Considérons ensuite la formule

dx He dy". dz dz' dx'dx dy! dy - dz! dz TA ARS On dE D ARS de Jade cd di

N 7 1. | | < ; Commie la quantité ne se trouve que dans les coefficients x, 8, «,, etc., qui ne contiennent point &, on aura

dx da

d8 dx! da dé y Re Cane — dh

/ dh — dh X BY .

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 83 — à dy dy!

et changeant «, 6 en «,, B, et en «,, B,, on aura les valeurs de SR? À LR dz dz! ; ? La CF 7 À | e , « DR À l'égard des différences partielles relatives à &, elles seront les

mêmes que dans l’article précédent.

En faisant ces substitutions, on remarquera qu’en vertu des mêmes équatons de condition différentiées, on aura

ada+a.da, +a.da,—0, Bds+8,d8, +£,df, =, adB + a, dR, + dB, = — fda — B,da, —f,da,;

de sorte qu'en faisant, pour abréger,

Eda Sa B,da, ee B,da, —— dx

(j'emploie l'expression différentielle d'y (*), quoique la valeur de dy ne soit pas une différentielle complète), la formule

dx dx dy dy". dz dz'

da dh da di da dh se réduira à la forme

7/ dY ; 4X dy CCR)

et la formule dx" dx dy" dy dz' dz Aa di D a di) da dh

à cette forme semblable

SAM" r AX'\ d D he |

da da Done, en retranchant la seconde de ces quantités de la première, et observant que

K'dY + VYdX'—d.X'Y et Y'dX + XdY'—d.XY,

on aura pour la transformée de la formule dont il s’agit, contenant les diffé-

(*) I n’y a dans la question qu’une variable indépendante qui est le temps. Toute expression différentielle peut donc être intégrée, et l'observation de Lagrange semble, par conséquent, inutile J'ajouterai qu’elle est de nature à embarrasser le lecteur, qui doit voir plus loin, art. 75, adopter cette lettre y comme l’une des consiantes variables du problème. (J. Bertrand.)

rences partielles relatives à a et /,

d. d.(YX'— XY') du.

da dh”

et il en sera de même en changeant «a en betc,ethenzet #.

71. Il nous reste à considérer les formules où il n’y a que des différences partielles relatives à À, , k; de sorte que, comme ces quantités n’entrent que dans les coefficients «, 8, «,, ete., il n’y aura aussi que ces coefficients qui deviendront variables.

Les différentielles de ces coefficients se réduisent à une forme très-simple, en employant les coefficients analogues y, y’, y”, et en ayant égard aux équations de condition entre ces différents coefficients (art. 14).

En effet, si l’on suppose

yda + y,da, + y,da, = dr, dB + y, dB, +y

les trois équations

Gda +B,da, + fB,da, = dy, yda gr y, da, + V2

étant ajoutées ensemble, après avoir multiplié la première par «, la deuxième par f, et la troisième par y, on a | da = Bdy + yd7;

et si on les multiplie par &,, B,, y, et par «,, B,, 7., qu'on les ajoute ensuite,

on a parelllement da, —8@8,dx +7y,d7,

da, = B,dx + y,d7.

De même les trois équations «dB +a,dÿ, + a,df,—= — dx,

BdB + B,d8, + B,dB,— 0, y dB É 7. dB, “ee 7:48, — dy,

donneront dB = —ady + 'ydo, dB,= —a,dyx + 7,do, dB, = — a,dx + y,do.

Enfin les trois équations | ady + a, dy, +a.dy, = — dd,

Bd7y D B,d”, CAE B.d7y, RE do, dy +7,47, +y:4dy:= 0

donneront pareillement

dy —=—ad7r — do, dy, = —a,d7r —$6,do, dy, = —a,dz — 8,45.