Q°) A (Q”), LÉ (Q
on aura (Q’ ue 8(a’,a") + a'a"{a', a"],(e° + e”°) y — ÿ M | he Le fa’, a", e’e” cos (x! — y”) Es 6 (a, a”) +a'a” ao), (e” he e”?) A D fa’, a"|,e'e! due (+, x") "5 (a’), "ri; eh e [a!, a], Gi ) Les Em” a a" re a"}, (i Las j") #2 où
cos L— cos £’ cos ë” + cos (k°— h") sin z' sin c”,
cos L— cos 2’ cos i” + cos (k° — }") sims’ sin c”,
les angles F, [”, etc., étant les inclinaisons de l’orbite de la planète m’sur celles des planètes m”, m” On substituera ainsi (07), + (Q’),, au lieu de (@°7), dans Îes équations des
variations séculaires (art. 76), et on accentuera les lettres, pour les rap-
; ÉLC:
porter à la planète m° dont on cherche les variations ; on aura, en négli-
geant les e”* et mettant simplement a” au lieu de b dans les coefficients des
fonctions (Q), et (Q),, qui sont déjà du second ordre,
de” I d (Q); dx’ __. +4 d(Q), de S'HNSS Ve’ a! e dy 9 dt KE Ve’ 7 e de! ?
du 1 d(Q’} dk 1 d(Q} AE Ve’ a! sin l'dh!? dt Ve a’ sin 2 dé
On aura de parailles équations pour les variations des éléments de la planète m” dans son orbite autour de m; et il n’y aura pour cela qu'à marquer
de deux traits les lettres qui ne sont marquées que d'un trait, et au contraire ne marquer que d’un trait les lettres qui le sont de deux.
Ainsi, en observant que les fonctions de a” et a”, représentées par des parenthèses, ne changent pas en échangeant entre elles les quantités 4”, a”,
‘on aura (a”) ns. 8 (a’, a”) + aa” La”, a” , (7? + e”?) ce: — 9 [(a",a")[,e'e”cos(x"— x 1 "M ee (a”,a”) + d Fa [a” sa], (e”? + ge + 8° [/4 I! . # —a|(a",a 1, ee" cos (x"— % (Q"),= — 5 m'aa" [a', a", (1— cost) de im”a”a” [a”, a"| (ï she 1) où cosi —cosT, et cos L” — cos i” cos" + sin (4° — A") sin 1” sin &”
et les équations des variations seront
dE gra’ "dx" dt Varai ed ?
a I d(Q”), dl 1 d.(Q/),
de Vera sin #” dh"” de Vg" a! sin / dit ?
et ainsi de suite pour les variations des éléments des orbites de m” , etc. .
autour de m.
401. Mais nous remarquerons qu’on peut réduire à une seule fonction les différentes fonctions (Q”),, (Q”),, etc., ainsi que les fonctions (Q”),, (Q7),, etc., ce qui mettra plus de simplicité et d’uniformité dans les for-
mules des variations : en effet, si on fait
| A n == sr — | (a’,a") + [a',a"],(e* + e*)— 2{a,a”|,e e cos(x— x”)] I ,! ({/4 e m/ a [8 (a! ,a") . [a’,a/1|, (e et + EE 5 fa! ,a"], Lane (L x") m EU a!! a"!
[8 (a a”, a” ) + [a”, a”, (e”? he e7?) — 9 [a”, ds e”e” cos (x” — x]
e s 8 9 w 2 e 9 oo s # e 4 en e 226 a ;
en faisant toutes les combinaisons, deux à deux, des masses m’, m”, m”, ete., et des fonctions qui y sont relatives, il est facile de voir que dans les différences partielles de (Q°),, (Q”),, etc., on pourra changer ces fonctions en ®, pourvu qu'on divise par m' les différences partielles relatives àe'et x’; par m” les différences partielles relatives à e”, x”, et ainsi de suite. De sorte que les équations des variations des excentricités et des aphélies
deviendront de” 1 dP dy I dP de m/Vg'a! c'dy!” ES it Vg' a! c' de?
de" I db dy" I dP A ie Ve" a" A PUR dt jm” Ve”a e" de!”
