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ou l’on remarquera que ces inconnues n’y seront qu'au premier degré, puisqu’elles ne peuvent être qu'au second degré dans la quantité T. Ainsi l'effet des impulsions instantanées et finies P, Q, R, etc., consistera

dE d d Perd, Sn 2 . etc., des quantités Æ of, ®, etc.,

dans les expressions des constantes arbitraires du problème.

à augmenter les différentielles

6. Pour appliquer cette théorie au cas des impulsions très-petites et continuelles, on changera P, ©, À, etc., en Pdt, Qdt, R dt, etc., ce qui chan-

vera 2Q en dtiQ, et les quantités £, 4, @, etc., deviendront très-petites du premier ordre; les constantes arbitraires deviendront continuellement varia-

, 4 Ju dt‘ dt dt

dans les expressions de ces constantes; de sorte que, a étant une des constantes

bles, et les quantités £, d, ®, ete., seront les variations de » etC.,

du / do /

+ dE in devenues variables, on aura, en faisant T6 = V7 —=9®,et.,

da : da | da da = ne + Ne +

les variables finies £, , ®, etc., ne recevant aueun changement; et il n’v aura plus qu’à substituer pour £, 4, ©, ete., leurs valeurs tirées des équations données ci-dessus; mais, dans le cas présent, ces équations peuvent ètre mises sous une forme plus simple, par la considération suivante.

En regardant les variables £, L, @, etc., ainsi que les différentielles £”, J', ®’, etc., comme fonctions des constantes arbitraires a, b, ce, ete., et du temps £, et désignant par à leurs variations résultantes des variations de ces constantes, 1l est clair qu’on a

NP NS. CR Nr = De) EN À NT 9€ Er) O, Gr! G:, D Ge G ;. Ge ne É: Dal EEE A, | 0 ® ee, Ds. s

2. — ue” IT AdT | et comme les différences partielles HR: a etc., ne contiennent que les

premières dimensions de £, A, &, etc., il est facile de voir qu'elles peuvent

d'T T | Sr pi9: À TT etc., en regardant T comme fonction de £”, d”,

®’, etc. Ainsi, les équations dont il s’agit deviendront

se réduire à à.

TT 3 (2 Ë 2Q Û __ © dé, s 4T on

Rare Or ART dE "dd dd

dé, a oo ;

% Se

et l’on aura

d da = TA de + UN + 7er 00" + ne

où il faudra substituer les valeurs de 3£”, à’, d”, ete., tirées de ces équations. |

Si l’on change ensuite les différences partielles de Q relatives à £, 4, œ, etc., en différences partielles relatives aux constantes a, b, c, etc., on parviendra à des formules semblables à celles de l’art. 60 de la section pré-

Me leseuélles Ra Pate ce ente, als esque es 1eS COefTiIcie ARE 75 * e C., auron à Proprie €

d’être indépendants du temps t, mais la démonstration directe de cette propriété singulière devient très-difficile, comme on peut le voir dans le beau Mémoire de M. Poisson sur ce sujet, inséré dans le tome VII du Journal de l'École Polytechnique, et l'on ne se serait peut-être jamais avisé de la chercher si l’on n'avait été assuré d’avance de la vérité de ce théorème (*.

Comme j'ai déjà donné, dans la sect. V, une théorie complète des variations des constantes arbitraires, je ne m'y arréterai plus ici; j’ajouterai seulement deux remarques sur les formules de cette théorie.

7. La première remarque est relative à la formule générale de l’art. 41 de la section citée, laquelle, en faisant, pour simplifier,

d'T dT nes d'T = 1", = fe qi = Tes se réduit à

A.Qdt — AEÎT' + ANST? + AQIT 7 + ...

— DEAT'— SJATT— SEAT” — ...,

où la caractéristique à indique les variations dues à toutes les constantes a, b, c, etc., devenues variables, mais où la caractéristique À peut se rapporter indifféremment à chacune de ces constantes. En la rapportant d’abord à une quelconque de ces constantes, comme «, et développant les variations indi-

oo qq

: , dQa dQ Sn nre (*) Voyezla Note VIT à la fin du I volume. Les coefficients de mn? jp? etc. sont précisément les da expressions considérées dans cette Note. On prouve facilement qu'ils sont constants, mais Lagrange

a raison de faire observer qu’on se serait difficilement avisé de les chercher à priori. (7. Bertrand.)

quées par ?, on a tout de suite la formule

dt — [a, bidb +[a,c]de+T{a,kl]dk +...,

dans laquelle

L b dE d'T" dy dT’" do dT" CAR murmure dT'd£ dT"dÿ dI"de

nr re | __ dt dl" dbdT" dedT"

ele dd dT'dt dl"d) dT"do a a ua de O2

et où les valeurs des coefficients [ a, b], [a&, c], ete., deviennent indépendantes de #, après la substitution des valeurs de £, 4, ®, etc., en a, b, c, etc., et L.

