DU MOUVEMENT DES FLUIDES COMPRESSIBLES ET ÉLASTIQUES

4. Pour appliquer à cette sorte de fluides l’équation générale de l’art, 2 de la section précédente, on observera que le terme SA5L doit y être effacé, puisque la condition de l’incompressibilité à laquelle ce terme est dü n’existe plus dans l'hypothèse présente; mais, d’un autre côté, il y faudra tenir compte de l’action de l’élasticite, qui s'oppose à la compression et qui tend à dilater le fluide. |

Soit done £ l’élasticité d’une particule quelconque Dm du fluide ; comme son effet consiste à augmenter le volume DxDyDz de cette particule, et,

(*) L'hypothèse que fait ici Lagrange n’est pas admissible, même comme première approximaton. Voyez une Note à la fin du volume, (J. Bertrand.)

| SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 207 par conséquent, à diminuer la quantité — DxDyDz, il en résultera pour cette particule le moment — s0.(DxDyDz) à ajouter au premier membre de la même équation. De sorte qu’on aura pour toutes les particules le terme intégral — Ssô.(DxDyDz) à substituer à la place du terme SA5L. Or, ôL étant égal à d.(DxDyDz), il est clair que l’équation générale demeurera de la même forme, en y changeant simplement À en — s. On parviendra

donc aussi, par les mêmes procédés, à trois équations finales semblables aux équations (A), savoir, |

FAX 2. BE | A(x +X) De 0

dy à De .

d? z De AE +- Z)+5 0.

Et il faudra de même que la valeur de « soit nulle à la surface du fluide, si le fluide y est libre; mais s’il est contenu par des parois, la valeur de & sera égale à la résistance que les parois exercent pour contenir le fluide, ce qui est évident, puisque « exprime la force d’élasticité de ses particules.

2. Dans les fluides compressibles, la densité A est toujours donnée par une fonction connue de &, x, Y, 2, t, dépendante de la loi de l’élasticité du fluide, et de celle de la chaleur, qui est supposée régner à chaque instant dans tous les points de l’espace. Il y a donc quatre inconnues, #, X, Y, 3, à déterminer en #, et, par conséquent, il faut encore une quatrième équation pour la solution complète du problème. Pour les fluides incompressibles, la condition de l’invariabilité du volume a donné l'équation (B) de l’art. 3, et celle de l'invariabilité de la densité d’un instant à l’autre a donné l’équation (H) de l'art. 44. Dans les fluides compressibles, aucune de ces deux conditions n’a lieu en particulier, parce que le volume et la densité varient

à la fois; mais la masse qui est le produit de ces deux éléments doit demeurer mvariable. Ainsi on aura

d.Dm—o oubien d.(ADxDyDz) — 0.

, Re : . . d'A d.(DrDyD2z) e | Donc, en différentiant logarithmiquement Se EU DsDyDz O, et sub-

Méc. anal. Il, 38

stituant la valeur de d.(DxDyDz) (cette valeur est la même que celle de 5.(DxDyD2) de l’art. 2 de la section précédente, en y changeant d en à), on aura l’équation |

(b dA | Ddx , Ddy , Ddz e, SN NGDE S Dr DE laquelle répond à l'équation (B) de l’art. 5 de la section citée, celle-là étant

relative à l’invariabihté du volume, et celle-ci à l’invariabilité de la masse.

3. Si l’on regarde les coordonnées x, y, z comme des fonctions des coordonnées primitives a, b, c et du temps t écoulé depuis le commencement du mouvement, les équations (a) deviendront, par des procédés semblables à ceux de l’art. 5 de la section précédente, de cette forme,

d°x de de ml xs des D mo

d?y y dE y dE [AE

ou de celle-ei, plus simple, | Fix / d?y ;.\ dy {d?z dg dE | [Ce + x) + (or +1) + +2)a]+a= 0 | d° x dy d°?z dz c'e (d) a|( +X)g + (+ V4 + (+2 += o

d? x: dx te \ dzl. de (Een) (Et (get

ces transformées étant analogues aux transformées (C) et (D) de l'endroit cité. À l'égard de l’équation (b), en y appliquant les transformations de l’art. 3 de la section précédente, elle se réduira à cette forme,

dAÀ da 2 iQ

les différentielles dA et dû étant relatives uniquement à la variable #. De sorte qu'en intégrant, on aura AÛ — fonci. (a, b, c).

Lorsque { — o, nous avons vu dans l’article cité que Ÿ devient — 1; donc,

si l’on suppose que H soit alors la valeur de A, on aura

H — fonct. (a, b, c), et l'équation deviendra

| | Hu AÛ—H oubien 6—;; c'est-à-dire, en substituant pour 0 sa valeur,

dx dy dz dx dy dz dx dy dz

————— men —— = me am

did bdd Tdi dede.

€ ) dx dy dz dx dy dz dx dy dz H

Éd be ed da db da dupe

transformée analogue à la transformée (E) de l’article cité. Enfin il faudra appliquer aussi à ces équations ce qu'on a dit dans l’art. $ de la même section, relativement à la surface du fluide.

4. Mais si l’on veut, ce qui est beaucoup plus simple, avoir des équations entre les vitesses p, g, r des particules, suivant les directions des coordonnées x, y, z, en regardant ces vitesses, ainsi que les quantités A et <, comme des fonctions de x, y, z, t, on emploiera les transformations de l’art. 40 de la section précédente, et les équations (a) donneront sur-le-champ ces transformées, analogues aux transformées (F) de ce dernier article,

dp dp dp dp de (P+pe+aP+rE+X)+T= 0,

Qu DM y pd y de CF) APE ras er \+H=o,

Dans l'équation (&), outre la substitution de pdt, qdt, rdt, au lieu de dx, dy, dz, et le changement de D en d, il faudra encore mettre pour dA sa

valeur complète,

LA ON os da \ 4, M Cat TT rad Je

et l’on aura, en divisant par dt, cette transformée,

dA dA dA dA dp A Tam P TA IT ART a

laquelle, étant multipliée par A, se réduit à cette forme plus simple,

d'A d.(Ap) d.(Ag) d,(Ar) (g) DE GE NE Ge dd dre

À l'égard de la condition relative au mouvement des particules à la sur-

face, elle sera représentée également par l’équation (1) de l’art. 12 de la section précédente, savoir,

dA dA dA dA | | dre a de 9

dz en supposant que À — o soit l'équation de la surface.