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s | EPS sin (” LÉ 2? cos Ÿ — É,

C et E étant deux constantes qui dépendent de l’état initial. Cette dernière intégrale donne tout de suite

joe sin Ÿ. du

V(r ue E cosy) sin d?— C?

| " . Cdt | et comme on a par la première do — nd on aura

Cdt sin Ÿ VE = cos) sin d° — C°

équations séparées, mais dont les seconds membres ne sont intégrables Los

do —=

par la rectification des sections coniques.

L'équation en t et A donnera le temps que le pendule emploie à parcourir verticalement l'angle 4; et l'équation en 9 et À donnera la courbe décrite

Méc: anal À. 22

par le corps qui forme le pendule, laquelle sera une espèce de spirale sphérique. Si l’on fait r sin — p, on aura une équation qui sera celle de la projection de cette spirale sur le plan horizontal, entre le rayon vecteur p et

l’angle ® décrit par ce rayon autour de la verticale.

56. Si l’on égale à zéro la quantité sous le signe, on a l'équation 29 : (E Hs Fe cos + | sin A? — C?= 0,

laquelle donnera les plus grandes et les plus petites valeurs de l'angle d'inclinaison 4. Cette équation, à cause de sin? — 1 — cos4*?, est du troisième degré, relativement à l’inconnue cos; elle aura donc une racine réelle ; mais il est facile de voir, par la nature du problème, qu'il ne peut y avoir un maximum de À, sans qu'il y ait en même temps un minimum, et vice versä; d'où il suit que les trois racines seront nécessairement réelles (”), dont deux donneront un maximum et la troisième un münimum.

Désignons par « et 8 la plus grande et la plus petite valeur de «!, on aura les deux équations

E + “ cos x) sina?— = 0,

3 2€ Le E + — côs f ) sin ff — Us 0,

lesquelles donnent

FE — 2 g(cos à sin æ°— cos f sin {?)

r(sin É?— sin &?)

2 — 28 sin &° sin G? (cos — cosf) bé: r'(sin 6° — sin &°) .

expressions qui se réduisent à celles-ci, pins simples,

F 2g(1— cos 2°— cos 5?— cos à cos fi) fus .

r (cos o + cos)

nn Cia mn ge ao so 2gsina*sinf r (cos & + cosf)

2m D is de Ma à Da ae ro 0 + nm 0 RE 8 0 D 7 0 A M ON D TP SEA D D A

(*) Cette assertion est inexacte; le polynôme en cos ne doit jamais changer de signe, €t, par

conséquent, cos Ÿ doit toujours être compris entre les deux mêmes racines. Il en résulte qu'à l'une

des racines ne correspond ni maximum ni minimum. (J. Bertrand.)

SECONDE PARTIE. —- LA DYNAMIQUE. | 171 On substituera ces valeurs dans l'équation en cos 4, laquelle, en changeant les signes, est de la forme

“8 cos d° + E cos N° — —$ cos 4 + C— E —o,

et, par la nature des équations, son premier membre deviendra

(cos À — cos x) (cos L — cos 8) {cos + COS & + COS B + an

cette quantité, prise avec le signe —, sera identique avec la quantité qui est sous le signe dans les deux dernières équations de l’article précédent. Or on a, en réduisant,

Er I + COS à COS COS & + COS £ + — — nue 28 cos à + cos

donc la quantité dont il s’agit sera

1 + cos & cos cos æ + cosf /.

— “(cos 4 — cos «&) (cos À — cos 8) ( cos À Rs