point égard aux forces perturbatrices doit donner les valeurs des variables x, y, z en £, avec les constantes arbitraires &, b, ©, ete., 1l n’y a qu’à faire d’abord t— 0 dans ces valeurs et dans celles de leurs différentielles relatives à #, et prendre ensuite leurs différences partielles relatives à a, b, e, etc. On a ainsi faci ser" les coefficients des différences da, db, ete., dans les valeurs de ae