Commençons par développer la quantité
p' — 4/(E7— ADE SE (n° ee n')° TT ce on y mettra d’abord pour £, 1, (les expressions de x, y,z de l’art. 45, en marquant par un trait, ou par deux, les quantités qui se rapportent aux masses m’, m’. On aura
pp? + p7 — 2 p'p”(x'cos D’ + S'sin ®”) («” cos D” + L’sin b”) — 2p/p”7 (a cos + sin p’) (x cos D” + G' sinb”) — 2 pp" (x,cos ® + 6, sin ®’) (x, cos &" + f, sin ®”). Si on fait les multiplications, qu’on développe les produits des sinus et cosinus, et qu'on fasse, pour abréger,
A =ua" +a x +a a, RTE TT AE + EE + A, B,=6 6" +66 +6,88,
on aura
fl
p—=p?+p?— (A +B,)p'p"cos (D — D”) — (A — B,) pp" cos (D + ®”)
— (A, — B)p'p" sin (®'— @/) — (A, + B) p/p/sin (D + &”). Méc. anal. II. | É 15
Les quantités x”, 8", «,, etc., sont fonctions des éléments h’, £’, #’ de l’orbite de la planète m’, donnée par les formules de l’art. 13, en marquant toutes les lettres d’un trait, et les quantités «”, 5”, «°, etce., sont fonctions semblables des éléments 4”, :”, #” de l'orbite de la planète m”, en marquant les lettres de deux traits : ainsi les quantités A, B, A,, B, sont fonctions de ces mêmes éléments; mais par la considération suivante, on peut voir ce qu'elles expriment. |
94. Les coordonnées primitives rapportées à un plan donné étant x,7, z, pour les transformer dans les coordonnées x”, y”, z' rapportées au plan de l’orbite de m’, on a, par les formules générales de l'art. 44,
PR OS 8! y! + y'z!.
Le — “. A > BY + Ÿ x:
z—= ax +B,Y +y,z, où les coefficients +”, 8”, ete., dépendent des constantes h’, 2’, k', qui déter-
minent la position des nouveaux axes par rapport aux primitifs, 2’ étant l’inclinaison des deux plans.
De même, si on voulait transformer les mêmes coordonnées dans les coordonnées x”, y”, z” rapportées au plan de l'orbite de »”, on aurait
Su rs ON W " TEL + Y +YZ,
Ai TR no," SN Van EN EVE
# 14 # /4 4 # e sr D + Vs
où les coefficients x”, £”, etc., seraient des fonctions semblables des con-
1 , . , « e stantes L”, 1”, k”, qui déterminent la position de ce nouveau plan par rap- : A l: + e if \ D /4 Q] l': IF . d | I port au même pian primitif, et où z serait l'inclinaison de ces plans. Si on compare maintenant ces expressions, on aura er À FLAT FT 1 ," RE À Ve XX + +yz-=x x +BY +Yz); D cf r! fr, RS. c" u as +Ey + y,z = aa" + y" + yz", / Es RE SR nt S RE + EE, + 7,27 on. u TT V2 °
Comme les coefficients &”,6”,7",«,, ete., sont assujettis aux mêmes équations de condition que les coefficients +, 8, y, «,, ete., de l’art. 44, si on
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 115 ajoute ensemble les trois équations précédentes, après les avoir multipliées ; . J 1 ' !
