I , 1,1 AA

he m'a 'a"|a”,a"] ( "x pie qe SN, gr) Â VeT a” P —— Q | e e a e s . e e e 0) e e ° s . ° e e e

Mec, anal. II. 18

i38 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

108. Ces équations ont lieu, quelles que soient les valeurs des variables p',q',p',9q",ete., parce que nos formules ne supposent point que les inclinaisons 2’, &”, etc., des orbites sur le plan fixe soient très-petites, comme on l’a vu jusqu'ici dans toutes les formules que l’on a données pour le mouvement des nœuds et les variations des inclinaisons, mais elles supposent seulement la petitesse des inclinaisons mutuelles des orbites.

Quant à leur intégration, elle paraît très-difficile en général, et il n’y à peut-être que le cas de deux orbites où elle réussisse. |

Faisons dans ce cas, pour abréger,

DORRUEeNR ON REIREM

4 Vg'a’ À Vg" a” Te al Co de Vs GDS ND.

Vip gx, Vi—p"—q°=7, on aura les équations

dp!

/ | dg” / 72 = —M(gy—g'o, TH =M(p y —p'x), do" ÿS da’ à = NQa—gyh = NU'x—p'y)

Flles donnent d’abord

Dev dp" - dg' | HA ‘de à Ne an 0e Ce Nr 0 d'où l’on tire Np'+Mp"— pb, Nq'+Mg'=c, b et c étant des constantes.

Maintenant, si l’on différentie l'équation x° = 1 — p*— 4°, et qu'on y substitue les valeurs de dp', dg', on a, après la division par xdt,

d V1" fx = —M(p'q"— q'p");

on trouve de même

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 15ÿ et, de là,

nr dx dy fétant une constante.

Les intégrales que nous venons de trouver donnent Mp'—=b—Np, Mg'=c—Ng, My=f—Nx;

ces valeurs étant substituées dans les trois equations

dp' | + M(gy—g'a)=0, %—M(p'y—p'x) =

on obtient les équations suivantes :

! ns | da! 7.

— + fq — CX = 0, 7 — fp + bi = 0, dx / l a 2 ru bg' =

qui, étant linéaires et à coefficients constants, sont toujours intégrables.

On aura de pareilles équations en changeant p”, g”, x en p”, q”, y; mais, lorsqu'on connaîtra les trois premières de ces quantités, on aura les trois dernières par les trois intégrales précédentes.

Les expressions de p', q”, x, en t contiendront trois constantes arbitraires, et, comme les constantes b, c, f sont aussi arbitraires, on aura en tout six constantes arbitraires, mais qui se réduiront à quatre, pour satisfaire aux équations supposées p°? + qg° + à — D . dr LEA — j;0n aura ainsi les valeurs complètes des quatre variables p', q”, P'; 4”; qui donnent la position des deux orbites dans l’espace. |

Mais notre analyse est fondée sur la supposition que l'inclinaison mutuelle des deux orbites soit très-petite; le cosinus de cette inclinaison est exprimé par la formule (art. 107)

FUN FLOU L'ErrFaRR TE dont la différentielle devient égale à zéro, d’après les équations différentielles 18:

i.O | MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

cl-dessus ; cette quantité sera donc égale à une constante, comme nous l’avons déjà trouvée (art. 105), et il faudra que cette constante soit supposée fort petite, pour l’exactitude de la solution précédente.

Il serait difficile, peut-être même impossible, de résoudre de la même manière le cas de trois ou d’un plus grand nombre d’orbites ; mais nous observerons que, comme la position du plan de projection est arbitraire, on peut toujours le prendre de manière que les inclinaisons des orbites sur ce plan soient très-petites, puisque leurs inclinaisons mutuelles doivent être trespetites, et si, les inclinaisons étant très-petites dans un instant quelconque, elles demeurent toujours très-petites, la solution fondée sur cette hypothèse sera légitime.

409. En supposant les inclinaisons ?”, &”, ete., des orbites sur le plan fixe, très-petites, les variables p', q', p”, q”, ete., seront aussi très-petites, et l’on pourra, dans les équations de l’art. 107, entre ces mettre simplement 1 à la place des radicaux W/1 — p°— q"° ,Vi— p— q" — — q"?, ete., ce qui les réduira à la forme linéaire, dont intégration est Ha

On aura ainsi des équations tout à fait semblables à celles que j'avais trouvées, par une autre méthode, dans les Mémoires de l'Académie de Berlin pour 1762, et dont j'ai fait aussi l’application aux six planètes principales, en donnant les expressions finies des variables pour un temps indéfini ; et les Mémoires de 1787, de la même Académie, renferment, de plus, ce qui est relatif à l'orbite d'Herschel. Il faut seulement remarquer que, dans Îles formules de ces Mémoires, les tangentes des inclinaisons tiennent lieu des sinus qui se trouvent dans les valeurs des variables:

p'= sin£’ sin", p'—sint”sink”, ete.,

q'—=sint cosk", a”

"= sin £” cos »”, ete. ;

mais, à cause de la petitesse des inclinaisons, cette différence n'est d'aucune considération.

