B— B'+ B'E+ BE EVE
== He at + œ
y=Y +y t+7y A + NÉS + Las
en supposant
MO SO enr ani dy dx ” 7 dy dx | pdd, gra dt,
dz dx ” P dz dx * | dq' dr! ”. dg” dr!
Aïnsi la quantité d dr LE dx —- I dy + + dz + a(qgdx — pdy) +B(r dx — pdz) + y(r dy —q da)
deviendra, après ces différentes substitutions, et en ordonnant les termes
par rapport aux puissances de #,
p'dx + q"dy + r' de + a" (qg’dx — p'dy) + B'(r" dx — p° dz) + y'(r'dy — q'dz) 2 (p°" dx + q" dy + r° dz) + a" (q" dx — p"dy) + t | + 8'(r" dx — p'dz) + y'(r" dy — q" dz) + «"(g'dx — p' dy) | + 8"(r'dx — p'dz) + y"(r'dy — g'ds 8 (p" dx + q"dy + r° dz) + «(dx — p"dy) pds — pds) y (r dy — qMde) + a (g'de — p'ép) |
RE | | 7. g" (r' dx — p" da) + y" (r! dy q" dx) ce 2e (g'dx = dy) | LR g (r' dx — p' ds) ss y" (r' dy = q'dz) |
et comme cette quantité doit étre une différentielle exacte, indépendam-
ment de la valeur de t, il faudra que les quantités qui multiplient chaque
puissance de é, soient chacune en particulier une différentielle exacte. Cela posé, supposons que p'dx + q'dy + r'dz soit une différentielle
exacte, on aura, par les théorèmes connus,
dp' dg' dp" + dr! dg" dr!
dy dx j dz dx dz dy?
done, —
Dr EE O, B = O, V — O;
donc la première quantité, qui doit être une différentielle exacte, se réduira
à p" dx + q"dy + r”dz; et l’on aura, par conséquent, ces équations de
condition
Hs | x” —- GO, B —0o, Y = CC):
Alors la seconde quantité, qui doit étre une différentielle exacte, deviendra 2 (p” dx + q" dy + r"dz); et il résultera de là les nouvelles équations |
pile o, g" — 0, y"— 0.
De sorte que la troisième quantité, qui doit être une différentielle exacte, sera 3 (p" dx + q" dy + r"dz); d'où l’on tirera pareillement les équations
Une. ion, 5
et ainsi de suite. Donc, si p'dx + q'dy + r'dz est une différentielle exacte, il faudra que D dx se q" dy = r'dz, p" dx e q" dy Le r'"dz. p" dx de q" dy ne raz, Tr |
soient aussi chacune en particulier des différentielles exactes. Par conséquent, la quantité entière pdx + qdy + rdz sera dans ce cas une différentielle exacte, le temps £ étant supposé fort petit.
#7. Il s'ensuit de là que si la quantité pdx + qdy + r dx est une différentielle exacte lorsque { — 0, elle devra l'être aussi lorsque £ aura une valeur quelconque; donc, en général, comme l’origime des # est arbitraire, et qu’on peut prendre également £ positif ou négatif, 1l s'ensuit que si la quantité pdx + qdy + rdz est une différentielle exacte dans un instant quel-
conque, elle devra l'être pour tous les autres instants. Par conséquent, s’il y a un seul instant dans lequel elle ne soit pas une différentielle exacte, elle ne pourra jamais l’être pendant tout le mouvement; car si elle l’était dans un autre instant quelconque, elle devrait l’être aussi dans le premier.
18. Lorsque le mouvement commence du repos, on a alors P—0,gq—=0, r — 0, lorsque { —0o; donc pdx + qdy + rdz sera intégrable pour ce moment, et, par conséquent, devra l’être toujours pendant toute la durée du mouvement.
Mais s’il y a des vitesses imprimées au fluide, au commencement, tout dépend de la nature de ces vitesses, selon qu’elles seront telles, que
pdx + qdy + rdz soit une quantité intégrable ou non; dans le premier cas, la quantité pdx + qdy + rdz
sera toujours intégrable ; dans le second, elle ne le sera jamais.
Lorsque les vitesses initiales sont produites par une impulsion quelconque sur la surface du fluide, comme par l’action d’un piston, on peut démontrer que pdx + qdy + rdz doit être intégrable dans le premier instant. Car il faut que les vitesses p, g, r, que chaque point du fluide reçoit en vertu de l'impulsion donnée à la surface, soient telles, que si l’on détruisait ces vitesses, en imprimant en même temps à chaque point du fluide des vitesses égales et en sens contraire, toute la masse du fluide demeurât en repos où en équilibre. Donc il faudra qu’il y ait équilibre dans cette masse, en vertu de l’impulsion appliquée à la surface, et des vitesses ou forces — p, — q, —r, appliquées à chacun des points de son intérieur ; par conséquent, d’après la loi générale de l'équilibre des fluides (F° partie, sect. VIT, art. 19), les quantités p, g, r devront être telles, que pdx + qdy + rdz soit une différentielle exacte. Ainsi, dans ce cas, la même quantité devra toujours être une différentielle exacte dans chaque instant du mouvement.
19. On pourrait peut-être douter s’il y a des mouvements possibles dans un fluide, pour lesquels pdx + qdy + rdz ne soit pas une différentielle
exacte.
