SÉCULAILES DE LEURS ÉLÉMENTS

86. Lorsque plusieurs corps s’attirent réciproquement avec des forces proportionnelles aux masses et à des fonctions des distances, on a, pour

(*) Ce théorème a été donné, pour la première fois, par Euler dans le cas de la parabole {voyez la { 2 2 note de la page 28). La démonstration que donne ici Lagrange est fort indirecte; nous reproduisons à la fin du volume une autre démonstration également due à Lagrange, et extraite des Mémoires de

l’Académie de Berlin pour 1778. (J. Bertrand.)

leurs mouvements, les formules générales des art. 4 et %, en prenant les corps mêmes pour les centres d'attraction.

die } 4 / // 4

Soient m, m’, m”, etc., les masses des corps, 4, y,2,«,Y,2z,x,Y, z", etc., leurs coordonnées rectangles rapportées à des axes fixes dans l’espace; la quantité T sera, comme dans l’art. 4, 1 dx? + dy° + dz? Le a dx"? dy? + dz'? 4 dx"? dy"?+- dz'!"®? LS + D" ———— — ———

a dt? o dt? 2 dt

Soient p’, p”, p”, etc., les distances des corps m', m”, m”, etc., au corps m, et R,R”, R", etc., les fonctions de ces distances auxquelles les attractions entre ces corps sont proportionnelles.

Soient aussi p , p. , ete., les distances des corps m”,m”, etc., au corps m', et R°, R", les fonctions de ces distances proportionnelles aux attractions.

Soient de même p', p”, etc., les distances des corps m”, m”, ete., au

corps m”, et R°, R", etc., les fonctions de ces distances, proportionnelles aux attractions.

Et ainsi de suite ; on aura

et a quantité V (art. 9) sera

V — M (m°fR'dp" “+ m° {Rap + m° [R”7dp” Dies de ) m'(m’fR'dp + m”fR'dp +...) +m'(m"fR dp +...),

Or, quelles que soient les coordonnées indépendantes qu'on voudra adopter, on aura toujours, par rapport à chacune d'elles, comme #, une équation de la forme canonique