Ces équations donnent
db pe dE por. d®
/4 —— de’ — LE de" = 0,,:::;:
de! 9 dy" de! + b)
donc, comme ® est fonction des variables e”, »”, e”, %”, ete., sans f, on aura d® — o, et par conséquent ® égale à une constante. C’est une relation générale entre les excentricités et les lieux des aphélies des planètes, qui doit toujours subsister, quelques variations que les excentricités et les lieux des aphélies subissent à la longue, pourvu qu'elles soient très-petites.
10%. Mais la nature de la fonction © donne encore naissance à d’autres relations générales entre ces mêmes éléments. | En effet, il est facile de voir qu'on a l'équation
db db 49 CR QE
et si on substitue à la place de ces différences partielles leurs valeurs
/ ] ] e' de! H/ v 7 e" de! t d / | de ti | d l ; l m Vg ee NB Ne 7 Etes CDMICRS par es équations de l'article
précédent, on aura, en intégrant relativement à f, l'équation finie
PO REA: ÿ T7] m’ V/£ ae? + m” PASS m” V8 a el"? dan, nee K?,.
K” étant une constante égale à la valeur du premier membre de cette équation dans un instant quelconque.
Cette équation fait voir que les excentricités e”, e”, e”, etc., ont nécessairement des limites qu’elles ne peuvent passer; car comme elles sont nécessairement réelles, tant que Îles orbites sont des sections coniques, chaque terme, comme m' Vg'a’e! *, sera toujours positif, et son maximum sera la constante K*.
Il suit de là que si les excentricités des orbites qui appartiennent à des masses très-grandes sont une fois très-petites, elles le seront toujours, ce qui est le cas de Jupiter et Saturne; mais celles qui appartiennent à des masses fort petites pourront croître jusqu'à l'unité et au delà, et on ne pourra déterminer leurs véritables limites que par l'intégration des équations différentielles, comme on le verra ci-après (*).
De plus, comme la quantité ®, regardée comme fonction de e”, e”,e”, ete., est une fonction homogène de deux dimensions, on aura, par la propriété
connue de ces fonctions,
a ®D Î FA 4 di d (6) If
en Te Ten € +... 2%.
Substituant dans cette équation les valeurs des différences partielles de ® relatives à e”, e”, e”, ete., tirées des mêmes équations de l’article précédent,
On aura
in Vs a’
K étant la valeur de ® dans un instant quelconque. ee {/.
di dt amgulaires des mouvements des aphélies, et par conséquent elle donne une
a 1,4 AL .
A d'a ne on Ur qe" d +...
Dans cette équation, les , etc., expriment les vitesses
relation invariable entre ces vitesses, par laquelle on voit qu “elles ont aussi
nécessairement des limites, tant qu’elles sont toutes de même signe.
{*} Voyez à ce sujet un Mémoire de Laplace, Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour 1784, le n° 57 du second livre de la #fécanique céleste, et le chapitre IT du livre XV {cinquième vo- lume} où Laplace reproche à Lagrange d’avoir énoncé, sous une forme dubitative, un théorème
démontré par lui depuis longtemps. (J. Bertrand.)
103. Si l’on emploie les transformations de l’art. 75, en faisant
m'=e'sinx", n—ecosx, m'—e"sinx”, n"—e"cos%”,..., / AT AU D — —7 —([/, a” |, (m° + n° + m°+n) ue 2|a’, a" |, (n'm" + n'n”)) À is ([a’, a], (m2 + ne men) — 2 [a’, a", (m'm" + nn!)
