DU MOUVEMENT DES PLANÈTES ET DES COMÈTES AUTOUR DU SOLEIL
8. Lorsqu'on ne considère que le mouvement d’un corps isolé, on peut
l MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
supposer sa masse m égale à l'unité, et l’on aura simplement
[ — HR RS A ee Se “ 9 V — IT, 2 dt
OV — Rôr + Q5g + Pôp + ....
Dans ce cas, quelles que soient les trois coordonnées qui déterminent le lieu du corps dans l’espace, comme elles sont indépendantes, elles donneront trois équations différentielles de la forme
ne OR ON ÉCART
auxquelles on pourra joindre l'équation du premier ordre TrErVe H,
qui tiendra lieu de l’une d’entre elles.
Si le mouvement se faisait dans un milieu résistant, en désignant la résistance par R, il n’y aurait qu’à ajouter à la valeur de 5 V les termes (sect. fl, art. &)
dx dy de S\.
mais l'équation LT + V = H n'aurait plus heu.
4. Supposons que le corps m soit attiré vers un centre fixe par une force R fonction de la distance r du corps au centre, on aura simplement
Ve KRCOr.
Prenons la distance r pour l’une des coordonnées du corps, et prenons, pour les deux autres, l’angle À que le rayon vecteur r fait avec le plan des x et y, et l'angle @ que la projection de r sur ce plan fait avec l’axe des x; en plaçant l’origine des coordonnées rectangles x, y, z dans le centre des rayons 7, de manière que l’on ait
r = a+ y + 2, on trouve facilement
x — rcosdcos®, y —rcosdsme, z—rsind,
et de là r° (cosd° do? + dd?) + dr? … ie Rs V—/fRar.
On aura donc ces trois équations différentielles relatives à r, 4, ©,
GT. 27 av Sade. dr gr QU, : 0 1 2 dd LILAS LEE dd UT 7
LE
d lesquelles deviennent
dr r{cos do + di”)
DC die a nie r° d r° sinŸ cosŸ de?
de 4 La Fe LE = se r°cos Ydo
et l'équation Ÿ + V — H donnera tout de suite cette première intégrale,
r* (cos”ddo® + dd?) + dr° dt?
+ 2 fRdr — 2 H,
dans laquelle H est une constante arbitraire.
5. La dernière des trois équations différentielles est intégrable d’ellemême ; son intégrale est r? cos d do 7, dt ne
C étant une constante arbitraire ; et la seconde devient intégrable en y sub-
EE e do € se : — stituant pour — sa valeur co tirée de celle-ci, et en la multipliant par 2r° dA\}; intégrale est | r' di? C2 Ég dé cos’ 4 E”,
À étant une nouvelle constante arbitraire.
, ; . Lu ° 7? S dy Je remarque d’abord sur cette intégrale que, si l’on suppose que et 7
Da
soient nuls à la fois dans un instant, ils seront toujours nécessairement nuls ;
d Là ; car, en faisant pour un instant | — o et e — 0, la dernière équation donne C°— F?, et elle devient, par la substitution de C? au lieu de E?,
r* dd?
ee + C'tang*d — 0,
laquelle ne peut avoir heu qu’en faisant
dd
