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équation séparée, et qui est intégrable par des arcs de cercle ou des logarithmes.
34. Les solutions précédentes sont conformes à celles que les premiers
auteurs auxquels on doit des théories du mouvement des fluides ont trouvées, d’après la supposition que les différentes tranches du fluide conservent exactement leur parallélisme en descendant dans le vase. (oyez l’Aydrodynamique de Daniel Bernoulli, l’//ydraulique de Jean Bernoulli, et le Traité des fluides de d’Alembert.) Notre analyse fait voir que cette supposition n’est exacte que lorsque la largeur du vase est infiniment petite, mais qu’elle peut, dans tous les cas, être employée pour une première approximation, et que les solutions qui en résultent sont exactes, aux quantités du second ordre près, en regardant les largeurs du vase comme des quantités du premier ordre.
Mais le grand avantage de cette analyse est qu'on peut par son moyen approcher de plus en plus du vrai mouvement des fluides, dans des vases de figure quelconque ; car ayant trouvé, ainsi que nous venons de le faire, les premières valeurs des inconnues, en négligeant les secondes dimensions des largeurs du vase, il sera facile de pousser l’approximation plus loim, en ayant égard successivement aux termes négligés. Ce détail n’a de difficulté que la longueur du calcul, et nous n’y entrerons point quant à présent.
Applications des mêmes formules au mouvement d'un fluide contenu dans un canal peu profond et presque horizontal, et en particulier au mou-
vement des ondes.
35. Puisqu on suppose la hauteur du fluide fort petite, il faudra prendre les coordonnées z verticales et dirigées de haut en bas, les abscisses x et les autres ordonnées y deviendront horizontales, et l’on aura (art. 23)
COSÉ —O, COSn—O, COSÛ == I.
En prenant les axes des x et y dans le plan horizontal formé par la surface supérieure du fluide, dans l'état d'équilibre, soit z — « l’équation du fonc du canal, & étant une fonction de x et y.
Nous regarderons les quantités z et + comme très-petites du premier ordre, et nous négligerons les quantités du second ordre et des suivants, c’est-à-dire celles qui contiendront les carrés et les produits de z et «.
l'équation de condition relative au fond du canal donnera (art. 26)
do’ do’ De Fo , à PR TT &
d’où l’on voit que g” est une quantité du premier ordre.
Ensuite la valeur de la quantité À se réduira à W + 272 (art. 98); et il faudra négliger dans l'expression de N les quantités du second ordre, et dans celle de à” les quantités du premier. Ainsi, à cause de
COS —O, COSn—O, COST —I, on aura, par les formules du même article,
— do! fo "\? I (SE 2 ee as N= + PAUSE e ARE
On aura done (art. 27), pour la surface supérieure du fluide, l’équation
et ensuite l’équation de condition
En |
—. dig ., d'g\ ne - +e(Ti+ Se — ©.
dÀ do’ d do d) dd de à d A Te | ' | L'équation x — gz— o donne sur-le-champ z — — pour la figure de la
surface supérieure du fluide à chaque instant, et comme l’équation de condition doit avoir lieu aussi relativement à la même surface, il faudra qu'elle
| ; À | À! 3 soit vraie, en y substituant à z cette même valeur a Cette équation devien-
dra donc par là de cette forme,
/ / ; d.\ 29 Age | d À dx dy / DR Ca À A Pis
et substituant encore pour &” sa valeur trouvée ci-dessus, elle se réduira à celle-ci,
| Hard sa 49
ar dN—ga) SE ds) Me Ÿ De rie dy Te
dans laquelle il n’y aura plus qu’à mettre à la place de X sa valeur
do’ 1 / do’\? E {do \?
= rai bel de co Da de et EE
dt 2 \ dx 2\ dy) et l’on aura une équation aux différences partielles du second ordre, qui servira à déterminer ©” en fonction de æ, y, t.
Après quoi on connaîtra la figure de la surface supérieure du fluide, par
l'équation ___ de. I do" \? T |, gd log\dr ) Fos d
et si l’on voulait connaître aussi les vitesses horizontales p, q de chaque particule du fluide, on les aurait par les formules
__ do __ dg' ; P ee q — dy (art. 25).
= 9 dx
36. Le calcul intégral des équations aux différences partielles est encore bien éloigné de la perfection nécessaire pour l'intégration d'équations aussi compliquées que celle dont il s’agit, et il ne reste d’autre ressource que de simplifier cette équation par quelque limitation.
