RE

lesquelles, étant retranchées l’une de l’autre, donnent

do!

d{(a—8) dx

, . 3° , d j / : . 2 équation dont l'intégrale est (x — 6) TE — Ô, 0 étant une fonction arbitraire de t, laquelle doit être très-petite du premier ordre.

Or il est visible que « — B est la largeur horizontale du vase, que nous

représenterons par y. Ainsi On aura

en désignant par & une nouvelle fonction arbitraire de #. Si l’on ajoute ensemble les mêmes équations, et qu’on fasse = =, on en tirera | d.p Lit

H . dx

NS He à

d ou, en substituant la valeur de Te

dx

FA CEE:

D'où l’on voit que, puisque y, «, Ê sont des quantités très-petites du premier ordre, @” sera aussi très-petite du même ordre. Donc, en négligeant toujours les quantités du second ordre, on aura, par les formules de l’art. 25, la vitesse verticale 49 0 PP de + la vitesse horizontale

Ensuite, à cause de cos { — 0, la quantité À” sera aussi très-petite du premier ordre. Par conséquent, la valeur de À se réduira (art. 25) à

jee ” d 0 dx d 3 I 0?

DS di dt , a dt

ae

Cette valeur, égalée à zéro, donnera la figure de la surface du fluide ; et comme elle ne renferme point l’ordonnée z, mais seulement l'abscisse x et le temps #, il s'ensuit que la surface du fluide devra être à chaque instant plane et horizontale. |

Enfin l'équation de condition, pour que les mêmes particules soient toujours à la surface, se réduira, par la même raison, à celle-ci,

d\ do! d\

di 8 dx RS Dr

ΠTy

(art. 27), savoir O,

laquelle ne contient pas non plus z, mais seulement x et £.

29. Pour distinguer les quantités qui se rapportent à la surface supérieure du fluide, de celles qui se rapportent à la surface inférieure, nous marquerons les premières par un trait et les secondes par deux traits. Ainsi x", y’, ete., seront l’abscisse, la largeur du vase, etc., pour la surface supérieure ; #”, y”, etc., seront de même l’abscisse, la largeur du vase, etc., à la surface inférieure. |

Donc aussi à, À” dénoteront dans.la suite les valeurs de À pour les deux surfaces ; de sorte que lon aura, pour la surface supérieure, l'équation

sl — ! | A dx! ds 6? =.

et pour la surface inférieure, l'équation semblabie, nv, d0 f'dx" dg Be D GT Ne MT us.

| d\ Q À :.. ‘7 ; À k Enfin, Dee de OS l'équation de condition pour que les mêmes particules qui sont une fois à la surface supérieure y restent toujours; et

de y dx’ contienne toujours les mêmes particules du fluide.

— o sera l'équation de condition pour que la surface inférieure

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 207 Cela posé, il faut distinguer quatre cas dans la mamière dont un fluide

peut couler dans un vase; et chacun de ces cas demande une solution particulière.

30. Le premier cas est celui où une quantité donnée de fluide coule dans un vase indéfini. Dans ce cas, 1l est visible que l’une et l’autre surface doit toujours contenir les mêmes particules, et qu’ainsi on aura pour ces deux surfaces les équations

et, de plus,

d À! 8 dd)

ee 4 > Den 0:

di 9 Ad?

quatre équations qui serviront à déterminer les variables x”, x”, 8, & enr. L’équation » — o étant différentiée, donne

ANT ne RIT Te dE +

dt — 0; donc a dX de!

de - dE substituant cette valeur dans l'équation

d\ 0 dx & y de

sr | d}' et divisant par Ta? ON aura

On trouvera de même, en combinant l’équation À” — o avec l'équation

di" AUS, nie et dt ——. dx!" dt ? ? AE

Donc on aura nr y'dx' — y” dx”,

équations séparées ; par conséquent, on aura, en intégrant, fy"dx"— fy'dx — m,

m étant une constante, laquelle exprime évidemment la quantité donnée du fluide qui coule dans le vase. Cette équation donnera ainsi la valeur de x” en &”.

Maintenant, si l’on substitue dans l’équation — 0 pour dt sa valeur fax" PS ——; elle devient

eme 0 AN Mes A Deere De mc y dx ; "dx 27

laquelle, étant iultipliée par — y’ dx", donne celle-ci,

| dx! & dx Ses Ba8 | — 843 — T0,

qu’on voit être intégrable, et dont l'intégrale sera

6 fdx!

gjy'x' dx —— [+

— Const.

à np y" dx" n On trouvera de la même manière, en substituant à la place de dt

dans l'équation = 0, et multipliant par — y” dx", une nouvelle équation intégrable, et dont l'intégrale sera

g jy" dx" — | — f0dS = const.

