PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT, DÉDUITES DE LA FORMULE PRÉCÉDENTE
1. Considérons un système de corps disposés les uns par rapport aux autres et liés ensemble, comme Ton voudra, mais sans qu'il y ait aucun point ou obstacle fixe qui gêne leur mouvement; il est évident que, dans ce cas, les condititions du système ne peuvent dépendre que de la position respective des corps entre eux; par conséquent, les équations de condition ne pourront contenir d'autres fonctions des coordonnées que les expressions des distances mutuelles des corps. Cette considération fournit, pour le mouvement d'un système, des équations générales indépendantes de la nature du système, et analogues à celles que nous avons trouvées pour l'équilibre dans le § I de la sect. III de la I" partie.
§ L — Propriétés relatwes au centre de gravité.
2. Soient x\ /, z' les coordonnées d'un corps quelconque déterminé du système, tandis que x^ y^ z représentent, en général, les coordonnées d'un autre corps quelconque. Faisons, ce qui est toujours permis,
il est visible que les quantités x\r\ z n'entreront point dans les expressions des distances mutuelles des corps, mais que ces distances ne dépendront que des différentes quantités ^, w, ^, qui expriment proprement les coordonnées des différents corps, rapportés à celui qui répond à a:', j', z'; par conséquent, les équations de condition du système seront entre les seules variables ^, w, Ç, et ne renfermeront point x\y\z' .
Donc, si dans la formule générale de la Dynamique (art. 5 , section précédente), on réduit toutes les variations à tx^ 8f, Sz, et qu'on substitue pour Sor, Sj, 8z, leurs valeurs Bx'-h 8^, Sj'h- Su, 8z'-h S^, les variations 8x\ ^/'> ^^' seront indépendantes de toutes les autres, et arbitraires en ellesmêmes ; ainsi, il faudra égaler séparément à zéro la totalité des termes affectés de chacune de ces variations, ce qui donnera trois équations générales et indépendantes de la constitution particulière du système.
Les forces intérieures par lesquelles les corps pourraient agir les iins sur
les autres, et que nous dénotons par P, Q, etc., comme dans Fart. 2 de la sect. III de la I"* partie, n'entreront point dans ces équations, parce que les
distances mutuelles/?, qr, etc. , étant indépendantes de x\ y', z', les variations
S/;, 8(jr, etc., relatives à ces variables, seront nulles.
A regard des forces extérieures P, Q, R, etc., si on les réduit aux trois forces X, Y, Z, dirigées suivant les coordonnées x^ y^ z, et tendantes à les diminuer, d'après les formules données dans le chap. I de la sect. V de la r® partie, on a
VZp 4- Q8y H- RSr + . . . = XSx -h Y«j + ZSz, et la formule générale devient
laquelle, en n'ayant égard qu'aux variations Sa:', 8j', Sz', qui sont indépendantes de toutes les auti'es, donnera
ax'S(^-hX)m-h8/s(^-f-Y)m + az'S(^H-Z)in = o,
d'où l'on tire sur-le-champ ces trois équations :
lesquelles auront toujours lieu dans le mouvement d'un système quelconque de corps, lorsque le système est entièrement libre.
3. Supposons maintenant que le corps auquel répondent les coordonnées x\y\ z' soit placé dans le centre de gravité de tout le système. On aura, par les propriétés connues de ce centre (part. I, sect. III, § IV) , les équations
S^m = o, Swm = o, S^m=o,
lesquelles, en différentiant par rapport à t, donneront celles-ci :
^'dF^'^^' S2rrm = o, S-^m = o.
Donc on aura
parce que x' ayant la même valeur pour tous les corps, est indépendante du signe S ; on aura pareillement
Ainsi les trois équations de Tarticle précédent prendront cette forme plus simple :
-jj- Sm + SXm = o,
-^ Sm + SYm = o,
-jY- Sm -h SZm = o.
Ces équations serviront à déterminer le mouvement du centre de gravité de tous les corps, indépendamment du mouvement particulier de chacun d'eux; et, comme les valeurs de SXm, SYm, SZm ne renferment point les forces intérieures du système, le mouvement de ce centre ne dépendra point de l'action mutuelle que les corps peuvent exercer les uns sur les autres, mais seulement des forces accélératrices qui sollicitent chaque corps. C'est en quoi consiste le principe général de la Conservation du mouvement du centre de gravité.
