PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE. l8l

Or les côtés deviennent, par la variation,

et les cosinus de a, ^, 7 deviennent infiniment petits ; ainsi, en substituant ces valeurs au lieu de a, b, c, et négligeant les infiniment petits des ordres supérieurs au premier, on aura, pour la variation de dxdydz^ la même expression qu'on vient de trouver.

Mais quoique cette dernière hypothèse soit légitime, nous ne voulons pas l'adopter sans démonstration, pour ne rien laisser à désirer sur l'exactitude de nos formules. Nous allons donc chercher, d'une manière rigoureuse, la variation de dxdydz^ en ayant égard à la fois au changement de position et de longueur de chacun des côtés d'un parallélipipède rectangulaire, et en supposant seulement, ce qui est exact dans l' infiniment petit, que ces côtés demeurent rectilignes.

12. Pour simplifier cette recherche, nous commencerons par ne considérer qu'une des faces du parallélipipède de dxdydz\ par exemple, la face dxdy^ dont les quatre angles répondent à ces quatre systèmes de coordonnées,

(0 ^) J» 2, (2) a?-h cte,7, z, (3) 07, j-hrfr, s, (4) x-^r-dx, y-hdy, z.

Supposons que les coordonnées a?, j, z du premier système deviennent oc 4- Sx, y -h <Jy, z -f- Sz, et regardons les variations Sx, Sy, Sz comme des fonctions infiniment petites de 00, y, z; en faisant croître successivement les Xj y, de leurs différentielles dx, dy, on trouvera ce que doivent devenir simultanément les coordonnées des trois autres systèmes. Ainsi, en marquant par les mêmes numéros les systèmes variés, on aura

(1) x-hSx, j-hjy, z-hSz,

(2) x-^dx^Sx^^dx, j-+-iy + ^^, z-hSz-i-^dx,

(3) x-hêx-^^-^dy, y + dy-hSy-+-'^dy, z^Sz^-^dy,

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