D RU

donc, faisant ces substitutions dans la quatrième équation et ôtant le dénominateur, on aura cette intégrale

gr dr + 7° qdqg® —(r° Ra AL LU DER : | D eg 2 B + La Rre — (rE — GY I (fRdr + fQdg — 2H) = o. Et il est facile de voir maintenant, d’après la forme de cette équation, qu'elle résulte des deux équations en r et g, multipliées respectivement par

2g dr —(r+g—h)d.g, ard.g—(r+g—h)d.r,

ajoutées ensemble et intégrées ensuite; mais il aurait été assez difficile de découvrir cette intégrale à priori.

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 97 84. Pour achever la solution, il faut avoir encore une autre intégrale des mêmes équations ; mais on ne saurait y parvenir que pour des valeurs particulières de R et Q. | Si l’on suppose, ce qui est le cas de la nature,

——. Tr.

on trouve alors que ces équations, multipliées l’une par d.a*, et l’autre par d.r*, donnent une somme intégrable et dont l'intégrale est

drd.qg a(3r+qg—h) B(3qg+r—h) De ee + :

— LH (r°+ g°) + 20, C étant une nouvelle constante arbitraire. |

Cette équation étant multipliée par r°+ q*— h?, et ajoutée à l’intécrale (a) trouvée précédemment, donne, dans l'hypothèse présente, une

réduite de la forme

g’(der) + r(d.q") 9 CE 2 2 2 2 | Sr NE | +3 —h)—26q{(g + 3r"—h)

2H + 6rg—h) + 2C(r+ qg— h?) — 2 B?.

Et la même équation étant multipliée par 2 rq, et ensuite ajoutée à celle-ci, ou retranchée, donnera cette double équation,

dir d:9 7) | | : E | (d) a 4 dé 1 =] (Tee jte) =-pla Er) (gr) D —=H{(r+g) —h|]+C(rE g) — BF.

De sorte qu'en faisant r + q —5, r — q —u, on aura ces deux-ci :

s (s?— u°}° ds*

16 de?

(s°— u°?)° du?

— (a+ 8p)s + ht(a+s)s = H(s* — h') + Cs* — B?, 0 (æ = B) u°+- h° (x ——— Bu — H (u*— h*) —+- Cu — B° :

d'où l’on tire d'abord cette équation, où les variables sont séparées,

ds | | OO VHstL(a+G)S+Cs— Ra+£)s — Hh'—B P k , = u ; S | VHu+ (a — Elu Cu {o— Blu HA —B Méc. anal, TI. 15

ensuite | s° ds

(8) #— | 4 VHS (a +B)s + CS h(a + Ë)s —Hh—P u? du

on À VHu+ (a —Gju+ Cu — h {a + bu —Hh*— PB? i

à dr ; ps ue d / Les mêmes substitutions étant employées dans l'expression de SF trouvée

ci-dessus, on aura

dy Du. 4 Bh° __ 4B# " I à dé (s®— h?) (u°— ?) y É. ee =) ?

et substituant la valeur de df, / BA? de (s®— h°) VE st + (a+ B)s+Cs— (a+ b6)s —Hht—RB: BA° du

EH (ue fe) Vu (a —6)u+ Cu— D ( 2 —fÉju CHAR

Si l’on pouvait intégrer chacune de ces différentielles, on aurait d'abord une équation entre s et 4, ensuite aurait { et o en fonction de s et 4; done on aurait q, et de là, t et @ en fonction de r; et comme

TT Un Se ra pd

sin 4 enr 2 far

on aurait aussi A, en r. Mais ces différentielles se rapportant à la rectification des sections coniques, on ne saurait les intégrer que par approximation, et la meilleure méthode pour cela me paraît celle que J'ai donnée aïlleurs (*) pour l'intégration de toutes les différentielles qui renferment un radical carré où la variable monte à la quatrième dimension sous le signe.

se : Π(3 . " 82. Si, outre les deux forces -; et F qui attirent le corps vers les deux

centres fixes, il y avait une troisième force proportionnelle à la distance, qui l’attirât vers le point placé au milieu de la ligne qui joint les deux centres, il est visible que cette force pourrait se décomposer en deux tendantes aux

mêmes points, et proportionnelles aussi aux distances. Dans ce cas done,

qe eo

(*) Foyez le quatrième volume des anciens Mémoires de Turin. (Note de Lagrange.)

SECONDE PARTIE. —- LA DYNAMIQUE. 99 on aurait

R—+2yr, Q= +279,

et l’on trouverait que l’intégrale (b) aurait aussi lieu dans ce cas ; seulement, il faudrait ajouter à son premier membre les termes

vlBrtg + Er gt) — (rt + gt):

ensuite, 1l y aurait à ajouter au premier membre de l'équation (c\ les termes y ] Ï | q

fr +ibr gr +g)—h(r+ gt +6rq)], et, par conséquent, au premier membre de l’équation {d)\ les termes 2 eg} — Ar + q)]

De sorte qu'il n’y aura qu’à augmenter les polynômes en $ et & sous le signe dans les équations (e), (f), (g), des termes respectifs

mu Ÿe6 ep 04 7 6 __ 22,,4 2 h's') et 4 ( h°u*),

cé qui ne rend guère la solution plus compliquée.

83. Quoiqu'il soit impossible d'intégrer en général l'équation trouvée (f) entre s et w, et d’avoir, par conséquent, une relation finie entre ces deux variables, on peut néanmoins en avoir deux intégrales particulières représentées par s — const. et u — const.

