A CAGE

Or on a déià, par la nature des quantités £, n, (art. 5), En + = a + + cr.

Enfin, on a aussi (art. 14), en mettant pdt, gdt, rdt au lieu de dP, dQ, dR, et faisant a, b, c constants; dE + dr + d£° | ne. | . | Hs ER D (og — br) + (ar — cp} + (bp — ag)".

Ainsi voilà trois équations d’où l’on pourra tirer les valeurs de £, #, €, moyennant une seule intégration. | Ensuite, si l’on voulait connaître séparément les valeurs de £”, »’, €”,

£" etc, il n’y aurait qu’à supposer dans les expressions générales de £, n, € lies constantes

di, 00, C0 ou 0,b= tt 0 aus o, = Ch

Supposons, pour abréger,

d'\ dT

LS pe ; dp dq

M— a+ b+ 6? N = (eq — br) + (ar — cp} + (bp — ag)”, on aura donc à résoudre ces trois équations, LE + mn+nl=L, ge + n + C—= M,

dE+ dr + de

di = N,

dans lesquelles M est une constante donnée, L, N sont supposées connues en fonction de t, et /, m, n sont des constantes arbitraires.

J’observe d’abord que si / et m étaient nulles à la fois, la première équa-

: L NUE | | tion donnerait ( — 3 et cette valeur étant substituée dans les deux autres, on aurait

L° dE? a dL?

Ep = Ne dé + dr EN

DCR

di” 7 mdr 4 e \ s \ , . : : F è . .

équations très-faciles à intégrer, en faisant £ — p cos 0, n — psin0, ce qui les change en ces deux-ci,

É) 2 702 9 I 2 L° P d®+ de … dL p° = —=— M ere dt? Ve N n° dé’

dont la première donnera la valeur de », et la seconde donnera l'angle à par l’intégration de cette formule |

He 7 RS

Supposons maintenant que / et 77 ne soient pas nulles, ét voyons eom-

Méc. anal, TI. 29

ment on peut réduire-ce cas au précédent. Il est clair que si l’on fait

LE + mn=xÿl+m, mé—m=yVl+m, on aura également

E? + 2 + y et dé + dr = dx* + dy°; ainsi les équations proposées se réduiront d’abord à cette forme.

CAN IUE + mm +nC= EL, LR = M,

dx° + dy° + dé 3 N RS

Si l’on fait ensuite x VE + D + nC— z WE + m+n, Rx — CVE UE u\/P + M4 nr, on aura encore + Cut et dx + dC= dr + du;

done on aura ees transformées,

ZE + mi+ nr = L, + y +2 = M, du + dy + de N —————"°{ TE et IN CE à $ o- « A | # qui sont, comme l’on voit. entièrement semblables à celles que nous venons de résoudre ci-dessus ; en sorte qu’on aura pour &, y, z les mêmes expres- 9 27 3 sions que nous avons trouvées pour £,", (, en y changeant seulement # en VE + m° + n°. | Ces valeurs étant connues, on aura les valeurs générales de £, n, Ü par les. formules. | £ [x + my - mx — ly 2. 1Z-— U VE + m° re mm Le TE 0 2 ———— 06:

VERTE VE + m° VE mn

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE: Su

51. Telle est, si je ne me trompe, la solution la plus générale, et en même temps la plus simple qu'on puisse donner du fameux problème du mouvement de rotation des corps libres ; elle est analogue à celle que j'ai donnée dans les Mémoires de l Académie de Berlin pour 1773, mais elle est en même temps plus directe et plus simple à quelques égards. Dans celle-là, je suis parti de trois équations intégrales qui répondent aux équations (D) de l’art. 29 ci-dessus, équations qui n'avaient été fournies directement par le principe connu des aires et des moments, et auxquelles j'avais joint l’équation des forces vives T — h? (art. 24). Ici, j'ai déduit toute la solution des trois équations différentielles primitives, et je crois avoir mis dans cette solution toute la clarté, et (si j'ose le dire) toute l'élégance dont elle est susceptible; par cette raison, je me flatte qu'on ne me désapprouvera pas d'avoir traité de nouveau ce problème, quoiqu'il ne soit guère que de pure curiosité, surtout si, comme je n’en doute pas, il peut être de quelque utilité à l’avancement de l'Analyse.

