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de De de

Méc, anal. IL.

Et comme, dans le système que nous considérons, il n’y a aucun point fixe, on pourra prendre l’origine des coordonnées partout où l'on voudra, et lon aura toujours, comme on l’a vu dans la sect. TEE, les trois intégrales finies relatives au centre de gravité, ainsi que les trois intégrales du premier ordre relatives aux aires, et enfin l'intégrale des forces vives Ÿ + V = H.

On aura de cette manière le mouvement absolu des corps dans l'espace ; mais comme la solution de ce problème n’est importante qu’à l'égard des planètes, et qu’il n’y a que leurs mouvements relatifs, par rapport au soleil regardé comme immobile, qui intéressent l Astronomie, 1l nous reste à voir comment on peut transporter aux mouvements relatifs l'équation générale les mouvements absolus des corps du système. |

S L. — Æquations générales pour le mouvement relatif des corps qui

s’attirent mutuellement.

87. Supposons qu'on demande les mouvements relatifs des corps m’, m”,etc., par rapport au corps m; désignons par £”, n”, (” les coordonnées rectangles du corps m’, rapporté au corps m, en prenant ce dernier corps pour l’origine des coordonnées; soient de même £”, 1”, (” les coordonnées rectangles du corps m” par rapport au même corps m, et ainsi de suite; la question consistera à trouver une formule générale qui ne contienne que ces coordonnées.

Îl est d’abord évident qu’on aura

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 107 et la quantité T deviendra

TE l , l=(m+m+m"- . pes nan

0 di | dx (m'dE"+ m "dE" ..) + dy (m'dr + mdr...) + dz (m'dé'+ m/d€"+...) | di? | del dr? + d 12 d'en + LATE d [12 + mn ÉESERÉE + m° Tr

Comme les variables x, y, z, après ces substitutions, n'entrent plus dans la quantité V, et que ces variables n’entrent point dans ‘T sous la forme

finie, on aura, relativement à ces mêmes variables, les équations

OT QT d'T d:22 = 0 do —0o + =. 0 d dx d d dy Us d dz ; ce qui donne JT d'T + $ CHA .

Ts =: —— = N Jdx — Jdy |? ddr ?

a, B, y étant des constantes arbitraires.

Ainsi on aura les trois équations

LE y dE.

4 PA (m + m'+m'+..)T + m° — + m° tes. a

ly An’ Ü

(m + m'+m+.. = + m' + n ee His, / 7 dz , dé de"

(m + nm + m' +... )T +m ne EE e. Le

les quantités «, 5, y étant des constantes.

Si maintenant on substitue dans l'expression précédente de T' les valeurs

dx AMEL

de 7 di’ dt

» tirées de ces équations, et qu’ on fasse, pour abréger,

Ur el!

X = m8" + m8 + me + ...,

/ Y = nn mn + mn + ..., 1 cp] HN PU I Sell] L=ml+me-+m Te +...

a | / RC M— mm mm" +...,

on aura pu + tr | dX HAN +47 É 2 M 2 M dt° dE + dn? + ae ” dE do + dé" RSS AS OU De Rd

88. Les variables £”, n”, (”, £”, etc., étant indépendantes, et la quantité T ne contenant point ces variables sous la forme finie, on aura tout de suite, par rapport à chacune d'elles, les équations

m”’ d?£ dx dV = 4 dE" d'X dV es nn = 0; m RE Mae ae Fees

dd? Mde “dE ; y ( d?yr' ŒYN dNV n | d°n/ Le X. dV mL — dre no Los me — a ) + Gi = RE AL av GARE 0 AA AN.

m Te Made ue ve Ci m Te — je) der va —

Si l’on ajoute ensemble les premières équations relatives aux variables £”,

£",etc.,ona m d?X d'V dV

nm de Tag À der — ce qui donne

ŒX M{dV. dY

nn CO D)

et l’on trouvera de même, par l’addition des deuxièmes équations, et par

celle des troisièmes,

dY M{dN dY À 2 —— m dr! dy" —- 5 ) 2 M[dV dV

AE made gore )

valeurs qu'on pourra substituer dans les équations précédentes. On aura ainsi, pour le mouvement du corps m’ autour de m, les trois

équations

a mePE dv, mw'f/dv , dv .

D en un de aa Cl Pa , dr dNV m’/dN dV | VON AE ETS ere DE po A he er A NS pdt#t AN m'fdaV , dY \ FO CRT Nr Ge

et l’on aura de pareilles équations pour le mouvement des corps nr”, m”,etc., autour du corps m, en changeant seulement entre elles les quantités affectées de deux traits, ou de trois, etc.

I n’y aura donc qu’à substituer la valeur de V et prendre ses différences partielles relatives aux différentes variables ; mais cette substitution peut se simplifier par la considération suivante. |

89. Dénotons par U la somme de tous les termes de la quantité V qui contiennent les distances p ,p , ete.,p , etc., et remarquons que les expressions de ces distances sont telles, qu’elles demeurent les mêmes en augmentant les coordonnées £”, £", £", ete., qui y entrent, d’une même quantité quelconque ; d’ou il suit qu’en faisant varier ces mêmes coordonnées d’une même quantité infiniment petite, la variation de U sera nulle, ce qui donnera l'équation

dU dÜ dUÜ ee AT OUEN MED Pere

On trouvera de la même manière, parce que la même propriété a lieu par rapport aux coordonnées »”, n”, n°”, etc., et aux coordonnées {”, €”, (”, ete., d'Ü dU dU | te po R .... — O, dU dÜU dU de Car Cam T eo Donc, puisque

V ae m(m’fR'dp" + m/f R"dp" + : .) + U,

p” ne contenant que Ë”, n, €’; p” ne contenant que £”, n”, (”, et ainsi de suite ; la première équation deviendra, par ces substitutions, en la divisant par m’,

no à (m + m°)R u

x ss m’R” a+ RARE

Or, dans la quantité U, il n’y a que les termes qui contiennent p', p ,ete., qui dépendent des variables £”, n”, (” (art. 86); ainsi on peut réduire la valeur de U à

U=m'(m" SR df + m"S Rd + ..);

-AU substituant la valeur de PE dans équation précédente, elle deviendra

J? 5! d n dp m & .

