RÉCIPROQUEMENT PROPORTIONNELLES AUX CARRÉS DES DISTANCES

80. Quoique ce problème ne puisse avoir aucune application au système du monde, où tous les centres d'attraction sont en mouvement, il est néanmoins assez intéressant du côté analytique pour mériter d’être traïité en particulier avec quelque détail.

Supposons qu'un corps isolé soit attiré à la fois vers deux centres fixes par des forces proportionnelles à des fonctions quelconques des distances. = Soient, comme dans l'art. 4, l’un des centres à l’origine des coordonnées, et R la force attractive; et pour l’autre centre, supposons que sa position soit déterminée par les coordonnées a, b, c, parallèles aux #, y, z; soient, de plus, Q sa force attractive, et g la distance du corps à ce centre, il est clair qu'on aura

g=Vie—-a}+ (y 8) +(s—c), c'est-à-dire, en substituant pour #, y, z leurs valeurs en r, 4, @ (art. 4), q = /(r° or [(acosp + bsing) cos À + csin\ | +),

en faisant k — (a? + b°-+- c°), distance des deux centres. El est clair que la valeur de T' sera la même que dans le problème du chap. 1%, mais la valeur de V se trouvera augmentée du terme {/Qdg; et

comme Q est fonction de qg, et 4 fonction de r, ®, À, ce terme donnera,

OF L'4 e do V 0 V OV | . ” : , dq dq dans les différentielles 30 07” les termes suivants, savoir Q d6° Q 2

dq ii , , Q 7e qu il faudra, par conséquent, ajouter respectivement aux premiers

membres des équations différentielles de l'arücle cité.

On aura donc, poür le mouvement du corps attiré vers deux centres par les forces R et Q, les trois équations suivantes :

dr "(cos d do + dl°)

b qe ARE LR + QU 0, d.r? dv r°? sin Ÿ cos d do? d

(2) dt? EE dt? ? Q% — ©,

d.r? cos d do dq

Et si le corps était attiré en même temps vers d’autres centres, il n’y aurait qu'à ajouter à ces équations des termes semblables pour chacun de ees cenires.

L’équation T + V —H donnera cette quatrième équation, qui est une intégrale des précédentes,

r? (cos? do? + di?) + dr?

ee RQ) A Qigsile et il est visible, en effet, que les trois équations précédentes étant multipliées respectivement par d\, do, dr, et ajoutées ensemble, donnent une équa-

tion intégrable, et dont l'intégrale est celle que nous venons de présenter. On tire de cette équation

RE L GH — 2 fRdr — 2fQdg—

di? . ?

valeur qui, étant substituée dans la première équation multipliée par #, la réduit à | d?.

ER à f'Rdr + Qr SL Le à fQdq = 4H.

Or, puisque Pr + le — 2 r[(a cos g + bsin @) cos d + csin |,

on aura, en faisant varier r,

FTAËe h?— q° EE qg— h?