Ce qu'il y a, ce me semble, de plus remarquable dans la solution précédente, c’est l'emploi qu’on y fait des quantités £”, n”, €”, £”, ete., sans connaître leurs valeurs, mais seulement les équations de condition auxquelles elles sont soumises, quantités qui disparaissent à la fin tout à fait du ealcul ; Je ne doute pas que ce genre d’analyse ne puisse aussi être utile dans d’autres OCCASIONS. | |

Au reste, si cette solution est un peu longue, on ne doit l’imputer qu'à la grande généralité qu’on y a voulu conserver; et l’on a pu remarquer deux moyens de la simplifier, l’un en supposant les constantes F, G, H nulles (art. 25), et l’autre en faisant nulles les constantes / et 7 (art. 40).

La première de ces deux suppositions avait toujours été regardée comme indispensable pour parvenir à une solution complète du problème, jusqu'à ce que je donnai, dans mon Mémoire de 1773, la manière de s’en passer ; cette supposition consiste, en effet, à prendre pour les axes des coordonnées a, b, c, des droites telles, que les sommes SabDm, S ac Dm, SbcDm soient nulles (art. 49); et Euler a démontré le premier que cela est toujours possible, quelle que soit la figure du corps, et que les axes, ainsi déterminés, sont des axes de rotation naturels, c’est-à-dire tels, que le corps peut tourner librement autour de chacun d'eux. Mais quoiqu’on puisse toujours trouver

des axes qui aient la propriété dont il s’agit, et que d’ailleurs la position des axes du corps soit arbitraire, il n’est pas indifférent d’avoir une solution tout

à fait directe et indépendante de ces considérations particulières.

La seconde des deux suppositions dont il s’agit dépend de la position des axes des coordonnées £, n, € dans l’espace, position qui, étant pareïllement arbitraire, peut toujours être supposée telle, que les constantes / et 7 deviennent nulles, comme on peut s’en convaincre directement, d’après les expressions générales de £, #, € que nous avons trouvées.

32. En supposant F, G, H nulles, on a, comme on l’a vu dans l’art. 26,

dE | d'T

AT DSP GG

Bg, Ur,

et ces valeurs étant substituées dans les trois équations différentielles (A), il vient celles-ci, |

FA ae um ren d.

C | À gs Prü=0o, dr+ —<— pqd&= 0,

B qr dt = dq

lesquelles s'accordent avec celles qu’Euler a employées dans la solution qu’il a donnée le premier de ce problème (voyez les Mémoires de l’Académie de Berlin pour 1758); pour s’en convaincre, il suffira d’observer que les constantes À, D, C (art. 26) ne sont autre chose que ce qu’Euler nomme les moments d'inertie du corps autour des axes des coordonnées a, b, €, et que les variables p, q, r dépendent du mouvement instantané et spontané de rotation, de manière que si l’on nomme &, 8, ‘y les angles que l’axe autour duquel le corps tourne spontanément à chaque instant, fait avec les axes des a, b, c, et p la vitesse angulaire de rotation autour de cet axe, on a (art. 29)

P = p Cos &, q = p eos, r = p COS y.

À l'égard des autres équations d’Euler, lesquelles servent à déterminer la position des axes du corps dans l’espace, elles se rapportent à nos équations (C) de l'art. 29. En effet, comme les neuf quantités £”, n’, (",£”, ete., ne sont autre chose que les coordonnées rectangles des trois points du corps, pris dans ses trois axes, à la distance 1 du centre (ce qui suit évidemment de ce que ces quantités résultent des trois £, n, {, en y faisant successive-

ment & — 1, b == 0, c — 0, ensuite a—=0,b—1, c — 0, et enfin a = 0, b—o,c— 1), il est clair que si l’on désigne, avec Euler, par /, m, n les compléments des angles d’inclinaison de ces axes sur le plan fixe des £ et », et par À, , v les angles que les projections des mêmes axes font avec l'axe fixe des £, on aura ces trois expressions,

€" — cos l, n —sinl sinmA, Z’ — sin /cos À, " ; | ; |

("= cosm, n’—sinmsins, £”— sInm cos w,

lil . 1 |

(= cosn, #”—sinn sinr, £”—sinn cosy;

et par le moyen de ces substitutions, on trouvera aisément les équations auxquelles Euler est parvenu par des considérations géométriques et trigonométriqu es.