Lorsque l’on connaît les valeurs de ces variables, on peut déterminer tout de suite les inclinaisons mutuelles des orbites par les formules de lart. 107; mais ces formules se simplifient dans le cas où les quantités p”, g',p",q",ete.,

sont très-petites. Dans ce cas, on aura, en négligeant les troisièmes dimen-

sions de ces quantités, cos {! — nee g°+p ee qg”) + pp" + qq":

et de là, à cause de :

on aura de même

et ainsi des autres.

110. Il reste encore, pour compléter la théorie des variations séculaires , à considérer la variation du mouvement moyen que nous avons désigné par dA dans l’art. 77. et qui, en négligeant le carré de l’excentricité e, qui est supposée fort petite vis-à-vis de l’unité , et accentuant les lettres pour les rapporter respectivement aux planètes m” ; m” 5 CUC:s devient

y, fa d(f!) e!__ d(Q) aX= — 2 V5 re dé + ae de dt

pour la planète m”’; on aura de même, pour la planète m”, la variation da”, en ajoutant un trait aux lettres qui n’en ont qu'un, et ainsi de suite.

On substituera donc dans cette formule, au lieu de la fonction (Q°), la somme (Q”), + (Q°),, suivant l’art. 400, et comme la fonction (Q”), ne con-

tient point les excentricités e”, e”, ete., on aura simplement

É a! [d(Q}, d(Q'} e d(Q’h, dax = 35 ( da! da’ Ne "AT va

et, pour avoir une formule uniforme pour toutes les planètes m”, m”, ete., il,n’y aura qu'à mettre, suivant les remarques des art. AO et 104, AR) d(Q); dE

HO do da? de ? et m’da'

à la place de à la place de ———

Moules m’da! m’'de!

Fe ve a+ dY e! dd?

Mo À g! \im/da! Es m'da! La Vg'a! me! ?

qui donnera

les fonctions d et W étant données dans les mêmes articles, et étant les mêmes pour toutes les planètes.

Mais si, à la place de ces fonctions exprimées en e”, p', 1, h',e”,etc., on veut employer les expressions des art. 103, 107, en m,n, ps:

m', etc., il faudra, suivant les formules de l’art. 75, changer Fr en € m'd® n'd® .

, 4 x \ et, pour avoir da”, d''}, ete., il n’y aura qu'à changer g”, a',m',m',n en

ff (4 14

{ [/4 1/4 gp ,@a ,m ,Mm,n "OC.

Dans ces formules, les différentielles relatives à «’ n'affectent que les coef- Lis [ | ficients a'a”(a', a”), a'a"[a', a"|,, a'a"{a', a”|,, a'a”{a', a”), ete., des

fonctions ® et Ÿ', à la place desquels 1l suffira de substituer

d a'(a”, a") is a'a” d |

f / [/4 d & a a'[a”, a°|,+ d'a ee TC

. | db dY pour avoir Îes valeurs de -—; ——; et, par les formules de l’art. 98, on trouda’ da | ?

vera les valeurs des diflérences partielles

d é', {} ARTU 0 APE PRAREENERE PS

il faudra ensuite y substituer les valeurs de m’, n°, p',q", m',eïe., ent, trouvées par l'intégration des équations différentielles des art. 105 et 108, et que nous avons données, pour toutes les planètes, dans les Mémoires cités de l’Académie de Berlin; et, comme ces valeurs sont exprimées par des suites de sinus et de cosinus, les variations d\', da”, etc., seront intégrables : les termes constants donneront, dans à”, 1”, ete., des termes proportionnels à £, qui se confondront avec les mouvements moyens; et les termes en sinus et cosinus donneront de pareils termes, qui exprimeront les variations séculaires de ces mouvements.

J'avais trouvé, par une autre méthode, dans les Mémoires cités de l’Académie de Berlin, des formules pour déterminer les variations séculaires des

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. i 45

moyens mouvements des planètes, et elles m’avaient donné, pour Jupiter et Saturne, des résultats presque insensibles ; mais les formules précédentes sont peut-être plus rigoureuses, et 1l sera bon d’en faire l'application aux planètes ; c’est un objet dont je pourrai m'occuper ailleurs : ici, Je n'ai eu en vue que de montrer l'usage de la nouvelle théorie des variations des constantes arbitraires, dans la détermination des variations séculaires des éléments des orbites des planètes.

