D DT
par lesquelles on déterminera d’abord les quantités r”, r”, r", etc., et les autres quantités r’, p', p”, etc., q’, q”, etc., demeureront encore indéterminées.
On fera les mêmes substitutions dans l’équation (L) de l’art. 45, laquelle équivaut aux trois équations (F) de l’art. 40, et il est aisé de voir qu’elle se
réduira à la forme suivante :
da — AN = adx + Bdy + ydz + z(x" dx + E'dy + y'dz) + 2 (a de + B" dy + y"dz) + ...,
en faisant, pour abréger,
d / | dg' dg’ ft RS SR A ui qd’ = dr a dr . dr’ A st = + PR HE HT dp! dp" dp' dp" dp! —. | 1 / 7 / 7 NT VAT a de rap te À. PU r__ dg” dq” dq' dq” » dq D Ho" nn Pan ue ed a Elias tdi dr! dr! dr! dr! dr! | / / ON / PU ae opt pit rl",
Ve R PRE TT TT 4
et ainsi de suite.
Donc, pour que le second membre de cette équation soit intégrable, il
faudra que les quantités adx + Bdy, 7ydz + z(a'dx + B'dy), y'zd2+ 2 (a"dx + B'dy),...,
soient chacune intégrable en particulier.
Si donc on dénote par une fonction de x, y, t sans z, on aura ces con-
ditions :
nu de | __ do fn d'y À — Te B — dy? Œ — De y dy 72 dy Ll dy - 2 dx’ F dy
Alors l’équation intégrée donnera D
et il ne s'agira que de satisfaire aux conditions précédentes, par le moyen des fonctions indéterminées ©, r”’, p', p”, ete., g”, q”, etc.
Le calcul deviendrait plus facile encore, si les deux variables y et z étaient très-petites en même temps vis-à-vis de x, car on pourrait supposer alors
p=p'+p'y +p"z+ p\y + p'yz+ ..., g=g+gy + g'a+ Y+Yr+..., Tr + rt y + rs + Ty ny + ...,
les quantités p', p”, ete., g’, q”, ete., r’, r”, ete., étant de simples fonctions de x. | |
Faisant ces substitutions dans l'équation (G), et égalant séparément à zéro les termes affectés de y, z et de leurs produits, on aurait
Ensuite l'équation (Li) deviendrait de la forme
da — dV = adx + fdy + ydz + y (a dx + B'dy + y'dz) + 2(a" dx + Bdy + y"dz) + ...,
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 27Q ef] SUPposant
dp' / dp' A / LOU CRE PM Ce EE EP"
__ dq° , dq' 1" LM PS ae ue MERS Jr! dr — + p' g'r"+ r'r", dp" dl y dp! | a = TT +pT + pe + 2 gp" + Gp er pat pt, et l’on aurait pour l’intégrabilité de cette équation les conditions
, dB | » dy FN nr RUE
moyennant quoi elle donnerait A V + fadx + By +yz+ ....
Enfin on pourra aussi quelquefois simplifier le calcul par le moyen des substitutions, en introduisant à la place des coordonnées x, y, z d’autres variables £, n, €, lesquelles soient des fonctions données de celles-là ; et si, par la nature de la question, la variable { par exemple, ou les deux variables 4 et € sont très-petites vis-à-vis de £, on pourra employer des réductions analogues à celles que nous venons d'exposer.
S IT. — Du mouvement des fluides pesants et homogènes dans des vases ou canaux de figure quelconque.
23. Pour montrer l’usage des principes et des formules que nous venons de donner, nous allons les appliquer aux fluides qui se meuvent dans des vases ou des canaux de figure donnée.
Nous supposerons que le fluide soit homogène et pesant, et qu’il parte du repos, ou qu'il soit mis en mouvement par l'impulsion d’un piston appliqué à sa surface ; ainsi les vitesses p, g, r de chaque particule devront être telles, que la quantité p dx + qgdy + r dz soït intégrable (art. 18); par conséquent, on pourra employer les formules de l'art. 20. |
Soit donc (*) une fonction de x, y, z et { déterminée par l'équation
do do do.
