RER MERE L

12. Comme les constantes a, b, ce et h sont arbitraires, on peut les supposer nulles;

on aura alors | rdr xx yAy

anrpanat

VH+MsENr VMz+Nz VMy ENy

ainsi la différentielle proposée est réduite à la différence de deux autres diflérentielles semblables dans lesquelles H — 0; ce qui revient au cas du théorème de M. Lambert. Mais on peut faire cette même réduction d’une manière plus générale en supposant

h=—R & a+bx+e+ Matt Nat= (rh) [14 M(x +4) N(x + A} ce qui donne

a+ bx + ex = {x —k) + Mk(a—R)+N(— ok uk), et par conséquent

a= Uk ME+NE, b——oûk, c=l+Mk-2NEk; de cette manière, si l’on fait, pour abréger,

| rdr >. x' dx’ y'dy’ YH+MrENr W+Ma Nr” Y+My Nr”

et supposant /— o, ce qui donne

a=—MARENA, b=o, c—Mk—oN#, Mée. anal, II, 4

on aura les mêmes formules que ci-dessus, mais avec cette différence que les variables x'

et y! contiendront encore la constante arbitraire X.

13. Je vais faire voir maintenant que l'équation entre u et r du n° 11 est celle d’une ellipse dans laquelle r serait le rayon vecteur partant d’un des foyers, et où w serait un autre rayon vecteur partant d’un autre point fixe quelconque placé dans le plan de l’ellipse ou non.

En nommant, comme plus haut, p le paramètre, e l’excentricité, r le rayon vecteur, £ et n les coordonnées rectangles, on a, comme l’on sait, cette équation à l’ellipse

r+eË=p;

d'où l’on tire, à cause de r°= E?+ »,

p—r ___V—p+apr=(i—&)r

Soient maintenant &, 5, 7 les coordonnées rectangles qui déterminent la position du centre des rayons vecteurs uw, on aura évidemment Po savoir = ri—ouf — 2{5n + 0; en faisant, pour abréger,

et substituant pour £ et n leurs valeurs en r,

2 2 2 = Fr + Sr E + 0? — Ter 2pr—(1—e)r*.

Gette expression de 4° en r est, comme l’on voit, tout à fait semblable à celle du n° 4,

et comparant les termes homologues, on aura

24 __4B 2aP sv À AH fr CET re CU Tee 2M f’p AN pire) Ge "C e

et ces cinq équations serviront à déterminer les cinq quantités p,e, &, 6, y, dont les deux premières déterminent l’ellipse, et dont les trois dernières déterminent la position du centre des rayons w par rapport au plan de l’ellipse et au foyer des rayons r..

Dans ce cas, le radical VH + Mr+Nr? devient

a a a EE V—p'+2pr (1—e)r?,

ou, nommant Je demi-grand axe x, et mettant — à la place de 1 — e*, T

C6 Vp Encls Rss, 26 P |

de sorte que la différentielle "7" deviendra : VH + Mr+Nr

2e rdr

rire / J—r+ar—

c'est-à-dire proportionnelle à l'élément du temps dans la même ellipse (n° 4).

Donc on peut représenter ce temps par la différence de deux expressions de la forme

(+ h)dz

a+ bstes+ D Z° —— —

les quantités a, b, c, h étant des constantes arbitraires, et la variable z étant dans l’une des deux expressions la somme, et dans l’autre la différence de deux rayons vecteurs de Vellipse, dont l’un parie à l'ordinaire du foyer, et dont l’autre parte d'un point fixe quelconque dépendant des constantes a, b, c.

14. Si l’on suppose que le centre des rayons w tombe sur la circonférence même de l’ellipse, alors on aura y — o, et entre &, 5 la même équation qu'entre £ et n; ainsi il faudra

; — 0 substituer P

à la place de «, et > — (=) à la place de 5 dans les formules du (22

n° 13; mais comme ces substitutions mènent à des formules un peu compliquées, voici une manière plus simple et plus directe d’analyser le cas dont il s’agit.

Je remarque qu’en faisant r — d (d étant — Vo + B*+ y? par le n° 15, et par conséquent égale à la distance du centre des rayons w au foyer des rayons r) on doit avoir u—0, et par conséquent x = y {n° 11). |

Je reprends maintenant les deux formules du n° 9, dans la première desquelles je donne le signe — au radical VX, conformément à ce que J'ai dit dans le même numéro : M+oNr — 2 (B + Cx) (A + Br + Cs) = — VX, Mes Nrs (B+ Cry) (A+ Br + Cs) — VY; soustrayant la première dela seconde, j'ai celle-ei —2C(y—x) (A+ Br+ Cs) — VY + VX,

et il faudra qu'en faisant r — d on ait x — y; par conséquent, à cause de = x +,

L—=—-) = es 2 Y 2

sont deux valeurs de x et de y qui doivent satisfaire à l'équation précédente. Or, par ces suppositions, le premier membre devient nul, et le second devieat 4 C VA en supposant 5 à D) | a 8 @) 4 A=a+b-+cl-) +MI-) +N(-), 2 2 \2) 2

° e [2 ? d L] L] 4 La | donc on doit avoir À — o; par conséquent — doit être une racine des équations semblables 2 | |

Nais cela ne suffit pas encore pour satisfaire à l'équation ci-dessus; il faut encore qu’en ER \ 9 » Ô 2 » . L e supposant x et y très-peu différents de = l’équation puisse subsister, et donne une rela-

üon possible entre x et y; donc il faudra qu’en faisani Le : + —= ? +

se PRES Ed J 2 à

et regardant y et y comme très-petites, on ait une équation possible entre u et v. Or faisant ces substitutions, et rejetant les termes du second ordre, on a, en supposant

d A nn ess un idd”

—(4a+B3+%) (op) = VA A + VA A:

mais À — 0, donc l’équation devient

laquelle étant divisée par Vu + V dl, donne

—(Aa+B3+0T) (Vo — Va) = VA:

done la quantité VA doit être infiniment petite de l’ordre Vv; done 4 doit être — 0. be y E | De là il est aisé de conclure, par la théorie connue, que — doit être une racine double de l’équation X = o, ainsi que de l'équation Y — 0.

De sorte que les quantités X et Ÿ seront de la forme d 3 X — (a — :) ({<+ mx + nax°),

Ÿ = (7°) (+ my + ny°),

où, ce qui revient au mème, de la forme

Y=4iC =) lan hlelss ; Si PT PT, TT, |

et comparant cette forme avec la forme générale des quantités X et Ÿ du n° 10, on trouvera | a.

ne IN, m — M, l=c+N=+N …

de sorte que la constante / demeurera arbitraire, à cause qu’elle contient l'arbitraire c.

On aura donc précisément le cas du n° 12 en prenant # — 2; de sorte qu’en supposant de plus /— 0, on aura rdr __ x'dz’ y'dy’ | VAE Mr ENT VMaENe® VMy ENy® savoir (n° 13)

rdr z' dx’ y'dy’

r°? fax! x’? / : y"?