MIS
à cause de
ivre
78. Lorsque l’excentricité e est fort petite, les valeurs de de et dx ont l'inconvénient d’avoir au dénominateur la quantité très-petite e. Mais il est facile d’ y remédier en substituant à la place de e et x les transformées e sin Y, e COS y.
En effet, si l’on fait
m —= e sin Y, ñ.— € COS Y, on aura
dm — sin yde + ecos ;dy, dn— cos xde — esin ydx; donc, substituant les valeurs de de et dx, LE Loose A ne A din = = | cos x 2 — SIN Y —— 7. Îde,
me es [sin x TE + cos x ° | 4.
Or, en regardant (Q) comme fonction de e et y, et comme fonction de », n,
on à
O9 4x + 9 de = N° dm +
dn dn,
équation identique qui, par la substitution des valeurs de dm et dn, donne ces deux-c1 :
dx ee ET CESR E SIN Y, A(0) de, dd)
de — dm SELA dan COS ÉE
done, faisant ces substitutions, on aura les équations
Vi e° d(Q)
== | dt dn = — Vga dn è
dm —
qu'on pourra employer à la place de celles qui donnent les valeurs de de et dx (art. 75). | On peut faire des transformations analogues sur les dernières équations qui donnent les valeurs de dh et di.
Soit, pour cela, p=smisinh, q—simccosh;
on trouvera, par un procédé analogue,
do — 2% 4) Vsb dq
79. Les forces perturbatrices que l’on considère dans la théorie des planètes viennent de l'attraction des autres planètes, et nous donnerons plus bas la valeur de Q qui résulte de cette attraction; mais on pourrait aussi regarder comme force perturbatrice la résistance qu’elles éprouveraient de la part d’un fluide très-subtil, dans lequel on les supposerait nager. Dans ce cas, en prenant R pour la résistance, on ferait, comme on l'a vu dans l'art. 8 de la sect. II,
le fluide résistant étant supposé en repos.
Il en résultera ainsi, dans la valeur de 30, les termes (art. 62)
x + dy 0 À — Rèr=—R [= SE da }:
On suppose ordinairement la résistance proportionnelle au carré de la
; : ds k jf Se vitesse, laquelle est représentée par no € à la densité du milieu, que nous
désignerons par l'; ainsi les termes dus à la résistance, dans l'expression de 5Q, seront
Vds (dx dx + dydy + dzdz) D M
Pour évaluer la quantité dxôx + dyèy + dzôz, 1l n’y a qu'à employer les formules des art. 67 et 70, en observant que la caractéristique d se rapporte au temps #, qui n’entre que dans les valeurs de X et Ÿ, et que la caraetéristique 3 doit se rapporter aux constantes arbitraires @, b, ete., qui entrent dans X et Ÿ et dans les coefficients «, B, «,, ete.
On aura ainsi, en changeant d en à dans les expressions de dx, dB, ete.,
dx =adX + BdY, dy—=adX+f$,dY, dz—a,dX +£6,dŸ, Ga = aX + BOY + X(BÈX + yô7r) + Y(— aèX + ydo) = a(ÔX — Yoox) + BY + X0%) + y(X 07 + Vôo), OV = a (XX — Yoy) + BB, (OV + Xdy) + y, (X07 + Vic), 07 a (OX — Vox) + L(0Y + KXdy) + y, (X 07 + Yo).
De là, en ayant égard aux équations de condition entre les coefficients «, 8, y, &,, etc. (art. 14), on aura
dxox + dyèy + dz:ôz = dX5X + dYÈY + (KOY — YôX)ôy,
et si l’on y substitue pour X et Y leurs valeurs r cos ®, r sin ® (art. 4%), on aura |
dX0X + dYÔOY = drôr + r'dbè®, XdY — YaX —r°d®, ds = yÿ/4X?+ dY?= dr? + r°d@?.
Done les termes. à ajouter à 3Q, à raison de la résistance du milieu, seront
représentés par T'Vdr + r° dd (drèr + r°dD9D + »°dDdy) DR où il n’y aura plus qu’à substituer pour r et ® leurs valeurs en {, données par les formules des art. 24, 22, en faisant attention que la caractéristique d se rapporte à la variable £#, et la à aux constantes arbitraires.