Ce principe subsiste aussi dans le cas où les corps, dans leurs mouvements, viendraient à se choquer; car, de quelque nature que soient les corps, on peut toujours imaginer que leur action dans le choc se fasse par le moyen d'un ressort interposé entre les corps, et qui, après la compression, tende à se rétablir ou non, suivant que les corps seront élastiques ou non. De cette manière, l'effet du choc sera le produit de forces de la nature de celles que
nous avons désignées par P, Q, etc., et qui disparaissent dans la formule générale (art. 2).
4. On voit, au reste, que les équations du mouvement du centre de gra-
Méc. anaL I. 3i
vite sont les mêmes que celles du mouvement d'un seul corps qui serait animé à la fois par toutes les forces accélératrices qui agissent sur les différents corps du système. En effet, si l'on conçoit que tous ces corps soient réunis en un point qui réponde aux coordonnées a?', j', z', on a alors, dans la formule générale, a? = a?', j ==/', z = z'; et, égalant à zéro la totalité des termes affectés de chacune des trois variations Sa?', 8j', 8z', on aura les mêmes équations que ci-dessus.
De là résulte ce théorème général, que le mouvement du centre de gravité d'un système libre de corps y disposés f les uns par rapport aux autres, comme l'on "voudra, est toujours le même que si les corps étaient tous réunis dans un seul point, et quen même temps chax^un d* eux fût animé des mêmes forces accélératrices que dans leur état naturel.
5. Ce théorème a encore lieu lorsque les corps qui composent un système libre ne reçoivent que des impulsions quelconques ; car, en substituant dans l'équation de l'art. II de la section précédente, 8x'+ 8Ç, Sj'-h Sw, Iz' -+- SÇ' à la place de Sa?, Sj, Sz, et réduisant les forces P, Q, R, etc. , aux forces X, Y, Z, on prouvera, comme dans l'art. 2, que les variations Sa?', ^y\ Bz^
doivent demeurer arbitraires, ce qui donnera les trois équations
S(ma? -hX) is=o, S(my-HT) =2îo, S(mz-hZ):^o.
Or, si l'on rapporte les coordonnées a?', j', z' au centre de gravité du système, on a, par les propriétés de ce centre,
a;'Sm=Sa?m, j)<*'Sm=: S/m, z'Sm = Szm.
Donc aussi, en différentiant relativement à t, et faisant dx = xdty dy = ydt^
dz=^zdt^ dx'=ix'dt^ dy'=:y'dt^ dz' = z'dt^
a?'Sm = Sa?m, y'Sm s= Sjm, z Sm = Szm, et, par conséquent,
a?'SmH-SX = o, j'Sm-i-SY = o, zSm4-SZ=o,
ce qui fait voir que les vitesses x\ y , z', imprimées au centre de gravité, sont les mêmes que si tous les corps, étant réunis dans ce centre, recevaient à la fois les impulsions X, Y, Z,
6. La formule générale (art. 2), après la substitution de S^'h-SÇ, Sj'-h Sw, Sz'-h S^à la place de Sjî, Sj, Sz, et F évanouissement des termes aifectés de Sa:', âj', Sz', se réduira à
Substituant a;'-h ^, j' -h w, z' -h ^pour ^, j, z dans les différentielles d^x, d^X, d^Zj et faisant sortir hors du signe S les différentielles d^x\ d^y\ d^z' ^ les termes affectés de ces différentielles seront
??-SS?m H- ^SSwm + ^SS^m.
Mais en rapportant au eentre de gravité les coordonnées x\ y\ z^ on a
(art. S)
S^m =^ o, Swm == o, S^m =? o ;
donc aussi, en difTérentiant par %^ on aura
S8f m = o, SSifm = o, SS^m = o,
ce qui fait évanouir les termes dont il s'agit. Ainsi la formule générale se réduira à
qui est tout à fait semblable à la première formule, les coordonnées ^, j, z, dont l'origine est fixe dans l'espace, étant changées en f , >», ^, dont Torigine est au centre de gravité.
