Par le moyen de ces formules, on aura

dx __ y da dé à d'y dr do

et affectant les quantités x, 8, y d’un ou de deux traits, on aura les valeurs

dy dz À AE AN ET ds ei un js DT de > js Pour avoir celles de D RES il n'y aura qu’à affecter d’un trait les quantités X et Y. Il en sera de même des différences partielles relatives à z et À, en ne faisant que changer # en z et 4.

En faisant ces substitutions et ayant toujours égard aux mêmes équations

de condition, la formule

de de | dy dy! de de de de dy! dy de! ds

dh di dh di dh dd dh di dh di dh di

se réduira à celle-ci :

“AR do , Ar re) (XF+YS) (XF+VE

;1 dr , dc dT =) (XF +) (XF+VT

dj mn)

il en sera de même des formules semblables, en changeant L et z en #.

Comme les coefficients &, £, y, &”, etc., sont fonctions des trois éléments h,1,k (art. 4% et 14), les trois quantités dx, dr, do, que nous avons introduites dans les formules précédentes, doivent être aussi fonctions des mêmes éléments ; et si, dans les valeurs de ces trois quantités, on substitue les expressions de «, 8, ete., données dans les articles cités, on trouve, après quelques réductions fort simples, |

dx = dk + cos idh, dr = — cos k sin zdh + sin kdi,

de —= sin #k sin cdh + cos k di.

Mais ces quantités ne servent pas seulement à simplifier le calcul, elles représentent d’une manière fort simple les variations instantanées de la position de l'orbite. En effet, comme le plan des x et y, auquel nous avons rapporté l’inclinaison z et la longitude 2 du nœud, est arbitraire, on peut le faire coïincider dans un instant avec celui de l’orbite, en faisant z: — 0; on

aura alors

dx = dk + dh, dr = sinkdi, do —= cos kdi.

Dans ce cas, + & sera l'angle que le grand axe de l’ellipse fait avec une ligne fixe; par conséquent, d + dk, ou dx, sera la rotation élémentaire du grand axe de l'orbite sur son plan.

L’'angle élémentaire di sera linclinaison comprise entre deux positions successives du plan de l'orbite devenue mobile, et l'angle À sera la longitude du nœud formé par ces deux positions, comptée sur le même plan; de sorte qu'en désignant par di’ et #’ ces deux éléments, on aura

dus PELLE di. = Vdr + do et tangh =;

ainsi La variation instantanée de la position de l'orbite est déterminée par les trois éléments dy, dr, do, d’une manière indépendante de tout plan de

projection.

75. Il est maintenant très-facile de trouver les valeurs des autres coefficients représentés par les symboles [a, A], [b, h|, ete.; iln’y a qu’à substi- XdY —YdXx

tuer pour XY'— VX’, c'est-à-dire pour Re valeur, qui est

— D (art. 41) — VS (art. 45), et pour dx, dr, do leurs valeurs en k, i, k de l’article précédent; mais à la place de l'élément À nous retiendrons l'élément y (*}, qui exprime l’angle que le grand axe de l'orbite parcourt en tournant sur son plan mobile: c'est proprement le mouvement de l’aphélie ou du périhélie sur le plan même de l'orbite. Nous aurons amsi

x = k + [cos idh ;

donc k = y — | cosidh; ensuite d'y dr ARE dt | A — ___— — cos k sin: — sin dy" dh à de. sin À sin z SEE cos # dh 4 dé ?

et toutes les autres différences partielles seraient nulles, ce qui donne

dr do dr do

De là on aura

[a,hl=o, [ail—o, [a,x;|—o, [b,4]=o, [é,i]=o, [6,x]=— 116.

bles, Léters, ‘forpi,

[h, il—=vVgb—sinz, [kx]—o, [i,x|—o.

74. Ces valeurs, jointes à celles que nous avons déjà trouvées (art. 69), donneront enfin

dQ __ & dQ We L /g da ie 2 & de, db Are oo REZ di S 4Q L CR « °

4 — dQ I g | 7 dt = Vg6 sin idh, Pod EVE db;

es me

(*) Il faut avouer que l'application ultérieure des formules de l’art. 64 exigerait quelques explications, car ces formules supposaient Q exprimé en fonction des constantes du mouvement elliptique, et la lettre y n’en est pas une. Cette lettre y n’a pas même de sens précis, puisqu'elle n’a étc définie que par sa différentielle. 7oyez, à ce sujet, des observations très-fondées de M. Binet, Journal de l’École

Polytechnique, tome XVIT, page 76 (28° cahier). (J. Bertrand.)