respectivement par à’, a«,,a,,par £",5,,{,et par y’,7,,7,, On aura, en vertu de ces équations, x — A x" 2 B y” de Cz”, ./ [4 [/4 1/4 J = AZ +by +Cz, : | Z — A,x° + B,y" + Car en faisant, pour abréger,
À = A AL ' W 4-4 na LR NE mA
AE 4 ! {! ! 7 SE fè b = & f + af, +a,f,, W 2 l'A 4 ! | ! U Ce = & 3 nn Dem UP Ru [1 1 ri M À, — B œ + B,a, rt ŒENTE
= BR + EE, + EE BY + BV + BV A,= ya + ya, + ya, B,= yB + Yi + Vol CV EYE YaVs
re |
Ïl est évident que par ces formules les coordonnées x”, y”, z' sont transformées dans les coordonnées x”, y”, z”; ainsi les coefficients 4, B, C, 4,, B,, etc., seront exprimés d’une manière semblable aux coefficients analogues x,B",y',«,,{@,,etc., et prenant les constantes /7, Z, K°, à la place des 4”, 1’, k”, on aura, par les formules générales de l’art. 13,
A —= cos K cos H — sin H sin I cos K, B — — sin K cos H — cos K sin H cos Ï, C —= sin H sin Ï; À,= cos K sin H + sin K cos H cos Î, B, = — sin K sin H + cos K cos H cos Ï, C, = — cos H sin }; A, = sin K sin Ï, B, = cos K sin I, Cs== 608 1
La constante Ï représentera l’angle d’inclinaison des deux plans où sont placées les orbites des planètes m”’ et m”; et nous la désignerons par i”, pour indiquer qu’elle se rapporte aux orbites de m’ et m”; et si, dans l’'expression de C, en y’, y”,7,, etc., on substitue les valeurs de ces coefficients en 7, k",2", h7,k", 2" (art. 48),on a |
F1 e e 6 e e of cos i — cos 2’ cos &”° + cos (2° — h7) sin 2’ sin 1”.
On voit que les quantités que nous venons de désigner par 4, B, 4,, Bb, 5’, etce., que celles que nous avons désignées par les mêmes lettres dans l’art. 93; ainsi on aura dans les formules
sont les mêmes fonctions de a”, «”,
de cet article, en y substituant pour ces quantités les valeurs que nous venons
de trouver,
À + B, — 2 cos (H + K) (cos +1 }”, À —B,— 2cos (H — K)(sin 51}, A,—B — 2 sin (H + K) (cos +1 })?, A,+B — 2sin (H — K) (sin LE).
95. Donc, faisant ces substitutions dans l'expression de p * de l’art. 93,
ON aura
p'=p +p"— 2pp" cos (D — D” — H — K) (cos = 1°) — 2p"p" cos (D + ®” — H + K) (sin +1).
Faisons, pour un moment, A = cos (®° + D” — H + K) — cos (® — ® — H — K), on aura
TVR pl plploos (D — 7H KR) —2pp/ A(snil
| La
c'est la valeur qu'il faudra substituer dans l'expression de Q de l'art. 92; et
l’on aura de la même manière
p” de p—p,* __ p'cos(d'—Db/—H—K) p'A (sin; 1)
me ——— nd
JE ue P P
Hn marquant de trois traits les lettres qui ne sont marquées que de
deux, on aura les termes multipliés par m” dans Q, et ainsi de suite.
Il faudra ensuite substituer pour p”, p”, ete., et pour ®”, ®”
, ete., leurs valeurs exprimées par les anomalies moyennes &”, u”, etc., suivant les formules des art. 24 et 22; et dans le développement, nous nous contenterons
, , 5 e + 7 / d'avoir égard aux secondes dimensions des excentricités e”, e”, ete., et des 1/4
r HW
inclinaisons mutuelles 1”, 1", des orbites de m”, m”, etc., sur celles de m’, en regardant ces quantités comme très-petites du même ordre, et en négligeant les termes où elles formeraient des produits de plus de deux dimensions.
On aura ainsi
PO Vpr pi appieos( 0 —H—K)
pp Ecos (PH BH + K)— cos (P— PH --K)] (sin £ "y [pt + p3— 2 p'p! cos (D'— DH —K) |
mené mt
9G. On sait que les puissances d’une fonction de la forme ro VE A EU pp —2pp cosg
peuvent se développer en séries de cosinus d’angles multiples de 9; ainsi on peut supposer 2 1 1" CT Fi Ch (p+p?—2pp"eose) = (p;p )+(p;p),cos® 4 [7/4 + (pl, pp’), cos 2@ + (p", pr), COS 3 +...
EE
= [r,p]+ {pp }c0se + [ps rlcos2e+T[p,plcosie+...,
?— 2p'p"cos®)
où (p',p”}, (p,p’);sete., [p”,p”], [p',p” |,» ete., sont des fonctions de p”, p” exprimées en séries ou par des intégrales définies, dans lesquelles les quantités p’ et p” entrent de la même manière et forment des fonctions homogènes des dimensions — 1 ou — 5.