33. Au reste, en adoptant à la fois les deux suppositions de F, G, nulles, et de /, m nulles aussi, on aura la solution la plus simple par les trois équations (D) de l’art. 29, en y substituant les valeurs de £”, £”, €” ét de P;gr,en@,4,0 (art. 7, 20); car on aura de cette manière ces trois équa-

tions du premier ordre,

sin © si dÙ + cos o du

A © Ste dt @ / cos © sin & db — sin odw Pr re cosCsiie, dt do + cos w dy | 5 — À COS ©.

lesquelles se réduisent évidemment à celles-c1 :

À do

ndt — Bd = — © 289?, | Cd.

ndt — Cdi — a.

Or, si l’on élimine déet dA}, en ajoutant ensemble ces trois équations, après les avoir multipliées respectivement par C — B, À — C, B — À, on aura

l'équation

AGIR RDA) mie À ET

) Lang o Sin & sin © ‘

laquelle se réduit à cette forme,

CO5 & 0) C(B—A) do = ne LE D?

sin Das oO) os A(C—B) tang ®

où les variables sont séparées. Le second membre de cette équation se change en

C(B— A)sino cos odo B(A—C)sin*o — À (OC —B) cos’ o

Qu encore en C(B—A) sin 29d0 2 AB—C(A+B) +C (B— À) cos 20?

donc, en intégrant logarithmiquement, et passant ensuite des logarithmes aux nombres, on aura

2 AB — C(A + B) + G(B— A) cos 29 —

sin?

L— cos 29. donc subst:

I + COS 20? | ten

K étant une constante arbitraire. Or tango — /

tuant la valeur précédente, on aura

=: (B — C) sin°w — K | 2B(C— A)sino + K’

tang ® —

et mettant cette valeur de tang ® dans les deux premières équations différentielles, on aura

Sin 6)

B(C— A)sin 25 + K A (B—C)sin*o— K K’ SE VE Re SE

sin W

sin? — K sin? © 2 R équations où les mdéterminées sont séparées et qui, étant intégrées, donneront £ et À en fonctions de w.

Cette solution revient à celle que d’Alembert a donnée dans le tome quatrième de ses Üpuscules.

34. Venons au second cas, où l’on suppose le corps grave suspendu par un point fixe, autour duquel il peut tourner en tout sens. En prenant ce point pour le centre du corps, c’est-à-dire pour l’origine commune des coordonnées Ë, 1, Ceta,b,c, et supposant les ordonnées Ÿ verticales et dirigées de haut en bas, on aura pour le mouvement de rotation du corps, les équations (B) de l’art. 23. Ces équations sont plus compliquées que celles du cas précédent , à raison des termes multipliés par les quantités SaDm, SbDm, ScDm, lesquelles ne sont plus nulles lorsque le centre du corps, dont la position est ici donnée, tombe hors de son centre de gravité: on peut néanmoins encore faire évanouir deux de ces quantités, en faisant passer par le centre de gravité l’un des axes des coordonnées à, b, c, dont la position dans le corps est arbitraire, ce qui simplifiera un peu les équations dont il s’agit. |

Supposons donc que l’axe des coordonnées c passe par le centre de gravité du corps; on aura alors, par les propriétés de ce centre,

SaDm—o, SbDm—o,

et si l'on nomme # la distance entre le centre du corps, qui est le point de suspension, et son centre de gravité, il est visible qu’on aura aussi

S(e— À) Dm—o; donc ScDm — SkDm = kSDm — km, en nommant 77 la masse du corps.

Faisant ces substitutions et mettant K pour fm, on aura les trois équations. suivantes :

dT dp dE AT go D SE De | 2 dr (E) Un. et dt dot dan oo Fi le an as CR ner |. dé ne dq dp D

dans lésquelles UT — = (Ap° + Bg°+ Cr?) — Fgr — Gpr — Hp.