Nous supposerons pour cela que le fluide dans son mouvement ne s'élève ni ne s'abaisse au-dessus ou au-dessous du niveau qu'infiniment peu, en sorte que les ordonnées z de la surface supérieure soient toujours très-petites, et qu’outre cela les vitesses horizontales p et g soient aussi infiniment petites.
Il faudra donc que les quantités age Are soient infiniment petites, et dt dx dy .
qu’ainsi la quantité @’ soit elle-même infiniment petite.
Ainsi, négligeant dans l’équation proposée les quantités infiniment petites du second ordre et des ordres ultérieurs, elle se réduira à cette forme linéaire |
! / ie La 2 du + d° dx dy —.
de Die ‘ec dy 3 et l’on aura do’ __ do =. do' le dm 1 à
Cette équation contient donc la théorie générale des petites agitations
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE, 20b d’un fluide peu profond, et, par conséquent, la vraie théorie des ondes formées par les élévations et les abaissements successifs et infiniment petits d’une eau stagnante, et contenue dans un canal ou bassin peu profond. La théorie des ondes que Newton a donnée dans la proposition quarante-sixième du second Livre, étant fondée sur la supposition, précaire et peu naturelle, que les oscillations verticales des ondes soient analogues à celles de l’eau dans un tuyau recourbé, doit être regardée comme absolument insuffisante pour expliquer ce problème.
37. Si l’on suppose que le canal ou bassin aït un fond horizontal, alors la quantité « sera constante et égale à la profondeur de l'eau, et l'équation pour le mouvement des ondes deviendra
do! d°o! ” d?o"" | ——— = LE de O LE d
Cette équation est entièrement semblable à celle qui détermine les petites
agitations de l'air dans la formation du son, en n'ayant égard qu'au mouvement des particules parallèlement à l'horizon, comme on le verra dans l'art. 9 de la section suivante. Les élévations z, au-dessus du niveau de l'eau, répondent aux condensations de l'air, et la profondeur x de l’eau dans le canal répond à la hauteur de l’atmosphère supposée homogène, ce qui établit une parfaite analogie entre les ondes formées à la surface d’une eau tranquille, par les élévations et les abaïssements successifs de l’eau, et les ondes formées dans l'air, par les condensations et raréfactions successives de l'air, analogie que plusieurs auteurs avaient déjà supposée, mais que per. sonne jusqu’ ici n'avait encore rigoureusement démontrée.
Ainsi, comme la vitesse de la propagation du son se trouve égale à à celle qu'un corps grave acquerrait en tombant de la moitié de la hauteur de l'atmosphère supposée homogène, la vitesse de la propagation des ondes sera la même que celle qu’un corps grave acquerrait en descendant d’une hau-teur égale à la moitié de la profondeur de l’eau dans le canal. Par conséquent, si cette profondeur est d'un pied, la vitesse des ondes sera de 5,495 pieds par seconde; et si la profondeur de l’eau est plus ou moins grande, la vitesse des ondes variera en raison sous-doublée des profondeurs, pourvu qu’elles ne soient pas trop considérables.
Au reste, quelle que puisse être la profondeur de l’eau (”), et la figure de son fond, on pourra toujours employer la théorie précédente, si l’on suppose que dans la formation des ondes l’eau n’est ébranlée et remuée qu'à une profondeur très-petite, supposition qui est très-plausible en elle-même, à cause de la ténacité et de l’adhérence mutuelle des particules de l’eau, et que Je trouve d’ailleurs confirmée par l’expérience, même à l'égard des erandes ondes de la mer. De cette manière done, la vitesse des ondes déterminera elle-même la profondeur « à laquelle l’eau est agitée dans leur formation; car, si cette vitesse est de 2 pieds par seconde, on aura
pieds.
On trouve, dans le tome X des anciens Mémoires de l’Académie des Setences de Paris, des expériences sur la vitesse des ondes, faites par M. de la Hire, et qui ont donné un pied et demi par seconde pour cette vitesse, ou plus exactement 1,412 pieds par seconde. Faisant donc
ñ = 1,412, on aura la profondeur « de —— de pied, savoir de — de pouce d d | 1000 * 10 Fo
OU 10 lignes à peu prés.
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