CHAPITRE PREMIER

FORMULES GÉNÉRALES POUR LA VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES, DANS LE MOUVE-— MENT D'UN SYSTÈME QUELCONQUE DE CORPS, PRODUITE PAR DES IMPULSIOUNS FINIES ET

INSTANTANÉES, OUÙU PAR DES IMPULSIONS INFINIMENT PETITES ET CONTINUELLES.

5. En nommant £, +}, ®, etc., les variables indépendantes auxquelles on aura réduit toutes les coordonnées x, y, z des corps du système, par le moyen des équations de condition dépendantes de la liaison des corps, on

pourra toujours exprimer chaque constante par une fonction donnée de £, 4,

à | ?, etc., et des différentielles —, =, +, etc. Or, les variables finies £, 4, ®, etc., ne dépendent que de la position instantanée des corps dans l’espace,

et ne peuvent, par conséquent, subir aucun changement par les impulsions

, | ER | rs dE dd do étrangères ; il uw’y aura donc que les différentielles Nr er. dont les

valeurs pourront être changées par ces impulsions. : È e à 1: d ° 8. d y Û Supposons qu'elles deviennent + £, a + à), + + ®, etc., les ac-

croissements 2 1e o, etc., seront dus aux impulsions ; ce seront les vitesses, suivant les coordonnées £, 4, ®, etc., que les impulsions produiraient dans le premier instant, et qu’il s’agit de déterminer.

Soient P, Q, R, ete., les forces d’impulsion appliquées à chaque corps m du système, suivant les directions des lignes p, q, r, etc., et tendantes à les diminuer, et soient æ, y, z les vitesses initiales qui en résulteraient dans ce corps, suivant les directions de ses coordonnées rectangles x, y, z, et dans le sens où ces coordonnées augmentent, si tout le système était en repos ;

on aura, par l'art. #À de la sect. Îf, l'équation S(xdx + yÈy ie 20z)m — S(Pôp + Qôq+Rèr+...)—o,

laquelle doit se vérifier indépendamment des variations d£, à, d@, etce., de: chacune des variables indépendantes. Il n’y aura done qu’à substituer dans cette équation les valeurs de x, y, z et de p, q, r, etc., en fonction de £, d, ®, etce., en remarquant que les vitesses x, y, z peuvent s'exprimer,

dx dy dz

comme toutes les vitesses, par —, Zi | Ê PAP VAR TER Ar

Par ces substitutions, on aura la transformée

S(xèx + yèy + 202)m = a0Ë + WON + Dog +...

et si l’on fait, comme dans l’art. 62 (section précédente),

0Q = — S(Pôp + Qôq + Rôr + ...), on aura les équations

us. 10 9a 0de

er à Da D

lesquelles seront en même nombre que les variables £, 4, @, etc. Or il est facile de voir que les quantités Z, W, &, etc., seront des fonctions

de £, À, 6, ete., et de leurs différentielles ce ) “e etc., et que ces dif-

férentielles ne seront autre chose que les vitesses initiales que nous avons désignées ci-dessus par #, À, ®, etc., et qu'on pourra, par conséquent,

déterminer par les équations précédentes.

dy dz

RTS la quantité

Comme l I = omme les quantités x, Y; z sont équiva ERLES à PR xx + yèy + 202 pourra aussi s'exprimer par

dx dx + dy0y + dadz dit et il suit de ce que nous avons démontré ci-dessus (art. 2), que si dans la formule dx? + dy° + dz° Sr

on 7. pour x, z leurs valeurs en £, 4, ®, etc., et qu’on y change

= en se Ÿ en 4, à en ®, on aura, par les différences partielles relatives à Ë, a, ?, etc. , - d'T d'T d'T EE = 9 = TT = 79" 9 dE dÿ do

et les équations pour déterminer #, d, ®, etc., seront

AT: -90 dT 0Q dT 0Q — = 9 °° 9