BC — F°+ AC — G*] > 4 [(BC — F*) (AC — G) — (CH + GF

lesquelles dépendent uniquement de la figure du corps, et de la situation du point de suspension.

58. Supposons, en second lieu, que les constantes F et G soient aussi très-petites du même ordre que &” et {”; alors, négligeant les quantités du second ordre, et mettant s, w à la place de CC”, les équations différentielles de l'art. 36 deviendront

À (d,sd0 + d°u) Gd?0 H (d, ud0 = d?s)

dt? di? dt? | (C—B) (ud0 — ds) do F 40° H (sd0 + du) dû OH, ÉE di? | di? di? + Ku = Fes

B (d. ud0 —41?s) EF d°9 H (d.sd0 + d'u)

AE dé de |

+ (A — C) (sd6 + du) d8 Ga H (ude | ds) d mo di dt ba :

Cd°0 di?

d°0 AO» HS La dernière donne re Où et intégrant, Va — h,n étant une constante

arbitraire de grandeur Fr

Substituant cette valeur de % ? dans les deux équations, on aura celles-ci,

A + HSE + FARRe C) Cm Ré Re d?s a

+ (CG — A)ns + Gr? + Hn°u + Ks —o,

dont l'intégration n’a aucune difficulté.

Qu'on les divise par »*, et qu’on y remette, pour plus de simplicité, d4 à la place de ndt, en se souvenant que d8 est désormais constant, on aura, en K. Km

ordonnant les termes et faisant L — +; = —; (art. 54), D A LE le H TLC (Ge Lise bee PR

(C— B+L)u + AT

CLR 4H (s+ EF.

Pour intégrer ces équations, Je commence par faire disparaître les termes

tout constants, en supposant s = x + f, u — y + L, et déterminant les

constantes /, À, en sorte que les termes F et G disparaissent; ce qui donnera ces deux équations de condition,

(C—A+L)f+Hh+G=o, (C—B+L)h+Hf+F—0o;

d’où l’on tirera je FH—G(C—B+L) TT (C—B+L){(C—A+T) —HR ie GH—F(C—A+L) | TG REL)C=R EL) NH

et l’on aura en x, y, 8 les mêmes équations qu’en s, &, 8, avec cette seule différence que les termes constants G, F n'y seront plus.

Je suppose maintenant x — axe”, y — Be”, «, B et z étant des constantes indéterminées, et e le nombre dont le logarithme hyperbolique est 1. Comme tous les termes des équations à intégrer contiennent x et y à la première dimension, il s'ensuit qu'ils seront, après les substitutions, tous divisibles par e‘°, et il restera ces deux équations de condition,

[C—A+L+Bi]e+ [(O—A—B)i—H(i+ Er

CB Ar Re Net BiHEr) lasse

lesqueiles donnent

G u C—A+L+ Bi ce (GA B) + Hit) ce (C—A—B)i+Hfi+s) C—B+L+Ar de sorte qu'on aura cette équation en z,

| [O—B+T+Añ]|[C À + +8) + (G— À — Bi — (1 +) —o,

laquelle, en faisant 1 + 1° — p, se réduit à cette forme (AB — H°) + [OA + BE — C) + C]p+ Lt 2L (A + B—C)=o. Ayant déterminé p par cette équation, on aura

ee D Vr—i he GC ,

TT MhoCel «0

et la constante & demeurera indéterminée. Or comme l'équation en p a deux racines, et que le radical 4/h — 1 peut être pris également en plus et en moins, On aura ainsi quatre valeurs différentes de x, y, lesquelles étant réunies satisferont également aux équations proposées, puisque les variables x, y n’y sont que sous la forme linéaire. Prenant donc quatre constantes différentes pour x, on aura de cette manière les valeurs complètes de æ et y, puisque ces valeurs ne dépendant que de deux équations diffé- rentielles du second ordre, ne sauraient renfermer au delà de quatre constantes arbitraires.

39. Pour que les expressions de x et y ne contiennent point d'arcs de cercle, il faut que V p— 1 soit imaginaire, et qu'ainsi p soit une quantité réelle et moindre que l'unité.