Pour lever ce doute par un exemple très-simple, il n’y a qu’à considérer le cas où l’on aurait
Parole rs Er, NÉE;
g étant une constante quelconque. On voit d’abord que, dans ce cas, pdx + qdy + rdz ne sera pas une différentielle complète, puisqu'elle devient g (ydx — xdy), qui n’est pas intégrable; cependant l'équation (L) de l’art. 45 sera intégrable d’elle-même, car on aura
dp dq
dy ee: S 9 dx EE S ?
et toutes les autres différences partielles de p et g seront nulles; de sorte que l'équation dont il s’agit |
da — AN = — g°(xdx + ydy),
dont l'intégrale donne r 2 9 a V — L (x° + y°) + fonct. £, valeur qui satisfera donc aux trois équations (F) de l’art. 40.
A l'égard de l'équation (G) du même article, elle aura lieu aussi, puisque les valeurs supposées donnent
Au reste, il est visible que ces valeurs de p, q, r représentent le mouvement d’un fluide qui tourne autour de l'axe fixe des coordonnées z, avec une vitesse angulaire constante et égale à g'; et l’on sait qu’un pareil mouvement peut toujours avoir lieu dans un fluide.
On peut conclure de là que dans le calcul des oscillations de la mer, en vertu de l'attraction du soleil et de la lune, on ne peut pas supposer que la quantité pdx + qdy + r dz soit intégrable, puisqu'elle ne l’est pas lorsque le fluide est en repos par rapport à la terre, et qu’il n’a que le mouvement de rotation qui lui est commun avec elle.
20. Après avoir déterminé les cas dans lesquels on est assuré que la ÎMéc. anal. II. 35
quantité pdx + qdy + rdz doit être une différentielle complète, voyons comment, d’après cette condition, on peut résoudre les équations du mouvement des fluides.
Soit donc
pdx + qdy + rdz = de,
® étant une fonction quelconque de x, y, z et de la variable #, laquelle est regardée comme constante dans la différentielle do, on aura donc
__ dé, ” dz?
et substituant ces valeurs dans l'équation (L) de l’art. 45, elle deviendra
{de ., dy de __ de d'e de d'y dh— AV = (TE + dx? +R ee + dr )de
do do do. do do do d°o go dt dy de dx dy | dy dy° TG dyde y
d’o do d?v de d?o do do s +R ue dxda 7 dj dydz dz dz? de,
dont l'intégrale, relativement à x, y, z, est évidemment
| d 1 / do \? LT AO? / d a—V= RH) +) + LS dt 2 \ dx 2 \ dy dz On pourrait y ajouter une fonction arbitraire de £, puisque cette variable est regardée dans l'intégration comme constante ; mais j’observe que cette fonction peut être censée renfermée dans la valeur de g: car, en augmen-
tant ® d’une fonction quelconque T de £, les valeurs de p, q, r demeurent les mêmes qu'auparavant, et le second membre de l'équation précédente se
| : La AT ue trouvera augmenté de la fonction —=; qui est arbitraire. On peut done, sans
déroger à la généralité de cette équation, se dispenser d’y ajouter aucune fonction arbitraire de £.
On aura donc, par cette équation,
do 1/do 1 {do p\ ut LE Aro (a)
valeur qui satisfera à la fois aux trois équations (F) de l’art. 40; et la déter-
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. | 275 mination de ® dépendra de l'équation (G) du même article, laquelle, en
ps : do do do substituant pour p, q, r leurs valeurs aa? devient
d?® UE er dde + — Ts
Ainsi toute la difficulté ne consistera plus ni dans |’ intégration de cette dernière équation.
21. Il y a encore un cas très-étendu, dans lequel la quantité pdx + qdy + rdz
doit être une différentielle exacte: c’est celui où l’on suppose que Îes vitesses P; g, r soient très-petites, et qu'on néglige les quantités très-petites du second ordre et des ordres suivants. Car il est visible que, dans cette hypothèse, la même équation (L) se réduira à
dn— AN = P dx + dy + L ds,
où l’on voit que = Le P dx ET L dy Lee - de devant être intégrable relativement
à æ, Ÿ, 2, la nee es + g dy + cu devra l'être aussi. On aura ainsi les mêmes formules que dans l’article précédent, en supposant + une fonction très-petite et négligeant les secondes dimensions de + et de ses différentielles.
On pourra de plus, dans ce cas, déterminer les valeurs mêmes de x, y, z pour un temps quelconque. Car il n’y aura pour cela qu’à intégrer les équations |
dx — pdt, dy —qdt, dz—rdt (art. 9),
dans lesquelles, puisque p, g, r sont très-petites, et que, par conséquent, dx, dy, dz sont aussi très-petites du même ordre vis-à-vis de dt, on pourra regarder x, y, z comme constantes par rapport à £. De sorte qu'en traitant £ seul comme variable dans les fonctions p, q, r, et ajoutant les constantes a, b, c, on aura sur-le-champ
z=a+fpdt, y=b+fqd, 23—=c+/frdt.
Donc faisant, pour abréger, & — fodt, et changeant dans ® les variables x,
Y, z en &, b,c, on aura simplement
CG AE CS où la fonction & devra être prise de manière qu’elle soit nulle lorsque = 0; “afin que @&, b, c soient les valeurs initiales de +, y, z.
Ce cas a lieu dans la théorie des ondes et dans toutes les petites oscillations.
22. En général, lorsque la masse du fluide est telle, que l’une de ses dimensions soit considérablement plus petite que chacune des deux autres, en sorte qu'on puisse regarder, par exemple, les coordonnées z comme trèspetites vis-à-vis de x et y, cette circonstance servira dans tous les cas à faciliter la résolution des équations générales.
Car il est clair qu'on pourrait donner alors aux inconnues p, q,r, A la
forme suivante :
ff 9
p=p'+p"z+ pe + ..., g=qg+g'a+g"#+...,