Ainsi, en faisant pdd HRK,
on aura
ns
= (p,p") + (hp, p"), cos @ + (p”, p'}, cos 2 @ due + PP (ler + fe,plcoso + [p,p"licos2e +...) X [cos (p + 29° + 2K) — cos] (sin 21"}?,
où il faudra faire (art. 21 et 22)
/ ; ’ rx e’? e’? ge À p=a(i1—e cosu}+— ——cos2u", | é 2 2 | 7 7 7 W\ aie airs HO — &'(1—e COU | + —— —cos24", | À 2 2 l / fur 4 b É : 4 ® —u +—2e snu + Z SIN 24, œ” 4 He 2 e”.u 1 =œw +92e sm + sin 24",
et par conséquent
@—œu—u"—T+o2(e snu —e"sinu”) +5(e?snmou — e”sm2u"), L étant —H +K
Comme nous négligeons les quantités au-dessus du second ordre, dans de nl à les termes multipliés par sin” -; on pourra mettre tout de suite a” et a” au
lieu de p”, p”; u”, u” au lieu de ®”, ®”, et u’— u” — L, au lieu de 9; et en
ps:Ppr"%; > # 9 ?
développant les produits des cosinus, on verra facilement qu'il n’y aura de terme indépendant des angles 4” et 4” que celui-ci :
1 U " / W . 1 FT" — <a a"[a’,a”|,(sm<t).
Considérons maintenant les fonctions (p”, p”), (p”, p”),, ete.; en y faisant les substitutions précédentes à la place de L” et de p”, et conservant les se-
condes dimensions de e” et de e”, on aura
d.(a', a”) 1 ; a! a a! 12 7 7 er cd e COSU + = COS 3.4
(p’, p”) me (a', a”) SE d°(a!, a") a! e" + 2 da!?
| d(a',a') ES e d'(a!, a") ae"?
2 da!°
d® / PEN TR SE ll \ (a”, a”) ee —- [cos (u’— u") — cos (u'+ u”)|,
da
—— (1 + cos 2u”) a! UE OU
(— a”e” cosu” —- COS 2 u")
(1 + cos 24”)
ei —
| da! da”
et il en sera de même des autres fonctions semblables. On aura pareille-
ment Pos / De? . U 26 SINU + Se 2 U UE.
. à) — 9e”sinu” — À
e" — e*cosau + ee"? — 8e"? cos 2 u”
cos®=— cos (u'— u°—[T)— sin(u —u"— EL)
sin 24”
ce — »e"e"[cos (w'— uw") — cos (u'+ u")| | on développera de la même manière les cosinus des angles multiples de 9, et on multipliera les expressions de ces cosinus par celles des coefficients ve ph (p', pe etc.
Comme nous ne cherchons que les termes indépendants de toute période, il faudra rejeter tous ceux qui se trouveront multipliés par des cosinus d’angles multiples de 4” et de w”, qui sont les angles des mouvements moyens de m’ et de m”.
. e : I « Ainsi le terme (p", p”), de l'expression de -; , ne donnera que ceux-ci :
(a',a”) + ( ARR RACE ma”) e"? + ( és ed a") er?
\ 2da' 4 da”? 2 da" 4 da" Le terme (p°,p }, cos ® donnera ceux-ci :
/ d (a a”) d ( , a”) d? (a a”) F / " (4 ; 1 / & ; 4 // ÿ à # p 7 tie , a ik —+- de & —- M #2 —- dada a «& e el COS | :
Le terme (p”, p”), cos 2@, et les suivants, ne donneront que des termes où e",e", 1,1" formeraient plus de deux dimensions, et que nous négligeons.
Il reste à développer la quantité
ra VOL / 'Alsin:1"}?
PRE ES + ESÉGENE (art. 95, 94).
ip? p On fera iei pour p', p” les mêmes substitutions que ci-dessus; on aura d’abord
d / 12 a / / W f/ e Re.
nm —=>R(l—e COSU }+ 26 COS + —(1— cos2u)
+ (1 + 5 cos 207) + e'e” [cos (u°— u7) + cos (u° — 47];
. 3 Ê . : { 8 PACE Ÿ + mais dans le terme qui contient sin -, et qui est déjà du second ordre, 1i :
suffira de mettre à à la place de JR? et comme
A = cos (®° + 7 — H + K) — cos (9 — ®”7 — H — K),
\ il est clair que ce terme ne donnera aucune quantité constante. / | ; ; En multipliant l'expression précédente de ne per celle de cos @ de l’article
précédent, et ne retenant que les termes constants où e” et e” ne SPAS pas
la seconde dimension, on trouve aisément ceux-ci :
j/ e"e" A7 e!'e! 7 te ee tree }tosLe6,
de sorte que, dans la quantité dont 1l s’agit, les termes constants se dé-
truisent.