Dénotons par p et s« les deux racines de l'équation en p, supposées réelles

et moindres que l'unité, et donnons aux quatre constantes arbitraires cette forme imaginaire,

2 eBV—1 ae — BV: 7e. nt pe TE

RE DNS ET en — Ér DR 2V— 2V-—1 ( 2 . | 2V= Tr |

on aura, en faisant ces substitutions, et passant des exponentielles aux sinus et cosinus, ces expressions complètes et réelles de x et y,

L == a sin (ËW1—p+8£) + y sin (81 pe ),

__ a(A+B— Cdi pr Y=p cri teosËVi— p+ É)

An a H p " ——— ; Écrit porn (eyi—p+ 6) Y(A+B—C)v(i—0)

cos(4 4/1 — +6)

Ho ss Read Doit)

où &, 5, y, « sont des constantes arbitraires dépendantes de l’état initial du corps. |

Ayant ainsi æ et y, on aura

" FH+G(B—C—L) LL EC PRE nr ne : D

: GH+F(A—C—L) FN REC bec ne

Donc, prenant pour Ÿ un angle quelconque proportionnel au temps, on aura (art. 36) ces valeurs des neuf variables £’, n”, 7, £", n”, etc. :

Le

— cosô, RE sing, C'uERS.

Élus sinb, 17 — cos Ô, Ce ds E°= — scosô+ using, #"——ssin0— ucos8, E"—:;

en sorte qu'on connaîtra les coordonnées £, », / de chaque point du Corps pour un instant quelconque (art. #).

Si l’on compare les expressions précédentes de £’, »”, ete., avec celles de

l’art. 7, on en déduira facilement les valeurs des angles de rotation ®, 4}, w: et l’on trouvera

p+d—0, singsmo—s, cososme—u; d'ou l’on tire

FR vu $ tan CE u° ta ne — ÿ — Y.

S «© S + U"; ang ® . JL ® Et il est facile de voir, d’après les définitions de l’art. 7, que « sera l’inclinaison supposée très-petite de l’axe du corps avec la verticale; que sera l'angle que cet axe décrit en tournant antour de la verticale, et que © sera l'angle que le corps même décrit en tournant autour du même axe, ces deux

derniers angles pouvant être de srandeur quelconque.

40. Mais il faut, pour l'exactitude de cette solution, que les variables s et u demeurent toujours très-petites. Ainsi, non-seulement les constantes & et y, qui dépendent de l’état initial du corps, devront être très-petites, mais il faudra que les valeurs des constantes F et G, données par la figure du corps, soient aussi très-petites, et que, de plus, les racines p et « soient réelles et positives, afin que l’angle 8 soit toujours renfermé dans des sinus ou COsinus.

Méc. anal, II. 3r

S1 l’on suppose F — 0, G — 0, savoir, SocDm — 0, SacDm — 0, on aura les conditions nécessaires pour que les moments des forces centrifuges autour de l’axe du corps, qui est en même temps celui des coordonnées c, se détruisent, en sorte que le corps puisse tourner uniformément et librement autour de cet axe. Or on sait qu’il y a, dans chaque corps, trois axes perpendiculaires entre eux, et passant par le centre de gravité, lesquels ont cette propriété, et qu'on nomme communément, d’après Euler, les axes principaux du corps. Donc, puisque nous avons supposé que l’axe du corps passe en même temps par le centre de gravité et par le point de suspension, il s'ensuit que les quantités F et G seront nulles, lorsque le corps sera suspendu par un point quelconque pris dans un de ses axes principaux.

Donc, pour que ces quantités, sans être absolument nulles, soient du moins trés-petites, il faudra que le point de suspension du corps soit trèsprès d’un de ses axes principaux ; c’est la première condition nécessaire pour que l’axe du corps ne fasse que de très-petites oscillations autour de la verticale, le corps lui-même ayant d’ailleurs un mouvement quelconque de rotation autour de cet axe. | |

L'autre condition nécessaire pour que ces oscillations soient toujours trèspetites, dépend de l'équation en p, et se réduit à celles-ci,