PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE

soit considéré comme solide, et que le noyau soit augmenté de toute ia niasse du fluide devenu solide.

Gomme ce théorème de Statique est important, nous croyons devoir montrer d'une manière plus directe comment il se déduit de nos formules.

Tout se réduit à démontrer que l'équation

S(X^^ -h YSn -+- ZSOTdxdydz = o donne les mêmes résultats que l'équation aux limites

S?^{S^'(fydz ■+- Sti'dxdz -h Sl:;'dvdj) = o.

Par les conditions de l'équilibre du fluide, on a (art. 19)

ax dy dz^

et, comme les valeurs de ^0, J"», ^X^ (art. 35) sont respectivement indépendantes de x^ /, z, on aura aussi

ainsi la première équation deviendra

Le premier terme sous le signe est intégrable par rapport à j?, le deuxième par rapport à j, le troisième par rapport à z ; donc, si l'on exécute ces intégrations partielles, comme on l'a fait dans l'art. 17, il en résulte l'équation aux limites

— S^!{^^'dydz -h Udxdz H- ^l^'dxdy) = o.

Mais on a A'"" = o (art. 23) à cause que la sur&ce extérieure du fluide est supposée libre ; donc il ne restera que l'équation

Sx'iS^'dydz H- Udxdz + SCdxdj) = o.

Ainsi les deux équations reviennent exactement au même.

57. Puisque, relativement aux variations dépendantes du déplacement du noyau, on peut regarder le fluide qui le recouvre comme s'il ne faisait qu'une masse solide avec lui ; lorsque tous les points du noyau seront aussi sollicités par des forces quelconques, il n'y aura qu'à tenir compte de ces forces, comme de celles qui sollicitent les particules du fluide, et appliquer à l'équilibre de la masse composée du fluide et du solide, comme si elle ne formait qu'un solide continu, les solutions données dans le chap. IV de la sect. V.

§ IV. — De r équilibre des fluides incompressibles contenus dans des "vases.

58. L'équation générale aux limites de l'art. 27 doit se vérifier pour tous les points des parois du vase dans lequel le fluide est renfermé.

Mettons cette équation sous la forme

^y!'tx''—>!^x')dxdz

s{?^'By'—x'By)dxdz

s {?,"^z" — A'Sz') dxdy = o,

et considérons d'abord les termes S{?^'$z" — ?^'Bz')dxdy, dans lesquels oz'' et 8z' sont les variations de l'ordonnée z, en tant qu'elle se rapporte aux deux points de la surface du fluide qui répondent aux mêmes coordonnées X et j.

Il est évident que les variations tz" tendent à faire sortir les particules de la surface hors de la masse fluide, et que les variations tz\ en les suppo-

sant toutes deux positives, tendent à faire rentrer dans cette masse les particules de la surface opposée; de sorte qu'en donnant à celle-ci le signe négatif, les variations ^z" et — 8z' tendront également à faire sortir hors de la masse fluide les particules de la surface ; et la double intégrale

représentera la somme de toutes les quantités hlzdxdy qui répondent à tous les points de la surface du fluide, et dans lesquelles les variations Sz seront censées avoir la même tendance du dedans de la masse fluide au dehors : ainsi, avec cette condition nous pouvons donner à cette intégrale cette forme plus simple ^>Xzdxdy.