97. La somme de tous les termes que nous venons de trouver, étant multipliée par m”, sera la partie constante de la fonction Q”, due à l’action de la planète m”, et l’on aura une expression semblable pour la partie due à l’action de la planète m°”, en rapportant à celle-ci les quantités relatives à la planète m”.
Nous avons désigné par (Q) cette partie non périodique de la fonction @; si donc on fait, pour abréger,
d{a', a” d°{a',a ((aæ', a”)) 7. Aer a+ TX a a”,
et par conséquent puisque a” et a” entrent de la même manière dans | fonction (a”, a”),
((a”,a& )) — Dia dou 4da® © et, de plus, | da’, a" d{(a/', a" d'{a',a"), , [(a’, a”) Lu (a’, a”) 2h ur }: a’ ve Le . ji 2 rs ) Dur
‘ON aura
En (Q/) …. nr) (a, a”) + ((a', a” )}e" Me ((a” ar) ere | | ss [(a”, a")] RTS DS Lara fa’, " "1, BiniT y
Cette valeur est exacte, aux quantités du troisième ordre près, en regardant les excentricités e” et e” des orbites de m’ et de m”, ainsi que leur inelinaison mutuelle , comme de très-petites quantités du premier ordre, quelles que soient d’ailleurs les inclinaisons de ces orbites sur le plan fixe de projection.
98. On peut simplifier beaucoup les expressions des fonctions ((a”, «”)) et [(a”, a”)|, par les propriétés connues des coefficients des séries en cos ®, cos 26, etc. En effet, si on différentie logarithmiquement par rapport à @, et ensuite par rapport à a’, l'équation identique
2 eo 3 & &” COS @ “es a”) Re (a',a”) PE (a',a”), COS ®
et qu'apres avoir multiplié en croix, on compare les termes multipliés par
les mêmes cosinus, on aura d’abord ce 7Æ { 14 3a'a"(a”,a"},= — 2a'a”(a',a")+ 2{(a° + a*)(a,a"),; ensuite les différentielles relatives à a’ et a” donneront
: entres emmener armements
da: — pe (al a”) J d?(a/, a!) 4 a! (a’, al) + a! (al — 3 a!*) (a!, a!) dar — a'(a®—a°) d'{a',a!) Sa a") + 2 a'a"{a!, a!) de APEae à
Substituant ces valeurs, on aura
| A 4a" a" (a!,a") — a'a" (a+ a!) (a!,a"}, ((a ; 6 }) nr Stat an) … DS
Re — aa! {a + a! (a!, a") PRE a" — a! a*)(a’, al)s [(a , 4 }] = (ar — a")
Mais on peut avoir des expressions plus simples de ces fonctions, en em- Méc. anal. I. 16
ployant les coefficients de la série
| 5 (a®— 2a'a"cose + a”) *—={[a',a"|+[a',a"], cosp +...;
car, en différentiant logarithmiquement, et multipliant ensuite en croix, on
trouve d’abord, comme ci-dessus,
a’ a” [a’, a” |, se) (4 se a”) [a’, a” |, …— 6Ga'a” (ue a” | substituant cette valeur de [a”, a”|,, et comparant la série multipliée par a? —2a'a”cose + a”? avec la série (a’,a”) + (a',a”),cos@ + ete., avec laquelle elle doit devenir identique, il est facile de déduire ces relations :
4 4 / 112 / [/4 EE LAS ARR (/4 (al, al) (an 4 a) lala l|=sala" [aa"),
(a’,a”), — La’ a” [a”, a” | + (a? + a”) [a”, a” |,,
et par la substitution de ces valeurs, on aura celles-ci :
a, a”)) sa'a” [a”, a jh ((e ;@ )), | / a”
Ja aa" [aa] 5 (0 + a") [a a") = — ta'a' fa a",
qu’on substituera dans l’expression de (Q”) de l'article précédent.