Le je dy? de Te: 0%
on aura d’abord pour les vitesses de chaque particule, suivant les directions des coordonnées x, y, z, ces expressions :
d d P= + Et, PF —-
Ensuite on aura
sv edei(( (ET quantité qui devra être nulle à la surface extérieure libre du fluide (art. 2). Quant à la valeur de V qui dépend des forces accélératrices du fluide (art. 45), si l’on exprime par g la force accélératrice de la gravité, et qu’on nomme £, », C les angles que les axes des coordonnés x, y, z font avec la
verticale menée du point d’intersection de ces axes, et dirigée de haut en bas, on aura
X——gecosËé, Y——geosr, Z——gcost;
je donne le signe — aux valeurs des forces X, Y, Z, parce que ces forces sont supposées tendre à diminuer les coordonnées x, y, 3. Donc, puisque
AV = Xdx + Y dy + Zdz, on aura, en intégrant, V=— — gxcosË — gy cosn — gz cos C.
24. Soit maintenant z — «, où 3 — x — 0, l'équation d’une des parois du canal, « étant une fonction donnée de x, y sans z ni &. Pour que les
mêmes particules du fluide soient toujours contiguës à cette paroi, il faudra remplir l'équation (I) de l’art. 12, en y supposant À — z — x. On aura donc
do dg da do de
(*) Il ne faut pas croire que toute intégrale de cette équation fournisse la solution du problème : la fin du paragraphe montre, au contraire, que la fonction + est assujettie à d’autres conditions. {J, Bertrand.)
équation à laquelle devra satisfaire la valeur z — &. Chaque paroi fournira aussi une équation semblable.
De même, puisque À — o est l’équation de la surface extérieure du fluide, pour que les mêmes particules soient constamment dans cette surface, on aura l’équation
d'À do dÀ do dÀ do d} de dx dx dy dj da ds laquelle devra avoir lieu et donner, par conséquent, une même valeur de z
que l'équation À — 0. Mais cette équation ne sera plus nécessaire dès que la condition dont il s’agit cessera d’avoir lieu.
25. Cela posé, il faut commencer par déterminer la fonction @. Or, l'équation d’où elle dépend n'étant intégrable, en général, par aucune méthode connue, nous supposerons que l’une des dimensions de la masse fluide soit fort petite vis-à-vis des deux autres, en sorte que les coordonnées z, par exemple, soient très-petites relativement à x et y. Par le moyen de cette supposition, on pourra représenter la valeur de © par une série de cette forme, | |
BDD 0 0 ao ee
où ®', ®”,®”, etc., seront des fonctions de x, y, t sans z. Faisant donc cette substitution dans l’équation précédente, elle deviendra
do" do 7 do" do" |
me Ta +20 +a(TE + SE +23") do! do"! :
+e (TR + +3.47)+...—0.
De sorte qu’en égalant séparément à zéro les termes affectés des différentes puissances de z, on aura
Fe L d°o! . d°o!
2 dx? 2 dy” nee …: do! EL d?o" | 2,3 dx? 2.5 dy?
o" = d’o" do" | d*o! do! | d'o
— Hide 5ds —53.4de | 3.4{de dé | 2.3.4dy°
Méc. anal. Il. | 36
Ainsi l'expression de & deviendra
pl 1 2°fdg" d?g 25 {de d'o" D (Te Su + pee De PI ESS dy }
dy dx | 1 d'o! 2 d'y! do!" 12,34 de | dedp * Le.
dans laquelle les fonctions ®” et 9” sont indéterminées, ce qui fait voir que cette expression est l'intégrale complète de l’équation proposée.
Ayant trouvé l’expression de +, on aura par la différentiation celles de P: 4,7, comme il suit :
—. do … do! , do” 7? do’ d*o' d'œ” ; do pre +igeL( + Le) — (TE + a) ET CAE RON Rs ee Sa) ee ous:
do en ; d?o do!\ 2? do" . d?o!
