PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE

Si Ton dénote par r la densité du sphéroïde supposé homogène, il faudra multiplier cette expression de 2 par r ; et si Ton suppose que le sphéroïde ait un autre sphéroïde pour noyau, dont la densité soit différente, il n'y aura qu'à y ajouter la valeur de 1 relative à ce nouveau sphéroïde, multipliée par la différence des densités. Ainsi, en marquant par un trait les quantités relatives au sphéroïde intérieur, et supposant que sa densité soit r 4- r', on aura pour la valeur totale de 2,

23. Supposons que le point attiré par le sphéroïde soit en même temps sollicité par trois forces représentées par /x^ gy et hz dirigées suivant les coordonnées x^ y et z, et tendantes à les augmenter, on aura — fxdx^

— Sï^y ^' — hzdz pour leurs moments, et il en résultera les termes

— — ^ — à ajouter à la quantité 2 pour avoir la valeur de II, due

à toutes les forces qui agissent sur le même point. Ainsi l'équation de l'équilibre sera

2 — ^ ^~ = const.

24. Pour appliquer maintenant ces formules à la question dont il s'agit, on supposera que le sphéroïde extérieur est la mer, dont la densité est r, et que le noyau intérieur est la terre, ayant la densité r -+- r', et l'on placera le point attiré à la surface de la mer, en faisant coïncider les coordonnées .r, j, z de ce point avec les coordonnées a, fc, c de la surface du sphéroïde extérieur. On aura alors, pour que cette surface soit en équilibre, l'équation

Fin -4- r'm' Tm (e* + i«) -f- T'in' (e* -h «'*) /x*

= const.

igO MECANIQUE ANALYTIQUE.

Cette équation, dans laquelle r = y/a:--{-j*4- z^, donne la figure de la surface ; mais nous avons supposé dans les formules de Fart. 10 de la sect. V que cette surface est représentée par l'équation

jr' 2:1 f!

en prenant ici x^ y, z au lieu de a, 6, c; donc il faudra que ces deux équations coïncident.

Tirons de celle-ci la valeur de r en j et z, et, pour cela, substituons dans

r- = a:- 4- j^ + z% pour x' sa valeur A^ ^v r?- > on aura, en mettant pour B^ et C* les valeurs A^ + e*, A^ + P (article cité),

d'où Ton tire, en rejetant les puissances de e et i supérieures à e^ et /*, aux quelles nous n'avons point égard ici.

On substituera donc cette valeur de - , ainsi que celle de x^, dans la pre-

inière équation, et rejetant toujours les termes qui contiendraient e*, i*, 0', /% etc., on aura

rnn-r'm' rin(e''-+-*')4-r'm'(e'»4-i''') /A'

rme- + r'm'ft" g fk^ (Fin -t- r'in')e'