mm” a/ a” HW 12 112 Ia Ir 2 VAN | 72/1 VAN] +R (a, a" (en men) fa”, a], (n'm" + n'a")
kg
e e e e e e CE © s e- e e e e où e. o e e LL 0 e b
et les équations des variations seront
MOI mésmi, dt Vs’ a’ dn' dt Vega dm' y dm" 1 d® 7 An" L: db dt 7 Vera dn? dd — 7 gra dm"
Si, dans ces équations, on substitue la valeur de ®, et qu'on exécute les différentiations partielles, on a des équations linéaires en m',n',m",n",ete., faciles à intégrer, et ces équations seront entièrement identiques avec celles que j'avais trouvées par une autre voie, dans les Mémoires de Berlin de 1781, page 262, comme il est facile de s’en assurer en comparant entre elles les dénominations différentes des mêmes quantités.
Dans les Mémoires de l’année 1782, j'ai appliqué ces équations aux six planètes principales, en adoptant pour leurs masses les valeurs les plus probables, et J'en ai tiré, par l'intégration, des formules générales pour les variations de leurs excentricités et des lieux de leurs aphélies, lesquelles donnent les valeurs de ces éléments, tant pour la terre que pour les autres planètes, au bout d’un temps quelconque indéfini, soit avant ou apres l’époque de 1700; et comme, par ces formules, les excentricités demeurent toujours très-petites, ainsi qu’on l’a supposé dans le calcul, on est assuré de leur exactitude dans tous les temps passés et à venir. On trouve ensuite, dans le volume des mêmes Mémoires pour 1786-87, imprimé en 1792, un
Méc. anal, II. | 17
i50 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
supplément à cette théorie, relatif à la nouvelle planète d'Herschel, où l’on détermine de la même manière et par des formules aussi générales, les variations séculaires de l’excentricité et du lieu de l aphélie de cette planète, produites par les actions de Jupiter et de Saturne ; on a seulement négligé l'effet de l’action d’'Herschel sur ces deux planètes, ainsi que sur les autres planètes inférieures, à cause de la petitesse de sa masse, et de sa grande distance.
104. On peut réduire de la même manière, à une forme plus simple, les équations de la variation des nœuds et des inclinaisons. Soit W——!immaa [a,a’],(1— cost) — Lmm/aa"{a, a], (1— cost} + m m'a" [a”, a], (1 — cost) # F1 2 en faisant aussi toutes les combinaisons deux à deux des masses m', m”, , ete., qui sont supposées agir les unes sur les autres, avec les fonctions
correspondantes de a’, a”, a”, ete., et des inclinaisons L', [, F, etc., qui sont déterminées en général par la formule
cos L° — cos 2°” cos 5° + cos (A0 — R°) sin 100 sin &°, dY dY d(Qh d(Qh on aura, en substituant = di? md? EC.) à la place de - a) pr? EC. di’ HE I d'Y . dh! Ds cm d'Y dé am’ Vg/ a sin i'dh!° dt m’Vg'a'sin id?
di dY dk" où dY AE ES Vg/ af sin idh"” AE “ui Vg/al sint” di” !
Ces équations donnent aussi
d'Y d'P prar « nr. AT puy
nr Ah + nr = 0, AT di — O,
et par conséquent, puisque Y est une fonction de #/, 1’, h", 1", ete., sans aucune autre variable, dY — o, et Y — à une constante.
De plus, il est visible, par la forme de la fonction Y, que l’on a cette
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 131 équation, d'F d'Y dYŸ
AN ant ami dé 0
Substituant, pour les différentielles de Y relatives à #’, k”, h”, etc., leurs valeurs données par les équations précédentes, on aura une équation differentielle en 2”, 2”, 1”, etc., dont l'intégrale sera
ar . NTI 72 +// P'N77 2771 jf m’ V£ a cos ? + m” V£’ ad’ cos L” + m” Vg"a” cos &/ + ..,— const.,
et qu on pourra mettre aussi sous la forme
re TN OQ RE pe réf HN 9 * L ë D L m’ Vg'«& (sin!) + m7 Vg” a” (sin) + ,..—H"?, 2 2
H° étant la valeur du premier membre dans un instant quelconque. On peut tirer de cette équation, relativement aux limites des quantités
sin A sin — etc., des conséquences analogues à celles que nous avons dé-
duites d’une équation semblable en e’, e”, ete., dans l'art. 108.