EE SLR do

o& dd g da 2 VE dQ

dt,

dé,

d'où résultent ces expressions très-simples des variations des éléments elliptiques :

dQ da=— "= "dt, de — de b dQ DEN 7 dé, dx Vg 4x d'à à dh = -——- di =

Veb sin z de

I dQ Vgb sini dh

75. On aurait des formules un peu moins simples, si à la place du demiparamètre b on voulait conserver la demi-excentricité e, Alors, à cause de b— a(i —e*), on aurait

XV'— YX'— /ga(i —e?), ce qui donnerait Veti—e?) eVga (#7 RS, RL € = TT.

| ? à Un L | , x Tran L 1Q dQ dQ À et les valeurs de —— dé, —= dt, -— dt deviendraient da de dy aa g Vel(i— ce?) de ee de dA e Vga dt du | a Ve(i—e?) eVga — dt = da 2 de; dy o Va Vie d’où l’on tire, en substituant pour da sa valeur donnée ci-dessus, , __ 24 dQ a(i—e) dQ dc mr ge he. LA —- ile de, pee 588 2 | + Vi—e? dQ a(i—e) df de = —: a ne ge 7. dé, | Vi—e dQ POUR dede

qu’on substituera à la place des valeurs de de, db, d'y de l’article précédent, les autres valeurs demeurant les mêmes.

Par ces formules, on peut donc avoir l'effet des forces perturbatrices sur

le mouvement d’une planète, en rendant variables les quantités qui, sans ces forces, seraient constantes ; mais quoiqu’on puisse, de cette manière, déterminer toutes les inégalités dues aux perturbations, c’est surtout pour les inégalités qu’on nomme séculaires, que les formules que nous venons de donner sont utiles, parce que ces inégalités étant indépendantes des périodes relatives aux mouvements des planètes, affectent essentiellement leurs éléments et y produisent des variations ou croissantes avec le temps, ou périodiques, mais avec des périodes propres et d’une longue durée.

76. Pour déterminer les variations séculaires, il n’y aura qu’à substituer pour Q la partie non périodique de cette fonction, c'est-à-dire le premier terme du développement de & en séries du sinus et du cosinus d’angles dépendants des moyens mouvements de la planète troublée et des planètes perturbatrices. Car, Q n’étant fonction que des coordonnées elliptiques de ces planètes, lesquelles peuvent toujours, du moins tant que les excentricités et les inclinaisons sont peu considérables, se réduire en séries du sinus et cosinus d’angles proportionnels aux anomalies et aux longitudes moyennes, on pourra aussi développer la fonction Q dans une série du même genre, et le premier terme sans sinus et cosinus sera le seul qui puisse donner des équations séculaires.

Désignons par (Q) ce premier terme de Q, lequel sera une simple fonction des éléments a, b, ec, e, h, 1 de la planète troublée et des éléments semblables des planètes perturbatrices ; il est clair que l’élément c qui est joint au temps # ne s’y trouvera pas : ainsi, en substituant # à la place de Q, on aura, pour les variations séculaires, les formules |

| >æ (d ès 70 da = 0, de = 2€ O0 ge ele MO,

g d ge de = Vi— €? (4Q) 7 Vie (dQ) RS Re ET 4h — __ (49) js (dQ)

Vgb sin:

ah so sincdh où b — a(1 — €).

77. F’équation da — o fait voir que le demi-grand axe, ou la distance moyenne a n’est sujette à aucune variation séculaire, ce qui n’est qu'un cas

Mec. anal. II. 12

particulier du théorème général que nous avons démontré dans l’art. 23 de la sect. V; car la quantité H de cet article est la même que Îla quantité H des art. % et suivants de la section précédente, et l’on voit, par l’art. 45, n © À ° à le . 4 . | É.

que l'on a H— — *-. Ainsi il faut appliquer à la distance moyenne des pla- nètes les résultats que nous avons trouvés sur la valeur de la force vive d’un système quelconque (sect. V, $ IT).

La variation de produit une altération dans le mouvement moyen; car

U(t— c) $ étant l’anomalie moyenne, c’est-à-dire l’angle du mouvement

moyen compté depuis le périhélie (art. 49), cette anomalie sera sujette à une

variation exprimée par — £ de, à cause de da = 0; et si l’on ajoute la variation dy du lieu du périhélie dans l'orbite, on aura dy — VE de pour

la variation séculaire de la longitude moyenne que nous désignerons par dA. On aura ainsi

52 a d(Q) Nrmt:, e d(Q) — = OS do — — PR TS SUR NE ER dA = dy VE de = — 93 / Te 1 LES SRRESENE ar des à )