35. On peut d'abord trouver deux intégrales de ces équations, en Îles ajoutant ensemble, après les avoir multipliées respectivement par p, q, r ou par C”, (”, C”; car, à cause de

ANA (é Ps C"q) dt, 1e (C"p . OA) dt, dE—=(C'q— E'p)dt (art. 15), on aura ainsi les sou équations AT d'T dT s 1j pd. d =t" qd. + rd. ea Kad" O,

/ dT # q If d' er C IT dT 4 d TT 11/4 Cd + + Cd D + Cd be, ae FAOt dont les intégrales sont

dT dT AT 4 porn. & BD D PRE NS

feth étant deux constantes arbitraires.

il paraît difficile de trouver d’autres intégrales, et par conséquent de résoudre le problème en général. Mais on y peut parvenir en supposant que la figure du corps soit assujettie à des conditions particulières.

Ainsi, en supposant F — 0, G = 0, H — o, et de plus À — B, on aura

LE at

SR et la troisième des équations (E) deviendra d. = — 0, dont l'intégrale est LEE const dr —

Ce cas est celui où l’axe des coordonnées c, c’est-à-dire la droite qui passe par le point de suspension et par le centre de gravité, est un axe naturel de rotation, et où les moments d'inertie autour des deux autres axes sont égaux (art. 82), ce qui a lieu en général dans tous les solides de révolution,

lorsque le point fixe est pris dans l’axe de révolution. La solution de ce cas est facile, d’après les trois intégrales qu’on vient de trouver (*).

Û ° A à - € 2 ‘ s “+ . Û , En eflet, puisque T — cn es — il est visible que ces trois Imté-

cé]

grales se réduiront à cette forme :

A (p° + 9°) + Cri — aRE" = af.

SSP EC re, TER,

f, À, n étant des constantes arbitraires.

Done, si l’on substitue pour €”, (”, €”, et pour p, q, r leur valeurs en fonctions de ?, 4, w (art. 7, 20), on aura ces trois équations,

(in 90 Coop

sin? wo dÜ À Te Er

do + cos wdŸ dt

+ Cn cos — h, lesquelles ont, comme l’on voit, l’avantage que les angles finis 4 et @ ne s'y trouvent pas.

La seconde donne d’abord

dY __h—Cn cos w

À À sin?

et cette valeur étant substituée dans la première, on aura

dt — | Â sin wodw VAsinw(2f—Cn°+2Kcosw)—{h—Cncosw)?

ensuite la seconde et la troisième donneront

sin w YA sin? w (2f —Cn°+2K cos w)—(h — Cn cos a)

opens ss PE P ENEE AR ES S

EEE EE 3 sin & YA sin*w(2.f — Cn° + 2 Kcos w)—(h — Can cos @ )?

à nr À md

(”) Il est digne de remarque que ce problème ait été postérienrement résolu par Poisson comme entièrement nouveau. La solution qu’il en donne, sans citer aucunement Lagrange, fait partie du xvi® cahier du Journal de l’École Polytechique, publié en 1815, et a été reproduite dans la seconde édition de sa Mécanique. (J. Bertrand.)

Mec. anal. I, 30

équations où les indéterminées sont séparées, mais dont l'intégration dépend en général de la rectification des sections coniques.

= ; | LT dT 56.. Reprenons les équations (E) et substituons-y les valeurs de —… es L | p' dq 7 en P, q, r'; elles deviendront | À dp — Gdr—Hdg x Rp . . ” Fe +(C—B)gr + Fr — 97 — Gpq + Hpr + KË—o,

Bdq — F dr — Hdp = (A EE C) pr + G, (p°— r?) H gr +- Fpq ee KE 0,

dt Cdr— Edy — Gdp : " | di | + (B — À)pq + H(q = D ) — Fpr + Ggr = 0.

Dans l’état de repos du corps, les trois quantités p, q, r sont nulles, puisque W/p°+ g° + r° est la vitesse instantanée de rotation (art. 29); done on aura alors {’— o et {”— 0; en sorte qu’à cause de {+ FE F5, et par conséquent de "= 1, l’axe des coordonnées £ coïncidera avec celui des ordonnées c; c’est-à-dire que ce dernier axe qui passe par le centre de gravité du corps, et que nous nommerons dorénavant l'axe du corps, sera vertical, ce qui est l’état d'équilibre du corps; et cela se voit encore mieux par les formules de l’art. 7, lesquelles donnent sin ® sin & — 0, COS @ Sinw — 0, et par conséquent w — 0, & étant l'angle des deux axes des coordonnées c et f.