405. Dans le cas où l’on ne considère que l’action de deux planètes m’ et m”, l'expression de Y se réduit au seul terme multiplié par m'm”, et l’imelinaison mutuelle {des deux orbites devient alors constante ; c’est à trèspeu près le cas de Jupiter et Saturne.
Dans ce cas, nous remarquerons encore que si l’on suppose que le plan de la planète perturbatrice m” coïncide dans un instant avec le plan fixe, on
aura i= 0, et par conséquent cos ? — cosi’, ce qui donnera = — Em'aa[a, a], (1— cost), et de là dh' . m/a'a" [a”, a" |; dt 4 Vg'a!
c'est l'expression de la vitesse du mouvement rétrograde du nœud de l’orbite de m’sur le plan de l'orbite de m”, tandis que leur inclinaison mutuelle demeure constante ; d’où l’on voit que l’action de la planète m” sur la planète m’, pour faire varier la position de son orbite, se réduit à donner au
nœud de son orbite, sur celle de la planète perturbatrice m”, un mouvement
rétrograde instantané exprimé par m/a'a! a! a | Lee ee dé,
4 Vg'a
sans affecter l’inclinaison mutuelle des deux orbites.
De la même manière, l’action de la planète m’ sur la planète m”, pour changer la position de son orbite, fait rétrograder le nœud de cette planète sur le plan de l'orbite de m’, d’un mouvement instantané
. m’ a'a!! [a’, a” |; ’ 4 Vg”a’ | et ainsi des autres planètes.
En combinant ainsi deux à deux toutes les planètes, on pourra trouver les variations de leurs nœuds et de leurs inclinaisons réciproques, puisque, par la nature du calcul différentiel, la somme des valeurs particulières d’une différentielle en forme la valeur complète. C’est ainsi qu'on avait trouvé les changements annuels des nœuds et des inclinaisons des planètes, produits par leurs attractions mutuelles, avant qu’on eût une théorie directe et générale des variations séculaires.
106. Pour donner un exemple de cette méthode, considérons trois pla-
nètes m’, m”, m”, dont les orbites s’entrecoupent, I”, I” étant les inclinai-
sons de la seconde et de la troisième sur la première, et L étant l’inclinaison de la seconde sur la troisième; il est facile de voir qu’elles formeront sur la sphère un triangle sphérique dont les trois angles, en supposant les inclinaisons de m” et de m” du même côté, seront L, 180°— T'et L', que nous désignerons, pour plus de simplicité, par «, f, y. La planète m' fera rétrograder sur son orbite le nœud de la planète m”, de la quantité élémentaire | m/ a!a! [a’, a” |; 4Verar et la même planète fera rétrograder en même temps sur son orbite le nœud de l'orbite de la planète m”, de la quantité élémentaire m'a’'a!! [a’, a” | dt __. 4Vg7a tandis que les inclinaisons [’ et I” demeureront constantes.
Ainsi dans le triangle formé par l'intersection des trois orbites, la portion de l'orbite de m’ interceptée entre les orbites de m” et de m”, c’est-à-dire le côté adjacent aux angles x et 8, croîtra de la quantité A dt; faisant, pour abréger, nn
à . m a'a! ve a” |; a'a! [a’, sh) "À Vera! Verar } 8 «à S «a /
les angles « et 8 demeurent constants.
Or dans un triangle sphérique dont les angles sont «, 6, y, et dont le côté adjacent à « et 8, et par conséquent opposé à y, est c, on a
COS y — sin « sin Ê COS C — cos a COS f.
Donc, faisant varier c de A dt, on aura d.cos y — — sin & sin B sin cAdk.
Mais la même équation donne
cos y + cos a cos AUX ARR Re
