LL

ds EE V dx? + dy? + ER dE dt ?

donc

et, par conséquent, | | Ve 4/2 (H — V);

de sorte que V étant une fonction finie des coordonnées, la vitesse ne dépendra que de la position du corps dans l’espace. |

Si le corps n’est animé par aucune force accélératrice, on a V — 0, et la vitesse devient constante. Dans ce cas, comme nous avons démontré en général que la formule /uwds est toujours un maximum où un minimum dans des limites données (sect. IT, art. 39), la quantité fds, ou s, c'est-à-dire la longueur de la courbe décrite par le corps, sera elle-même un maximum ou un ruünimum; et il est évident qu'elle ne peut être qu’un rurimum (”), parce que le maximum n'a point lieu. D'où résulte le théorème connu, qu’un COrps projeté sur une surface quelconque y décrit toujours la ligne la plus courte entre des points donnés.

43. Mais, dans la solution de ces problèmes, il est souvent plus simple de regarder toutes les coordonnées comme des variables indépendantes, et d'employer les équations de la surface ou de la ligne donnée comme des équations de condition qui, étant représentées par L = 0, M — 0, donneront simplement, pour chaque variable, les termes AÔT,, 40 M à ajouter à 5 V, les coefficients À, & étant indéternmninés et devant être éliminés.

Or, de ce que nous avons démontré dans l’art. à de la seet. IV de la

F° partie, il s'ensuit que chaque terme, comme A51,, peut représenter le

(*) Ceite manière de raisonner n'est pas admissible, car on doit aussi considérer le cas où il n’y

aurait ni maximum ni minimum. On peut démontrer directement qu'entre deux points infiniment

voisins il y a toujours minimum. Voyez une Note à la fin du volume. (J, Bertrand.)

moment d’une force égale à

fdE\? /di\? /dL\?

Va) + Gr) + (a) et agissant perpendiculairement à la surface dont l'équation est dE, — o ; par conséquent, cette force ne pourra être que celle qui vient de la résistance que la surface oppose au corps, et qui est égale à la PFÉSADE que le corps exerce sur la surface.

Aïnsi le coefficient À servira à déterminer la pression du corps sur la surface donnée par l'équation L — o ; etsi le corps est mü sur une ligne donnée, en la regardant comme produite par l'intersection de deux surfaces représentées par les équations L — 0, M — o, les deux coefficients À et « serviront à déterminer les pressions que le corps exerce sur cette ligne, perpendiculairement aux deux surfaces.

14. En général, on peut assimiler le terme AÔL au terme à V ; et comme IV — Rôr + Qÿg+etc., R, Q, etc., étant les forces qui agissent suivant les lignes r, q, etc., et qui tendent à les raccourair ; si L est fonction des coor-

données £, À, ©, on aura

2 | iL — TE + TG Y ee 2 0®; dl .dL .dL e | 7. | et les termes AE” A a” À = 40 exprimeront les forces qui résultent de la

résistance de la surface dont l'équation L — 0, suivant les directions des coordonnées (*) £, +, ®, et qui tendent à dimmuer ces coordonnées. Si l’équation de la surface était £ — a, a étant une constante, ce qu’on peut toujours obtenir par le choix des coordonnées, on aurait oL oL oL

1) = ——— er =" —— = Q

É £ dE ) a ® } et l'équation relative à £ (art. 3) serait

d OT ÔT à OV Ode dE id —= O,

(*) Nous avons remarqué plusieurs fois dans la ["* partie que ces assertions sont trop absolues. Voyez les notes des pages 33, 39, 90 et 104, tome I. Il y a lieu de faire ici une observation analogue,

{7, Bertrand.)

les équations relatives aux deux autres variables ne recevant aucun changement. Ainsi on aura tout de suite la pression À du corps sur la surface, en faisant, dans la valeur de À, OT OV RE JE Jde dE £ = à et d£ = 0:

Comme l'application de nos formules générales n’est sujette à aucune difficulté, nous nous contenterons de donner un ou deux exemples.

SI. — Des oscillations d’un pendule simple de longueur donnée.

45. Nous prendrons l’origine des coordonnées dans le point de suspension du pendule, et nous supposerons les ordonnées z verticales et dirigées de haut en bas; mais à la place des coordonnées rectangles x, y, 3, nous prendrons un rayon r qui sera la longueur du pendule avec deux angles 4 et ®, dont le premier sera l’inclinaison du pendule à la verticale, et le second sera l’angle que le pendule décrit en tournant autour de la verticale. On

aura aInsi

x —rsindcos®, Y—rsindsin?g, z—rcos4\, et la quantité T deviendra, à cause de r constant,

| 2 di?

Il est bon d’observer que l’angle que nous employons ici est le complément à go degrés de l'angle 4 que nous avons employé jusqu'ici, et qui représentait l’inclinaison du rayon r sur le plan horizontal, au lieu qu'ici il représente son inclinaison à la verticale.

La force R tendant au centre des rayons r sera nulle; la force Q pourra être prise pour la gravité, que nous désignerons par g; et, comme elle doit agir parallèlement à l’ordonnée z, et pour augmenter cette ordonnée, au

lieu que la force Q est censée agir pour diminuer la distance q, il faudra faire dqg = — dz = — d.r cos À,

en supposant le centre de cette force éloigné à l'infini. Ainsi on aura sim-

plement

OV — — gô.r cos À — gr sin 04.

d?4 sin Ÿ cosY do? D … RE — — + ?sm4— o,

d’.(smddo) dt?

La seconde de ces équations a pour intégrale

sin nd

dt. = C,

et la valeur de do tirée de celle-ci étant substituée dans la première, elle devient db C'est dé sind*

— Sn — 0

+?snd—o, 2: r SV: . | 1° 7 ; dont l'intégrale, après l’avoir multipliée par 2 d'A}, est