Si donc, en supposant le corps en mouvement, on suppose en même temps que son axe s'éloigne très-peu de la verticale, en sorte que l’angle de déviation © demeure toujours très-petit, alors les quantités €”, €” seront trèspetites, et l’on aura le cas où le corps ne fait que de très-petites oscillations autour de la verticale, en ayant en même temps un mouvement quelconque de rotation autour de son axe. |

Ce cas, qui n’a pas encore été résolu, peut l'être facilement et complétement par nos formules ; car en regardant (” et €” comme très-petites du premier ordre, et négligeant les quantités très-petites du second ordre et des ordres suivants, on trouve, par les équations de condition de l’art. 5,

ts 2. l'oœ ll pl ER CRUE Z/2 Pi) ÉRIC EC, Me m6

et A £" — 1, p2 + y"? __ 1, En + El y" — 0 :

donc £'—sinr, £"—cos7, n—sint, #”— cosbet cos (7 —- Ü) — 0; d'ou 7 == 90° +- b, et par conséquent £'— cos 4, = — sin 4.

Substituant ces valeurs dans les expressions de d4P, dQ, dR de l’art. 14, on aura

dP= C'dÿ+d£", dQ=€"d8— d£",

dR — d8, en négligeant toujours les quantités du second ordre, Ainsi donc on aura dP Ed0+ dé"

Pre dt __dQ é"db— dé Dr. dt . dB dé — 4 dt

valeurs qui, étant substituées dans les équations différentielles ci-dessus, donneront, en négligeant les puissances et les produits de {’ 4 , des équations linéaires pour la détermination de ces variables. Mais avant de faire ces substitutions, on remarquera qu'en supposant let (7 nuls, les équations dont il s’agit donneront

M8 pDfd8? d'8 de d?8 GT +F(S) nd RS se

Donc, puisque C ne saurait devenir nul, à moins que le corps ne se réduise à une ligne physique, C étant — S$S (a*+ 0°) Dr, il s'ensuit qu'on d°6 d6 ne peut satisfaire à ces ÉqHAHONS qu'en faisant de — 0, et ensuite, ou — — 0: ouF—oetG—o.

De là, il est facile de conclure que lorsque €” et {” ne sont pas nuls, mais | 30.

236 à MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

| x : a 0 re Se seulement très-petits, il faudra que les valeurs de > OÙ de F'et G soient aussi très-petites, ce qui fait deux cas qui demandent à être examinés sépa-

rément. |

37. S sons premièrement que sit uantité très-petite dt . Suppo P nt que — soit une quantité très-petite du même ordre que {” et (”, on aura, aux quantités du second ordre près,

__ dé” a .

PE Ent 4 — a

Par ces substitutions, en négligeant toujours les quantités du second ordre et changeant, pour plus de simplicité, les lettres €”, €” en s, w, les équations différentielles de l’article précédent deviendront

Adu— Gd?6 LH 4.

d'u TE + es + Kw +. 9 —Bd's—Fd0— Hu DL mms PS TS C0 + Fdts — Gd'u 2 dé —

! LES S d? 0. Gd Zu ee F d?s / : . # La dernière donne Ti —çys et celte valeur étant substituée

dans les deux premières, on aura ces deux-c1 :

(AC — G?) d'u + (CH + GF) ds

de + CKu — ©,

dt? + CKs = 0,

dont l'intégration est facile par les méthodes connues. Qu'on suppose pour cela s—asm(pt+f), u—"ysn(pt +), a, B, y, p étant des constantes indéterniinées, on aura, après ces substttutions, ces deux équations de condition, (AC — G°) yp° + (CH + GF) cp — CKy= 0, (BC — FF?) œp° + (CH + GE) yp" — CKa = 0,

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 235 lesquelles donnent 2. (CH+GF)p CK—(BC— PF).

a CR—{AC— Gp — (CH+GF)p

d’où résulte cette équation en p,