À l'égard de la valeur des coefficients (a’, a”), (a', a”),, ete., [a”, a” |, [a’,a”|,,ete., en fonction de a, a”, on peut les trouver par le développement des radicaux, en puissances de cos ®, et par le développement de ces puissances en cosinus d’angles multiples de +, comme Euler l’a fait le premier, dans ses Recherches sur Jupiter et Saturne; mais j'ai trouvé, depuis longtemps, qu'on pouvait les avoir d’une manière plus simple, en décomposant le binôme &°° — 2 aa” cos® + a”* en ses deux facteurs imaginaires
Fes W er Ut (a! — a e?Y rate A ),
et en développant par la formule du binôme les puissances — +, —? de chacun de ces facteurs.
Soit, pour abréger,
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 125 on aura, en général, | | | Fe ae)" a+ na Phare na"? a"? er Tee et si on multiplie ensemble les deux séries qui répondent à W/—1 et à —1/ de et qu’on repasse des exponentielles imaginaires aux cosinus des
angles multiples, on aura (aie 2 &’&” COS @ + a" )"= À + Bcosçe+Ccos29+...,
en faisant
CS | à ND S AN RIRE Sn RS + à S DÉTRERSS ne Fr + S.
S TRS Le ee + RER
Ces séries sont toujours convergentes, lorsque a” > a”; mais si l’on avait a" > 1,il n'y aurait qu’à changer a’ en a” et a” en a’, puisque dans la fonction non développée, les quantités a’ et a” entrent également.
Une conséquence qui résulte de la forme de ces séries, est que tant que » est un nombre positif, tous les coefficients À, B, C, etc., ont toujours des valeurs positives.
Si on fait » — !, ces coefficients deviendront (a', a”), (a', a") (a',a"\,, ete.; et si on fait n— À, ils deviendront [a’,a”|, [a',a”|,,
la’, a”|,, etc.
99. Il nous reste encore à déterminer l'angle L. Comme nous négligeons les quantités du troisième ordre, et que dans l'expression de 4, cos L est déjà multiplié par ee”, on pourra, dans la détermination de l'angle L, faire abstraction des quantités très-petites du premier ordre, et par conséquent y supposer L — 0. Or L—H + K (art. 96), et faisant L — o dans les formules de l’art. 94, on a | |
A=0coS(H+ K), 4, ——-B—sn(H+K), 4—=0;
on a aussi, par les formules de cet article, À = x à" + aa Le CICR — cos L..
Différentions cette valeur de cosL,, faisant varier les quantités x”, «”, 2, etc., substituant à la place de leurs différentielles les expressions données dans l’art. 67, en accentuant les quantités respectives, et remettons les quantités À,, À,, etc., à la place de leurs valeurs en &”, «”, 6’, ete.; on trouvera facilement
— sin LdL — 4 dy'+ A,dr + Bdy" + Cdxr”.
Mais | A,=sml, AÀ,—0o, BP——sml, C0
donc, en divisant par sin L, on aura et, intégrant,
où il n’est pas nécessaire d'ajouter des constantes, puisque l'origine des angles +”, y” est arbitraire. F’angle y (*) est en général celui que l'orbite décrit en tournant dans son plan, et que nous avons substitué à la place de la jongitude £ du périhélie (art. 68).
100. La fonction (Q°) est maintenant réduite à la forme la plus simple et la plus propre pour le calcul des variations séculaires ; il n’y aura qu’à fa substituer dans les formules de l'art. 74, en marquant d’un trait les lettres de ces formules, pour les rapporter à la planète m”, dont on cherche les variations ; et en changeant simplement entre elles les lettres marquées d’un trait et de deux, on aura des formules semblables pour les variations de Îa planète m”, et ainsi des autres,
On voit que cette fonction est composée de deux fonctions distinctes
ie mn 00 à,
(”) foyez la note relative à cet angle y, page 87. On peut remarquer, en outre, que l'équation di = da” — da est subordonnée à l'hypothèse que l’on puisse négliger l’inclinaison des deux orbites lane sur l’autre. Si l’on n'avait pas supposé l’— 0, les formules seraient tout autres, et l’angle y ne s’y introdurait pas. ({. Bertrand.)
entre elles, dont l'une ne renferme que les excentricités et les lieux des aphéhes dans les orbites, et dont l’autre ne renferme que les inclinaisons des orbites sur un plan fixe avec les lieux de leurs nœuds. Si on désigne la première par (Q°), et la seconde par (Q"),, en sorte que l’on ait
