COS & — X, COS B — Y, COS Y
on a les trois équations
dx ——Cudt, dy ——Budt, dz = — Audi;
u — ve: — A7 — V° —— 7° — 22.
La première, combinée avec la seconde et avec la troisième, donne, par l'élimination de w, B ; A dy = 5 dx, dz =; dx; et de là ___ Br+a Ax+B
PRE RP RCE
FL À er €
Substituant ces valeurs dans l'expression de w, la variable + montera au
troisième degré sous le radical, et l'équation dx — — Cudt donnera dx r . . , , ®
dt = — cr équation où les variables sont séparées, mais dont le second. a LE |
membre ne sera intégrable que par la rectification des sections coniques.. Mais comme les inclinaisons mutuelles des orbites doivent être supposées très-petites, s1 l’on fait
T—=Ii—É, tn 7 Z—1—6, ce qui donne e [17 \2 mr pa à | Eu 1 M\S é=(sE), #=(1), C=(Gl}, les quantités £, n, { devront être très-petites, et l’on pourra négliger, dans l'expression de z, leurs troisièmes dimensions vis-à-vis des secondes. On aura ainsi 2 | = 2 = à (En EC + IE) — Em — €, et |
dé=—Cudt, dn—=—Budt, dé — Audt.
Si l’on différentie cette valeur de 4*, et qu'après la substitution des valeurs de d£, dn, dE, on divise l'équation par wdt, qu'ensuite on la redifférentie et qu’on y fasse encore les mêmes substitutions, on aura, dé étant constant,
LE = [2(— AC — AB — BC) — A°—B— Cle,
équation intégrable par des exponentielles ou des sinus, suivant que ie coefficient de & sera positif ou négatif; mais comme w — sinæsin 6 sinc, il est évident que la valeur de & en t ne peut pas contenir d’exponentielles ; désignant donc par — u* le coefficient de w dans l’équation précédente, on
aura U —= K cos (ut 2 k),
K et À étant deux constantes arbitraires qu’il faudra déterminer par l’état initial, et comme sin « et sin f sont, par hypothèse, des quantités très-petites, K aura aussi une valeur très-petite.
De là on aura, par l'intégration, les valeurs de £, », €, quine contiendront t que dans sin (ut + k), et qui, étant une fois très-petites, le seront toujours nécessairement, de sorte que la solution sera toujours bonne.
On connaîtra donc ainsi les inclinaisons reciproques des orbites pour un temps quelconque, mais on ne connaîtra pas encore par là leurs positions absolues dans l’espace, lesquelles dépendent des angles #”,X”, ete., 1’, 1”, ete. ; c’est pourquoi il est plus simple de chercher directement ces angles par l’intégration des formules de l'art. 104.
407. Mais au lieu d'employer ces équations sous la forme où elles se présentent, il sera plus avantageux de les transformer par les substitutions de
l’art. 75, en faisant
p'=sint sm, p'—sint’sin#”, ete.,
g'=sint cos#", q”—sini”cos*”, ete.;
on aura ainsi, en accentuant les lettres p, g, pour Îles rapporter successive-
« G ÿ \ ment aux planètes m’, m”, etc., et mettant la fonction A la place de (Q)
{art. 104),
dp' . Vi—E p°—q" d'y LA Vr #— p' = q" dY RO m'ÿga dd. dt m'Vga dp' dp' __ VE pie qe dE dq" o Vi— pq" d'Y
a TE —————————————— —— —— —— 9 mms dt tt Vg'a’ dqg” dt
8 e. é GC] $ s à
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SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. | ï La fonction Y sera, comme dans l’article cité, 1 LIRE LPS NE | À / 4 du Y— — Lmmaa" [a’, a”"|,(1— cosi) / | 7 nt — <mm'a'a"|a,a"|,(1— cost) mais les valeurs cos Le cos L, cos L', etc., deviendront, par les mêmes substitutions,
cs, = PET D QT PL FU:
du — q rer INT A cos Ê — ae SE à ——— te Los dr de a,
Faisant ces substitutions et exécutant les différentiations relatives à p”', q’, NW 1/4 Pas
dp’ s im” a! a”[a’, a” |: j 3 ” 5 ;
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