S IT. — Sur les équations séculaires des éléments des planètes, produites

par la résistance d'un milieu très-rare.

141. Pour ne rien laisser à désirer sur les variations séculaires des planètes, nous devons encore considérer l'effet d’un milieu peu résistant dans lequel il est possible qu’elles se meuvent , et où elles devraient nécessairement se mouvoir, si la lumière était due aux oscillations d’un fluide.

Nous avons déjà vu, dans l’art. 79, que, pour avoir égard à la résistance, il suffit d'ajouter à la valeur de 8Q les termes

TVdr® + r°d®? (drèr + r°dbdD +rdbdy) RS

l'étant la densité du milieu, qui peut être une fonction de r, et qui doit être supposée très-petite, et d'y substituer pour r et ® leurs valeurs en £ données par le mouvement elliptique de la planète, en se souvenant que la caractéristique d se rapporte au temps t, et la caractéristique à aux éléments de la planète. | |

Comme nous ne cherchons ici que les variations séculaires, il faudra, ainsi que nous lavons pratiqué plus haut, rejeter tous les termes périodiques, et ne retenir que les termes constants. |

112. En désignant, comme dans l’art. 24, l’anomalie movenne de la planète par |

u= VE (te),

on à vu que 7 et ® — x peuvent s'exprimer par des séries dont la première ne contient que des cosinus, et la seconde des sinus d’angles multiples de # ;

donc dr ne contiendra que des sinus sans terme constant, et d® des cosinus de ces mêmes angles; par conséquent, la quantité dr * + r° d&° ne contiendra que des cosinus, et il en sera de même de la série qui exprimera la valeur de \/dr° + r°d&*. Ainsi, en faisant T — fr, la quantité T dr? +r° do? sera exprimée par une série de cosinus de multiples de .

Maintenant, pour avoir dr et 9, il faudra faire varier dans les séries de r et de ® les coefficients des cosinus et des sinus qui sont donnés en a et e, et, de plus, l'angle 4, à raison des constantes & et e qu’il renferme. Désignons

par à (r) et à (&) les parties de Îr et de Sd qui contiennent les variations des

LS dr a 1D coefficients, on aura Ôr — à (r) + — Ju, et, de même, 2 — à (D) + s Su

donc drèr+r"d®i®= Grô(r) + r°doi(®) + (dr? + r°d%) .

Or il est clair que ô(r) ne contiendra que des cosinus; et, comme dr ne contient que des sinus, drô(r) ne contiendra aussi que des sinus sans terme constant; de même, 5 (®) ne contiendra que des sinus, et, comme Ôô® ne contient que des cosinus, db 3 (&) ne contiendra aussi que des sinus ; d’ailleurs r? ne contient que des cosinus, par conséquent, r*d®ô(®) ne contiendra que des sinus. Donc la quantité drô (r) + r°d®8(®) ne contenant que des sinus d’angles multiples de 4, sans aucun terme constant, devra être négligée.

443. Ainsi, pour les équations séculaires, on aura simplement

drèr +r*d®5® = (dr + r°d®) Te

Or, du — di / È donc, faisant ces substitutions, on aura, pour les termes à

ajouter à 8Q, à cause de la résistance du milieu,

l'(drrtddt) 7/07, (Var rt dd )re ap? \ NE ge 0

où il faudra substituer pour r et & leurs valeurs en t ou w, et ne retenir dans les résultats que les termes indépendants des sinus et cosinus de w.

Var les propriétés du mouvement elliptique, on a tout de suite

r°d® — Ddt = dt\/ga(i —e), dr” + dot (Fr 7)sdr; | J' Œ }

ainsi les termes dont il s’agit se réduiront à

où du = —1/ #30 24/E (8 0) da.

114. Tels sont les termes qu'il faudra substituer à la place de 46Q, dans

les formules générales des variations des éléments des planètes (art. 74), et l’on aura |

1 — € 2 £ 2 1\* = HSE V2 | (2 ci :) | vedr

et les variations des autres éléments x, h, i seront nulles; d’où l’on peut d’abord conclure que le grand axe ou la ligne des apsides, ainsi que le nœud et l’inclinaison, ne seront sujets à aucune variation séculaire; par conséquent, la résistance ne déplacera point l’orbite de la planète, mais en chansera seulement à la longue le grand axe et l’excentricité, et produira en mème temps une équation séculaire dans l’anomalie moyenne et dépendante de la variation de c.