On a ainsi les formules auxquelles je suis parvenu d’abord dans le Mémoire sur la variation des constantes arbitraires dans les problèmes de Mécanique. M. Poisson a trouvé ensuite des formules plus directes, qui reviennent au même que celles que j'ai données dans l’art. 48 de la sect. V; mais, quoique celles-ci paraissent plus simples, parce qu’elles donnent immédiatement les valeurs des variations da, db, etc., au lieu qu’il faut les déduire des autres par l'élimination, cet avantage n’est qu'apparent, comme nous l'avons déjà remarqué plus haut (art. 66, sect. VIE); on peut même dire que dans plusieurs occasions l'avantage sera entièrement du côté des formules précédentes, parce qu’elles ne demandent aucune réduction préalable et qu’elles peuvent s’appliquer immédiatement, toutes les fois qu’on a l'expression de chaque variable en temps, dans laquelle les constantes arbitraires entrent d’une manière quel-

conque ; c'est par cette raison que J'ai cru devoir les redonner ici.

8. La seconde remarque porte sur l’étude qu’on peut donner à ces formules, relativement à la nature des forces perturbatrices. Nous avons toujours supposé que ces forces étaient telles, qu'étant multipliées par les éléments de leur direction, la somme devenait intégrable, et pouvait être

Mc. anal, TI. 21

exprimée par une fonction des variables indépendantes que nous avons désignée par — Q. |

Mais nous avons déjà remarqué dans l’art. 62 de ls section précédente, que, quelles que soient les forces perturbatrices KR, Q, P, etc., il suffit de faire

— 0 = Rôr + Qôq + Pôp + ..

en rapportant les différences partielles relatives à la caractéristique à, aux seules variables r, q, p, etc.

En général, il n’est pas nécessaire, pour l’exactitude des formules des

variations, que les forces perturbatrices que nous avons représentées par les

d Nu dA différences partielles dd de

tielles d’une même quantité. On peut supposer que ces forces soient expri-

» etc., soient en effet des différences par-

mées par des quantités quelconques, que nous désignerons par @’, Q”, Q7, etc.; alors, au lieu de A.Q, dans les formules de l’art. 44 de la sect. V,

Q'AË + OA + Q7AG +..., et l’équation de l’article précédent deviendra (Q'AE + Q'AŸ + Q"AP +...) dt = AËEËT' + ANSTY + AGIT" + — DEAT — SAT — SEAT — ...; d'ou, en rapportant la caractéristique A à la constante arbitraire «, on aura également y dE n dY 7 do ù (or É+e+a te dt —|a, b|db + [a, c|de + a, kjdk SUR en regardant les variables £, 4, ©, etc., comme fonctions de a, b, c, k, etc.

La même chose aura lieu pour les formules des art. 44 et 18 de la même section V, en mettant partout

Q'dE + Q’d\ + 04e +.

partielles de Q relatives aux constantes «, £,7y, etc., À, mu, v, etc., où @, b, c, À, etc.

9. Enfin, on peut faire abstraction des forces perturbatrices et ne considérer la fonction — Q que comme une quantité qui, étant ajoutée à la fonction V due aux forces principales, produit les variations des constantes arbitraires dans les mouvements qui résultent de ces forces. Et comme dans le calcul de ces variations il n’entre que les différences partielles de Q relatives aux variables indépendantes £, 4, ®, etc., il n’est pas nécessaire que la différentielle dQ soit une différentielle exacte, 1l suffit que les différentielles qu'elle contient soient elles-mêmes des différentielles exactes dont on puisse avoir les différences partielles par rapport aux variables £, A, ©, etc.

Cette extension de nos formules. que nous avions déjà annoncée dans l'Avertissement du tome I”, peut être utile dans plusieurs problèmes où les forces perturbatrices ne seraient pas seulement fonctions des variables indé-

< NO Ee d£e dd d pendantes £, d, o; etc., mais aussi de leurs différentielles D # L etc.,

et du temps t; par exemple, si, après avoir résolu un problème de Mécanique dans le vide, on voulait avoir égard à la résistance d’un milieu, comme nous l’avons fait, à l’égard des planètes, dans la section précédente.

Mais la même extension ne peut pas avoir lieu à égard des forces prineipales qui entrent dans les équations différentielles dont l'intégration introduit les constantes arbitraires. Ces forces, multipliées chacune par l'élément de sa direction, doivent toujours former une quantité intégrale que nous avons désignée par V (art. 9, seet. IV), et qui doit être une fonction des variables indépendantes sans leurs différentielles ; autrement la réduction de ces équations à la forme de l’art. 2 de lasect. V n'aurait pas lieu, et l’analyse du $ : de cette même section cesserait d’être exacte. Rien n'empêche cependant que les expressions de ces forces ne contiennent le temps f, car, comme la quantité V disparaît dans les différentielles partielles de Z='T — V, relatives à £’,Nd”, © ,etc., le résultat final de l’art. 7 aura toujours lieu, parce qu'il se trouve indépendant de V. Mais il cesserait d’avoir lieu si cette quantité était fonction de £, 4, ®, ete., et de £”, 4”, @', ete.

Nous allons maintenant résoudre quelques problèmes particuliers.