__ + (m + m)K El m'R JE + MUR TE + a do | Se m’BR” . de m”B” dev Ds peer ON et l’on aura de la même manière d?y! a , dp° 1 D"! de HD" dp” ne Un nn) RSS Dr NL Rs + // n à RU 1 + m'R de + m°R Tü +... 0; dn d? { - V4 d 6 { d ' [LA . + ss + je . + n À ” m”R a +ue m'R"4 mp" À … — 0.

909. On peut ramener ces équations à la forme générale, qui a l'avantage de s'appliquer également à des coordonnées quelconques.

Si l'on mule la première par 3€”, la deuxième par ôn', la troisième par 20”, et qu’on les ajoute ensemble, on aura d’abord la partie différentielle

G Ns/ ñ / Ç / di? 06 Le de on sn di? oc ?

laquelle, en transformant les coordonnées £”, n”, (” en d’autres courdonnées indépendantes £, 4, @, donnera pour les termes multipliés par 8Ë la formule (art. 7, sect. iV)

Cr à g,

odE DE

en faisant SRE dé” + dn” + dy? + RAC | o dé À l'égard des termes qui contiennent les forces R’, R”, etc., il est facile de voir qu'en changeant la EE ô en d, tous ces termes sont inté-

orables par rapport aux variables £”, #” VC; l'intégrale contiendra d’abord les termes

(m + m°) } f R'dp' re m'fR dp ee m'/R dp Sas

ensuite elle contiendra les termes

(m'R' Te = OR" En + ) € ( PU sh (mr ju m”R” En + }»

à {/ ] 14 se. (m'R” HA 3 m°R"” Te SR» ) “ Or on a d. !} M d il all d 1} {} ee = — 9 ce —— Cu Ée — es HE" p" 1"! p' dé D

et comme

Oii alfa

| A et de même | do". ; 4 do" à p'? + pie — p

| / dE” e Le ne dn AS da den Te à et ainsi des autres expressions semblables. Donc, nommant V” l'intégrale totale, on aura V'= (m+m)/fR'dp + m'fR de + m'JR dp +...

Ainsi, après la transformation des coordonnées, les termes multipliés is sue | par 3€ se réduiront à SE dE; et comme on suppose les nouvelles coordon-

nées £, }, @ indépendantes, chacune d'elles, comme £, donnera une équation

de la forme PR LUN AL

Gad de ide 0

94. S'il n’y a que deux corps, m et m’, l'expression de V' devient V'= (m + m7) fR'dp';

ainsi les valeurs de T” et de V’ sont les mêmes que pour un corps attiré vers un centre fixe avec une force (m + m’)R” proportionnelle à une fonc-

tion de la distance P’ (art. 4). Donc le mouvement relatif du corps m’ autour du corps m sera le même que si celui-ci était fixe, et que la masse attirante fût la somme des deux masses, ce qui est connu depuis Newton.

Lorsque la masse m du corps autour duquel les autres sont censés se mouvoir est beaucoup plus grande que la somme des masses m’, m”, ete., ce qui est le cas du soleil par rapport aux planètes, on a, à très-peu près,

V'= (m + m') f R'dp".

Le mouvement du corps m’ autour du corps m sera donc, dans ce cas, à très-peu près le même que si celui-ci était fixe, et que la somme des masses m + m’ y füt réunie; et en regardant les autres forces m’R”, m’R , etc, ‘comme des forces perturbatrices, on pourra employer la théorie de la variation des constantes arbitraires pour déterminer l'effet de ces forces: il ne s'agira que de prendre, conformément à l'art. 8 de ia section V, — Q égale à la somme de tous les autres termes de la valeur de V” donnée ci-dessus. On fera ainsi, en accentuant la lettre Q pour la rapporter à la planète m’,

HT m'/R dp due. m°/R de, ue Æ) 112 LEE 12 {119 M3 rue pre en in” R/ P P = Pr Es m”R" P P = P, one A et l’on aura, par les formules générales de l’art. 14 de la même section, les variations des éléments du mouvement du corps m’ autour du corps m

regardé comme fixe.

& IE. — Formules générales pour les variations séculaires des éléments

des orbites des planètes autour du soleil.

82. Pour appliquer ces formules au mouvement des planètes autour du soleil, on prendra la masse m pour celle du soleil, la masse m° pour celle de la planète dont on cherche les perturbations, et les masses m”, m”, ete., pour les masses des planètes perturbatrices, et l’on fera

/ I D # Ï m L | KR — —;: . À a ND R — 71...

On substituera ensuite dans la fonction Q”, au lieu des coordonnées £”, »”, {”,

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 119 En”, ete., de ces différents corps autour de m, leurs valeurs exprimées en fonction de t, conformément aux formules que nous avons données dans le

chap. [*, pour les expressions des coordonnées æ, y, z, en y faisant

S— m + 1m", où simplement g”, pour le rapporter au corps m', et l’on aura, par les art. 69 et suivants, les variations des six éléments de l'orbite de la planète autour du soleil.

Nous nous contenterons ici de chercher les variations séculaires de ces éléments qui sont les plus importantes, et qui ne dépendent que du premier terme tout constant du développement de 0.

L'expression de Q’ deviendra

pm (EP HR ES) me RE) +