Si l’on combine ensemble les deux premières équations, on a

| 3(t— cd de — me F donc drnoese ESS ee.

Méc. anal, I. 19

iÂ6 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

divisant par V a°, et intégrant, on trouve

—. dt en supposant que l'intégrale J hs commence au point OÙ 4 —= O ; ainsi tout Va: | dépend de la variation de la distance moyenne à.

Si, dans la première approximation, on néglige l’excentricité e supposée

s LU » 9 Ï À T " e f « e très-petite, on a r — a É — :) = — (*); et, comme la densité du milieu l

he peut être qu’une fonction de r, elle sera une fonction de a, et la première équation donnera

Dern 2T Vga Supposons l' constant; on aura, en intégrant, VA — Va bre — ÿ T V8

À étant la valeur de à lorsque t = 0; donc

a (VE — vs).

et la valeur de w deviendra

ES C - Hs Re er mn ue NA fe = (VA—:TVg) À où le coefficient L' doit être supposé très-petit.

(*) J'ai dû conserver cette équation qui est dans la deuxième édition, mais je dois avouer qu’il m'est impossible de comprendre son origine. Si l’on néglige e, on a, simpiement, 7 — a, et la valeur de da

# # 1 . | L da 0 7 . N : 2 H :

(page précédente) donne bien alors dt = — = + Mais l'équation non homogène 7 — a | — — —

n’est exacte n1 rigoureusement n1 approximativement ; et, d’ailleurs, on n’en tirerait pas 7 — trs Va

(4, Bertrand.)

415. Pour avoir la variation séculaire de l’excentricité e, il faudra substi-

ne 3 2 I 2 tuer dans js expressions irrationnelles / sel ( — 2) de la valeur de de l'expression de r en #, et ne retenir dans le développement que les ter-

mes constants. Or, en ne conservant que les secondes dimensions de e, on a, par l'art. 24, |

PR UN E, — ecosu + T— Leos au |, d’où l’on tire

= = - (1 +ecosu + e* cos 24)

\/: ER I + eCOS U — 2 ER

r a Va À À 2 1 \° 3 Lè ee = 1 + ÿecosu +Te de COS 24 a°

par conséquent, en rejetant les cos w et cos 24 ("), on aura

= d de=—ryg(i—e#)eT.

Si l’on substitue pour Va a sa valeur \/A A—iT Ve o, et qu’ on négligé d’abord les e*, on aura l’équation

e(VA er Ve) 2 reed,

E(1—ery/s).

FE étant la valeur de e lorsque t — 0.

dont l'intégrale donne

Mais comme l'existence d’un milieu résistant, et, à plus forte raison, la loi de la densité de ce milieu, ne sont qu’hypothétiques, les résultats précédents ne doivent être regardés que comme une application de nos formules sénérales des variations séculaires.

(”) Qui sont des termes périodiques. (J. Bertrand.)

S IV. — Du mouvement autour du centre commun de gravité de plusieurs

COrps qui s’attirent mutuellement.

116. Nous avons démontré dans l’art. 6 de la troisième section que, dans tout système libre, les équations du mouvement des corps du système sont les mêmes, soit qu’on les rapporte au centre de gravité du système, ou à un point quelconque fixe hors du système. Ainsi, dans les formules de l’art. 86, on pourra établir dans le centre de gravité de tous les corps m, m',m”,ete., l’origine de leurs coordonnées x, y, 3, æ’, y’, etc., et, par les propriétés du centre de gravité, on aura les trois équations :

mx + m'x' + m’x/+ mx" + ... —0o, 1 2/4 d 14 my + m'y'+ m/y"+ m'y" +... —o, D mem 2 nn 2 ms Le, +0,

lesquelles donnent tout de suite les valeurs des coordonnées de m, par celles des autres corps m’, m”, etc.

Considérons en particulier le mouvement du corps m” autour du centre commun de gravité. Comme ses coordonnées +”, y”, z’ sont indépendantes, on pourra, dans les formules de l’article cité, réduire les quantités F et V aux termes multipliés par m”, qui sont les seuls qui contiennent les variables x’, Y',2,et diviser ensuite ces quantités par m'; ainsi dans l’équation générale on pourra substituer T” et V” à la place de T et V, en faisant

QU dx"? + dy" + dz'?

Sa Sr.

2 di?

| / 1 [ V'=mfR'dp + m°[R' dp + m'[R dp + ..., et l’on aura pour chacune des trois coordonnées de l'orbite de m° autour du

centre commun de gravité, une équation de la forme