Si l’on fait

l'intégrale étant prise de maniere qu'elle commence lorsque z a une valeur quelconque donnée, et qu’on remette pour s et « leurs valeurs p + 4, p— 4,

on aura, en intégrant,

Reg —=f(h+ p+ q)—{(h+ p — q),

où l’on voit que { == o lorsque 4 — o, de quelque manière que l'intégrale soit prise. | |

Or, puisque p est le rayon vecteur qui part du foyer, q est le rayon qui part de l’autre centre, qui est pris dans un point de l’ellipse, et dont la distance au foyer est A: il est clair que À et p seront deux rayons vecteurs, et que q sera la corde de l’arc intercepté entre ces deux rayons; par conséquent, l’expression précédente de £ sera le temps employé par le mobile à décrire cet are dans l’ellipse, lequel sera donné ainsi par la somme des rayons vecteurs À + p, par la corde q et par le grand axe 2 4.

L'intégrale que nous avons désignée par fonction /z dépend des arcs de cerele, ou des logarithmes, suivant que a est positif ou négatif; mais lorsque l’axe 2 & est très-sgrand, cette fonction se réduit à une série très-convergente : on a alors

Le premier terme donne l'expression du temps dans la parabole, et l’on a

eye (tp) (te perl,

laquelle coïncide avec celle que nous avons trouvée dans l'art. 25. Le reste de la série donne la différence des temps employés à parcourir un arc de parabole, et un arc d’ellipse ou d’hyperbole ayant la même corde x et la. même somme s des rayons vecteurs. |

Cette (*) belle propriété du mouvement dans les sections coniques a été trouvée par Lambert, qui en a donné une démonstration ingénieuse dans son Traité intitulé: /nsigniores orbitæ cometarum proprietates. Voyez aussi les Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1778. |

Le problème que nous venons de résoudre l’a été d’abord par Euler, dans le cas où il n’y a que deux centres fixes qui attirent en raison inverse ces carrés des distances, et où le corps se meut dans un plan passant par les deux centres (}émotres de Berlin de 1760); sa solution est surtout remarquable par l’art avec lequel 11 a su employer différentes substitutions, pour ramener au premier ordre et aux quadratures des équations différentielles qui, par leur complication, se refusaient à toutes les méthodes connues.

En donnant une autre forme à ces équations, je suis parvenu directement aux mêmes résultats, et j'ai même pu les étendre au cas où la courbe n’est pas dans un même plan, et ou il y a, de plus, une force proportionnelle à la distance et tendante à un centre fixe placé au milieu des deux autres centres. Woyez le quatrième volume des anciens Mémoires de Turin, d’où l'analyse précédente est tirée, et dans lequel on trouvera aussi l'examen du cas où l’un des centres s’éloignant à l'infini, la force tendante à ce centre deviendrait uniforme et agirait suivant des lignes parallèles ; et il est remarquable que, dans ce cas, la solution ne se simplifie guère: seulement les radicaux qui forment Îles dénonunateurs des équations séparées, au lieu de contenir les quatrièmes puissances des variables, ne contiennent que les troisièmes, ee qui fait également dépendre leur intégration de la rectification des sections coniques.