D D nc ne à 73 lo! d'o! d*o!
Lu St Fr dy gs He) + A Ht substituant ces valeurs dans l'expression de À de l’art. 25, elle deviendra de cette forme, 1/1
MN Han Han Lg AN ee, dans laquelle
! d do’ 2 N=— g(reosé + ycosr) + + (TE Te) + dl MR gp" Su a do” do! do’ e Ge — à d? o’ - AE se.
1 / do! Fo / do”\? :1 do! do! \ 1 / do”\?
Sn. t- d°p de! de. 1/d97\?
2 | dtdx* + dt dy° . dx o de de "dx dys Y ES 2 \ dy
trdof de d3o! 1 / d°o! AE d'" do!
2 dy (ES + dy* ; R » pue Fe } Ére = q' (SE D à dy h et ainsi de suite.
26. Maintenant si 3 — « est l'équation des’ parois, « étant une fonction fort petite de x et y sans z, l'équation de condition pour que les mêmes particules soient toujours contiguës à ces parois (art. 24) deviendra, par les
SECONDE PARTIE. -— LA DYNAMIQUE. | 283 substitutions précédentes, y do' da do da 5 d?o' d°o de" da do" de de dy° dx dx dy dy
1 ,Pd'o" d'o" [do d'o! \da do! d'o'\ da “ (das dadyp ) dx ax dy ds | ày
dy
dx dy dy
laquelle devant avoir lieu, lorsqu'on fait z — «, se réduira à cette forme
plus simple,
do do E de” , dç” ; d Œ Fe d 4 dy d.o pe d 04 y D NE NT Dr.
— do! Asa | dv! dc!
u 7 |4x dx dy? dx* dy dy js 2.3 AL 2.3 dy he == 0,
et 1l faudra que cette équation soit vraie dans toute l'étendue des parois
données.
07. Enfin l'équation de la surface extérieure et libre du fluide étant = o, sera de la forme
RS D Zen M. — 0: | et l'équation de condition, pour que les mêmes particules demeurent à la surface (art. 24), sera d À do d\ do! d} MW GE dede da Ut d}" do” d }' do' di! do” d À)! do’ di" M " dx dx ‘ dx dx “ dy dy ‘ dy dy
us I
RER à do! do!
| ". 2 6! a (TE 3 Te ; ru di" de" di! do! d}" do" d}! dy! di dt dx dx dx dx dy dy dy dy ii A EN A | 2 \ dx? dx dy? } dx 2 \ dx* dy dy ) dy / 2 Eye (ge grecs here sa Es Où
Chassant z de ces deux équations, on en aura une qui devra subsister d'elle-même, pour tous les points de la surface extérieure.
Appücation de ces formules au mouvement d’un fluide qui coule dans
un vase étroit et presque vertical.
28. Imaginons maintenant que le fluide coule dans un vase étroit et à peu prés vertical, et supposons, pour plus de simplicité, que les abscisses + soient verticales et dirigées de haut en bas, on aura (art. 23)
É—O0, 1—9g0, = 90", donc
COSÉ —I, COSHn—O, COSC—O.
Supposons de plus, pour simplifier la question autant qu’il est possible, que le vase soit plan, en sorte que, des deux ordonnées y et z, les preimiéres y soient nulles, et les secondes z soient fort petites.
Enfin, soient z — « et z— £ les équations des deux parois du vase, « et £ étant des fonctions de x connues et fort petites. On aura, relativement à ces parois, les deux équations (art. 26),
do! , do?
; d Are d.a LE dx 7 2dx do! , do” rs ae ? CE RDRE HE De QU
lesquelles serviront à déterminer les fonctions @’ et ©”. Nous regarderons les quantités z, « comme très-petites du premier q ») &; ordre, et nous négligerons, du moins dans la première approximation, les
quantités du second ordre et des ordres suivants. Ainsi les deux équations précédentes se réduiront à celles-ci,
co A : ie ue. | dx si - : ! | | dx à:
