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Dar des PES linéaires, comme je l'ai pratiqué dans le Mémoire cité,

à l'égard des éléments des planètes.

À cet égard, les formules de l’art. 6% paraissent avoir de l’ avantage, en

dé, ed ,ete., et il ne s’agit plus que de chercher ces différences mêmes

ce qu’elles donnent directement les mêmes différences ; mais elles demandent d'abord qu'on ait les expressions des constantes arbitraires à, b, e, ete., par les ve x, Y, & et leurs différentielles, ce qu, dans plusieurs cas, ne peut 8 "obtenir que par des éliminations d’un genre supérieur aux linéaires : ensuite, après avoir pris leurs différences partielles relatives à x, y, z, x”, y”, 2, il faut y remettre les valeurs de ces variables en à, b, c, ete., puisqu’en dernière analyse les coefficients (a, b), (a, ce), etc., doivent devenir des fonctions de a, b, c, etc., sans #, ce qui constitue l'essence et la force de cette analyse.

Quoi qu’il en soit, ayant donné, dans le K f, des expressions fort simples des coordonnées x, y, z, en tet a, b, ©, h, 1, k, nous y appliquerons les formules du dernier article, pour en déduire les variations des éléments a, b,e, etc., comme nous l'avons pratiqué dans le Mémoire cité, parce que le caleul par ces formules acquiert une simplicité et une élégance qu'il n'aurait

pas, à beaucoup près, par les autres formules.

67. Reprenons les expressions de x, y, z données dans l'art. 48, T—aX+BY, y—axX+B,Y, 2—a,À—+p,Y,

dans lesquelles (art. 17)

X — a(cos — e), V — ay/1 — e sinb,

l'angle Ÿ étant déterminé par l'équation (art. 16)

pe /T (2—esin8) Le)

Ces formules ont l'avantage que les trois éléments de l'orbite &, b, « ne se trouvent que dans les quantités variables X, ŸY, et sont, par conséquent, séparées des trois autres éléments h, z, À qui dépendent de la position de l'orbite, et dont les coefficients +, 8, «", etc., sont fonctions (art. 13).

Considérons d’abord la formule

dx dx’ dy dy’ dz dz° ” dx" dx dy' dy dz! dz

da db da db a da db da db da db da db’

et substituons-y les valeurs de x, y, z données ci-dessus ; en faisant

NU dX Mr dY 7 7 dt on aura pour &’, y’, z les mêmes expressions, où les quantités X, Ÿ seront

marquées d’un trait; et comme les constantes a, b n’entrent que dans X et Ÿ, on aura

Dee AR a 4Y dx! : =:4X, av FE da F da? ie da Pos dx “4x dY dx! dX! dY!

ta PE da td:

et changeant «, $ en «,, 8, et en «,, G,, on aura les valeurs de - 2 7» Etc.

Ces différentes valeurs étant substituées dans la formule précédente, et ayant égard aux équations de condition

3 2 2r.te. 2 R? LS S A 1 Ha ati, + +fB;—=1, apf+af,+af,—0o,

qui ont lieu entre les coefficients &, 8, «,, ete. (art. 14), cette formule se

5o MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

réduira à la forme

dX dX' dY dY" d X' d'X dY' dY

db US A0 D de ie

où l’on voit que les quantités x, fi, «”, etc., qui dépendent de la position de l'orbite, ont disparu.

On aura un pareil résultat par rapport aux différences partielles relatives à e, et il n’y aura qu’à changer dans la formule précédente a et b en c.

Si donc on substitue dans X, Y, X”, V’ leurs valeurs en £, qu'ensuite on fasse £ égal à zéro ou à une quantité quelconque déterminée, et qu’on désigne par X, Ÿ, X’, Y’ ce que X, Y, X”, Ÿ’ deviennent, on aura (art. 64)

px dx, dre dx'aX d'a BE a ue db!

et l’on aura de même les valeurs de [a, c|, [b,c|, en changeant b en c et

a en b dans les différences partielles.