En effet, si l’on représente en général cette équation par

ds du

il est clair qu’elle aura aussi lieu en faisant ds ou du nuls, pourvu que les

dénominateurs 4/S ou VU soient aussi nuls en même temps, et du même ordre.

Pour déterminer les conditions nécessaires dans ce cas, on fera

f étant une constante, et » une quantité infiniment petite, et désignant par F

ce que devient S lorsqu’on change s en j, le membre # deviendra ÿ VS

do | Vie “DE. ï de adj" + ,.,.

il faudra donc, pour qu’il y aït le même nombre de dimensions de w en haut et en bas, que l’on ait Fo ét

alors, à cause de w infiniment petit, la différentielle dont il s’agit se réduira à do ss V dE / 2 df° I G)

RE UE 2 df”

dont l'intégrale est

k étant une constante arbitraire. Si donc on fait w — o, et qu'on prenne ” | w . ; à.

en même temps aussi À — o, la valeur de de deviendra indéterminée, et

l'équation pourra toujours subsister, quelque valeur que puisse avoir l’autre

du ; ve nn membre Fe FT Or on sait, et il est visible par soi-même, que F—o et ——o

sont les conditions qui rendent f une racine double de l'équation F — 0. D'ou (*) il suit, en général, que si le polynôme $ à une ou plusieurs racines doubles, chacune de ces racines fournira une valeur particulière de s; il en sera de même pour le polynôme U.

Maintenant il est clair que l'équation s — f ou r + q — f représente une ellipse dont les deux foyers sont aux deux centres des rayons r et q, et

À 7. \ , A ? » : —. à dns dont le grand axe est égal à f. De même, l’équation u = g our —q=—=2g

(*) Dans une Thèse présentée à la Faculté des Sciences de Paris, M. Serret signale la démonstration précédente comme peu rigoureuse; il semble incontestable, en effet , que quelques développements

sont nécessaires pour Ja rendre entièrement satisfaisante. {Voyez une Note à la fin du volume.) &7, Bertrand.)

représente une hyperbole dont les foyers sont aux mêmes centres, et dont le premier axe est g Ainsi les solutions particulières dont nous venons de parler, donnent des

ellipses ou des hyperboles décrites autour des centres des forces ) À pris

pour foyers. Et comme les polynômes $ et V contiennent les trois constantes arbitraires À, B, C, dépendantes de la direction et de la vitesse initiales du corps, il est visibie qu'on pourra toujours prendre ces éléments, tels que le corps décrive une ellipse où une hyperbole donnée autour des foyers donnés. Aïnsi la même section conique qui peut être décrite en vertu d'une force tendante à l’un des foyers et agissant en raison inverse des carrés des distances, où tendante au centre et agissant en raison directe des distances, peut l’être encore en vertu de trois forces pareilles tendantes aux deux foyers et au centre, ce qui est très-remarquable (*).

84. S'1l n'y avait qu'un seul centre vers lequel le corps fut attire par ia C2 ; ; TS .

force 3 ON aurait le cas de l’orbite elliptique que nous avons résolu dans

le chap. E%. Dans ce cas, on aurait $ — 0, y — 0, et les deux polynômes $ et U deviendraient semblables et ne passeraient pas le quatrième degré; les équations (f), (g), (k) de l’art. 84 seraient alors mtégrables par les méthodes connues, et le mouvement du corps serait déterminé par des formules en s et w, c’est-à-dire par les distances aux deux centres, dont l’un, celui dont l'attraction est nulle, pourraît être placé où l’on voudrait: ces formules ne seraient donc que de pure curiosité; mais il y a un cas où elles se simplifient et donnent un résultat remarquable, c’est celui où le centre d’attraction nulle est placé sur le périmètre de l’ellipse.

Pour obtenir ce cas, on déterminera les constantes B et C de manière que le rayon q étant nul, l’autre rayon r soit égal à L, distance entre les deux centres ; par conséquent, il faudra que les variables s = 7 + 4 et u pe q deviennent à la fois égales à L. Les équations (e) de l’art. 84 sont très-propres à cette détermination.

(*) M. Ossian Bonnet a donné, Journal de M. Liouville, tome IX,. page 105, une raison trèssimple de ce fait qui est susceptible d’une généralisation intéressante. { Joyez une Note à la fin du volume.) (J, Bertrand.)

Faisant s — w — h, la première de ces équations donne BC ensuite, la différence de ces équations étant divisée par s — &, si l'on y fait s—u— h,on a, à cause de B — 0, — Jah + ah = HA + 9 Ch;

d’où l’on tire

C= — ch— 92H".

Par les substitutions de ces valeurs, le polynôme

Hs ose hs SV SEE à à devient H(s— 25 + h) + as — SR — sh +R), ce qui se réduit à la forme

H(s +) (s—h)ÿ +ats + Ah) (s — Ah):

il en sera de même du polynôme en w.

Or, par l’art. 45, on a, dans ce cas,

ag et H——À=À, 2 &

a étant le demi-grand axe de l’ellipse; donc les équations (f) et (g) deviendront |

ds … du " 7 : a en os = = 4 5) 4/6 EL fee (un) V/e(u 4h) — € (a+ nf r— s° ds | u? du

4(s—h) st + h) — . (s+h) 4(u—h) VLC + h) — =. (u + h)

et si de cette dernière on retranche la première, multipliée par #?, et qu’ensuite on divise les numérateurs et les dénominateurs respectivement par $ — h, u — h, on aura

dé (s + À) ds (u+ h) du

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 103 expression qui à l'avantage de ne contenir d'autre élément que le orand

axe 24.