Retranchant ces deux équations l’une de l’autre, pour en éliminer le terme fêdS, on aura celle-ci,

sata pra) 2 ( fé fé) 2x,

dans laquelle les quantités fy”x"dx" — fy'x'dx" et J + expri-

Fa . ment les intégrales de yxdx et de prises depuis x — x” jusqu'à x —x”, et où L est une constante. |

Cette équation donnera donc Ÿ en x’ puisque x” est déjà connue en x”, par l'équation trouvée plus haut. Ayant ainsi 8 en x’, on trouvera aussi Z

ce : LE l'A: / » dont l'intégrale Est == | Fe + fi,

Fr

/ dx!

) M Ve s 3 il étant une constante arbitraire.

en æ’, par l'équation di ne

À l'égard des deux constantes L et FH, on les déterminera par l’état imitial du fluide. Car, lorsque £ — 0, la valeur de x’ sera donnée par la position initiale du fluide dans le vase; et si l’on suppose que les vitesses initiales du fluide soient nulles, il faudra que l’on aït 0 — o, lorsque t — 0, pour que les expressions p, g, r (art. 28) deviennent nulles. Mais si le fluide avait été mis d’abord en mouvement par des impulsions quelconques, alors les valeurs de X’ et à” seraient données lorsque & — 0, puisque la quantité rapportée à la surface du fluide exprime la pression que le fluide y exerce, et qui doit être contre-balancée par la pression extérieure (art. 2). Or on

a (art. 29) À H ! \:

) > di 7? ?

do "de? dx’ UNE DER 0 | +E( [Tr — 8\ Ta 9 donc, en faisant £ — 0, on aura une équation qui servira à détermimer la valeur initiale de 6.

Ainsi le problème est résolu, et le mouvement du fluide est entièrement déterminé.

31. Le second cas a lieu lorsque le vase est d’une longueur déterminée, et que le fluide s’écoule par le fond du vase. Dans ce cas on aura, comme dans le cas précédent, pour la surface supérieure, les deux équations

dx 6 di

Ne et — —— di y dx!

mais, pour la surface inférieure, on aura simplement l'équation à ”— 0, puisqu’à cause de l'écoulement du fluide il doit y avoir à chaque instant de nouvelles particules à cette surface. Mais, d’un autre côté, l’abscisse x” pour cette même surface sera donnée et constante; de sorte qu'il n'y aura que trois inconnues à déterminer, savoir, x’, Ü et >.

Les deux premières équations donnent d’abord, comme dans le cas précédent, celle-ci,

sv dx! P dx! & dx!

=, et gy'x'dx'— 048 | — bdS — = 0; Méc. anal, II. 37.

ensuite l'équation À” — o donnera

d0 ar" d3 6?

7 do [dx ds Per De ie dt pi" F dt “0 +

Hs | .

où l’on remarquera que x”, y” et £ Tr sont des constantes que nous déno-

terons, pour plus de simplicité, par j, k, n. Ainsi, en substituant à dé sa

7 ! . « . LA 8 valeur ? no multipliant ensuite par — y'dx', on aura l'équation

gp fy dx" — nôdÿ — 043 — EE

Ft M

Donc retranchant de celle-ci l’équation précédente, pour en éliminer les termes ÎdS, on aura |

nn. Pu. EE fdx! | . Eu — x'\y dx —{(n— [= )0d8 — | = — — guerre (n— fus (52) équation qui ne contient que les deux variables x’ et 4, et par laquelle on pourra donc déterminer une de ces variables en fonction de Pautre.

Ensuite on aura t exprimé par la même variable, en intégrant l'équation

sr!

dt — ? — j

et l’on déterminera les constantes par l’état initial du fluide, comme dans le problème précédent.

32. Le troisième cas a lieu lorsqu'un fluide coule dans un vase Indéfini, mais qui est entretenu toujours plein à la même hauteur, par de nouveau fluide qu’on y verse continuellement. Ce cas est l'inverse du précédent; ear on aura 101 pour la surface inférieure les deux équations

du 6 dW

Ness et 0 dd.

dt 1 At O ;

et, pour la surface supérieure, on aura simplement l'équation = 0, à cause du changement continuel des particules de cette surface. Aïnst 1 n'y

; 4 9 . Ep sp f aura qu’à changer dans les équations de l’article précédent les quantités x”, y

1 {/ | k dx en &', y , et prendre pour f, h, n les valeurs données de x”, y”, | —+-

Au reste, nous supposons que l’addition du nouveau fluide se fait de manière que chaque couche prend d’abord la vitesse de celle qui la suit immédiatement, et qu’ainsi l’augmentation ou la diminution de vitesse de cette couche, pendant le premier instant, est la même que si le vase n'était pas entretenu plein à la même hauteur durant cet instant.

38. Enfin, le dernier cas est celui où le fluide sort d’un vase de longueur déterminée, et qui est entretenu toujours plein à la même hauteur. Iei les particules des surfaces supérieure et inférieure se renouvellent entièrement ; par conséquent, on aura simplement pour ces deux surfaces les équations