T 37 DT
répondra à 5 — >; — —, etc., 7 étant l’angle de deux droits. On aura
ainsi
COS À — cos
(cos B — cos x) cos o”, cos À — cos 8 — (cos x — cos B) sin s*,
1 + cos à cos 1 + 2 cos & cos (2 +- cos «&°? sin 6° + cos É? cos 0° cos « + cos cos & + cos Ê ?
COS À + d’ailleurs on a sin dd — — d.cos À — 2 (cos B — cos «) sin o cos do;
donc faisant ces substitutions dans l’équation différentielle en £ et À de l’ar-
ticle précédent, elle deviendra rie 2 do Vcos & + cos G |
DR D To pv 2 L] \V/ 28 (1 + 2 cos « cos Ê + cos &? sin 6? + cos 5? cos 4°) J°
et faisant, pour abréger,
Bee: | cos x + cos Ê 2 + 4cosa cos Ë + cos &° + cos 5°?
2 — Vi+ Æ (cos — COS x) COS 27,
r 22d0o de ESS
elle se réduira à
Ensuite on aura
Cdt __ /2g sinasinf d F sind? F Vecos a —— cos (5 sin (” . 4 V2 sin à sin fi | do . do | LL Vcos «& + cosË (1 + cosd) 2 (1 — cosh) Z
où il faudra substituer pour cos sa valeur en cos 25,
cos À — < (cos &« + cos B) + = (cos B — cos a?) cos 20...
. , , , ° . \ sin En mteégrant ces équations depuis ets) jusqu'à F = —-) On aura le temps L 2
et l’angle de rotation compris entre le point le plus bas où l’inelinaison du pendule à la verticale est 6, et le point le plus haut où l’inclinaison est «; mais ces intégrations dépendent en général de la rectification des sections coniques. Si la valeur de @ comprise entre ces deux limites de s est commensurable avec 7, la spirale décrite par le pendule reviendra sur elle-même après un certain nombre de spires; mais si elle est incommensurable, la spirale fera une infinité de révolutions différentes.
18. Lorsque le pendule ne fera, en hauteur, que des excursions assez petites, de manière que les angles « et £ diffèrent peu entre eux, la différence COSf — cos « sera, elle-même, assez petite pour que le radical x puisse se réduire en une série convergente.
Supposons
2 tang y
x (cos B — cos à) — sin 27 — une
la fonction > deviendra È — cosy V1 + tang y” + 2 tang y Cos 25.
La fonction irrationnelle
(1 tang y* + 2tangy cos 20) * peut se réduire en une série de la forme À + Bcos2o + Ccos4o + D cos6c + ...,
dans laquelle on aura, en faisant dans les dernières formules de l’art. 98 de la section précédente,
/ 7 1 ; 1.3 r. ‘1:9.9 ee ST Œ EI a = — tan DD Se N'a n — DR ? ? : 0 2” 2.4 : 2.4.6 d
— 1 + n° tang y + n° tang y + n° tang y + ..., B — — 2 (tangy + nn'tangy+ n'n’tangy*+...,
C = 2{(n'tangy*+ nn"tangy'+ n°n"tangy + ...,
On aura donc, en substituant,
dt = \/1 22 (A + Beos 25 + Geos os +...) de,
g cosy et, en intégrant de manière que l'intégrale commence où 5 — 0, | r 2% be /! — (Ac + <Bsin 26 + <CsinAo+...).
g cosy 2
En faisant o — -; on aura le temps depuis le point le plus haut jusqu'au - |
point le plus bas, lequel étant nommé Ÿ, on aura
Fr % T=A7/! ‘ | g, COSY
Si l’on dénote par T”, T”, ete., les valeurs de # qui répondent à
on aura
OUR. pie De
d'où l’on voit que le pendule remontera toujours à la même hauteur au bout d’un temps égal à 2T, qui sera par conséquent en temps la durée
d'une oscillation.
19. On peut avoir de la même manière l’angle @ correspondant; pour
cela, on fera cos B — cos «
——— = sin 2 2 + cos a + cosÜ ; #3 cos Ü — cos a :
2, = sin 2 y, 2 — cos « — cos É et l’on aura 1 … 2 1 cod (2 cosa + cos) cos u? (1 + tangp® + 2 tangucos20)” L . | 2 1 —cosŸ (2 — cos a — cosB) cos ° (1 + tangv? — 2 tangvcos 25)
Si dans les mêmes formules de l’art. 98 (sect. VIT) on fait » — 1,ona
D — T1], n —TI, ; donc (1 + tang uw” + 2 tangu cos 20)" — (À) + (B) cos 2s + (G) cos 4o + (D) cos 65 + ..., | où VIP | à Ge | 6 — É (A) = 1 + tang w° + tang w°+ tang u° +... — un = — y? Ê | Re ui (B) — Hot + tang u° + tangu* + ...) = pose 2 tang L°
(G) — 2 tang u° (1 + tang u° + tang u° + .) =
1 — tang p°”
SJ QT
Ainsi l’on aura
(1 + tang n° + 9 tang u cos 2 5)" —
s pr?
1—tangt
x (1 — 2 tang w cos 20 + 2 tang 4° COS 4 o — 2 tang u° cos 6o + ...). Si l'on multiplie cette série par la suivante, em PTT ie produit sera de nouveau de la forme
A+ B'cos 2 o + OC’ cos 4 o + ..., et l’on aura | a Az Btngg + Ctangp+ Danget +...
| 1 — tang” On aura ainsi
(1+ cosd) 2 +) (2 + cos & + cos f) cos pi? Cos y + (A + B'cos 25 — C'cos Lo + run
On trouvera de même
1 2 (1— cosd)E (2— cos à — cos É) cos v? cosy
X (A7 + B'cos 2 x + C’cos 4 o + ...), où l’on aura, en changeant # en — »,
A’ À + Biang y + Ciang v° + D'iang Dress . 1 — tang v°
Faisant ces substitutions dans la valeur de do de l’art. 47, et intégrant
de manière que & soit — 0 lorsque & — 0, on aura
2 As + B'cos 2 5 + LC’ cos 4 5 +...
k V2 sin a sin É {2 + cos & + cos É) cos u? cos y Vcos + cos f D RS SO (2 — cos à — cos fi) cos v? cos 7 |
T4 L | , T L-] | 2 En faisant o — -; on aura l'angle compris entre les plans qui passent par À |
la verticale et par les points le plus bas et le plus haut de la courbe décrite
par le pendule; et cet angle étant nommé ©, on aura
Des x A'kyÿ2sino sin£ .… Vcos a + cos f (2 + cos & + cos É) cos pi? COS 7 x A’ k Vo sin & sin (5
Éd | =— :
Vcos à + cos f$ (2 — cos « — cos «) cos 1? cosy
Comme tous les points les plus hauts, ou les sommets de la courbe, ré-
< Fm 3% OT , ; pondent à s—-; —, —, etc., si l'on dénote par ®”, ®”, etc., les valeurs
37 DT de ® pour s — —; —; etc., on aura 2 2 ;
Ainsi l'angle compris entre deux sommets consécutifs, et répondant à une oscillation entière du pendule, sera égal à 2®.
20. En supposant les angles « et 5 très-petits du premier ordre, la quantité cos B — cos « sera très-petite du second, par conséquent l'angle y sera aussi très-petit du second ordre; donc, en ne négligeant que les quantités très-petites du quatrième ordre, on aura
Ass COS y — 1;
T TE V cos à + cos = DT Es 9 g 2 + 4 cos & eos Ê + cos &? + cos G? 7
et 2 T sera, aux quantités du quatrième ordre près, le temps de l’oscillation
donc
entière.
Si l’on néglige les quantités du second ordre, cette expression se réduit
à 7 V =? c'est l'expression connue pour la durée des oscillations très-petites
d’un pendule dont la longueur est r, et où l’on peut faire g — 1; mais l’analyse précédente fait voir que cette durée est la même, quelles que soient les oscillations, soit qu’elles se fassent dans un plan vertical, soit que le pendule ait en même temps un mouvement de rotation autour de la verticale.
En conservant les quantités du second ordre, on peut simplifier la formule précédente, en mettant pour cos x et cos 8 leurs valeurs approchées,
; “ ge ES
au quatrième ordre près, 1— —; 1——; et en négligeant toujours les 2 2 .
termes du quatrième ordre, on aura pour la durée des oscillations très-
petites, au quatrième ordre près, l'expression
F Fe Cu
21. Lorsque l'angle B, qui répond au point le plus bas, est nul, le pendule reprend toujours la situation verticale, et les oscillations se font dans le plan vertical; car, en faisant 8 — o, on voit, par la formule de l’art. 5, que l’angle ? est nul : c’est le cas que l’on considère ordinairement, et qui a heu toutes les fois qu'après avoir éloigné le pendule de la verticale par l'angle x, on le laisse retomber sans lui donner aucune impulsion; mais, pour peu que le pendule recoive une impulsion dans une direction qui ne rencontre pas la verticale, il fera des oscillations en forme de mouvement conique, et l’anole £ ne sera pas nul.
Dans ce cas, si l’on suppose aussi que les angles « et 8 soient très-petits, et qu'on néglige dans une première approximation les quantités très-petites du second ordre, on aura
k —;{, y: —= ©, At; B=—=0, CG == 0:
on | : / | H Le U = 0, SIN 29 = ——— > 5 A1, A = ——, — cosy; 2 1 tang y
donc
et 2% sera l'angle à la verticale compris entre deux sommets consécutifs de la courbe. Done, si le rapport de «8 à «°*+ ff? est rationnel, l’angle 2 & aura un rapport de nombre à nombre à l'angle 7 de deux droits, et la courbe décrite par le pendule ne sera formée que d’un certain nombre de
spires qui reviendront les mêmes; dans le cas contraire, la courbe sera une
(*) Cette formule est inexacte. M. Bravais, qui m'a fait remarquer cette inadvertance de Lagrange, m'a remis le calcul rectifié, que nous reproduisons à la fin du volume. (J. Bertrand.)
Méc, anal. TI. 23
espèce de spirale continue. Mais ces conclusions ne sont qu'approchées, et pour avoir des résultats plus exacts, 1l faudra pousser l’approximation plus loin, au moyen des séries que nous avons données.
Ce problème a été résolu anciennement par Clairaut, dans les Mémoires de l'Académie des Sciences, de l'année 1735, mais d'une manière moins complète, et les résultats approchés que nous venons de trouver s'accordent avec les siens, en faisant $ — o dans l’expression de T, et 5 — «x dans celle de ®.
2%. Les formules précédentes ont lieu tant que langle « diffère de l’angle B, parce que, quelque-petite que soit leur différence, il y a toujours un maximum et un murimum dans les excursions verticales du pendule; mais, si l’on a rigoureusement à — 3, il n'y a plus de maximum m1 de minimuin, le pendule forme toujours le même angle « avec la verticale, et, par conséquent, il décrira, dans son mouvement, un cône à base cireulaire.
Cette supposition est possible, parce qu'alors (art. 46 et 17) la quantité qui est sous le radical, dans la valeur de dt, a deux facteurs égaux, cos A — cos &; de sorte qüe, par la théorie exposée dans lart. 83 de la section précédente, on pourra (*) toujours faire eos | — cos«; c'est le cas des oscillations coniques qu'Huyghens a considérées le premier.
Dans ce cas, l'équation
€ dt CE.