On peut conclure de là (*), en général, que, dans un système libre, on aura y par rapport au centre de gravité, les mêmes équations et les mêmes propriétés que par rapport à un point fixe hors du système.
( * ) Cette conclusion est trop absolue. L*équation difFcrentielle qui lie ^ , 19 , Ç est , en effet , de même forme que celle qui lie x, /, z; mais 9 d'une part , les équations de liaison entre Ç , y] , Ç ne seront pas les mêmes qu'entre x, /, z, et, en outre, les forces X, Y, Z n'auront pas des expressions de même forme par rapport aux deux systèmes de variables. Ainsi , par exemple , si Ton considère deux points qni s'attirent mutuellement avec une force réciproquement proportionnelle au carré de la distance, ils décriront des ellipses par rapport aux axes mobiles passant par le centre de gravité. Par rapport à des axes fixes, les traject<»re8 seraient beaucoup plus compliquées. (/. Bertmmi, )
§ II. — Propriétés relatives aux aires.
7. Considérons maintenant le mouvement du système autour d'un point fixe, et supposons qu'il soit entièrement libre de tourner en tout sens autour de ce point. En faisant abstraction des mouvements respectifs des corps du système les uns à l'égard des autres, la rotation autour de chacun des trois axes des ^, j, z fournira, comme on l'a vu dans l'art. 8 de la sect. III de la r* partie, les expressions suivantes des variations ^x^ Sy^ S^z,
Sx = zS'cà — J^^, Sy = xS(p — ziJ'^î <rz=j<r4 — xS^a>y
dans lesquelles «Tcp, Scoy ^4 s^"' '^^ rotations élémentaires par rapport aux trois axes des z, j, x, et qui doivent demeurer arbitraires.
Ces expressions sont générales pour les variations des coordonnées de tous les corps du système, et il ne s'agira que de les substituer dans la formule de l'art. 5 de la section précédente, après avoir réduit toutes les variations à Sxj (Jy, Szy et d'égaler ensuite à zéro séparément les quantités affectées des trois indéterminées J^^, (Tw, S^^.
On trouvera d'abord, comme dans l'article cité de la première partie, que
la variation Bp devient nulle, et qu'ainsi les termes dus aux forces intérieures P du système ne renfermant point les variations 8ç, 8û), §4? ne donneront rien dans les équations dont il s'agit. On trouve aussi, comme on l'a vu dans le même article, que la variation Bp est nulle lorsque la force P tend vers l'origine des coordonnées, et qu'ainsi cette force n'entrera point dans les mêmes équations.
En faisant donc simplement pour Bx, 8/, 8z les substitutions indiquées, après avoir changé les forces P, Q, R, etc., en X, Y, Z, comme ci-dessus (art. 2), on aura, relativement aux variations Sç, 8û>, §4» l'équation
( ^-i h Xz — Zo? j Sû> ) m = o ;
et, comme les variations 8(p, 84» ^^ sont les mêmes pour tous les corps du
système, elles n'entreront pas sous le signe d'intégration S; de sorte qu'on aura les trois équations relatives à chacune de ces variations ,
S( d^X d^Z V ryN
^{r'^--"^+rZ
Y im = o.
Ces équations auront lieu à la fois lorsque le système aura la liberté de tourner autour de chacun des trois axes, c'est-à-dire toutes les fois que le système sera disposé de manière à pouvoir pirouetter librement en tout sens autour du point fixe qui est l'origine des coordonnées.
Et il est bon de remarquer que ces équations ont toujours lieu indépendamment de l'action mutuelle des corps, de quelque manière que cette action puisse s'exercer, même par le choc mutuel des corps du système, comme dans l'art. 3, et par la même raison ; elles sont, de plus, indépendantes des forces qui tendraient vers le point fixe où est l'origine des coordonnées.
8. Pour se former une idée plus nette de ces équations, on remarquera:
1**. Que les quantités xd^y — yd^^^ zd^x — xd^z^yd^ z — zé/^jsont les différentielles de celles-ci, xdy — y^dx^ zdx — xdz^ydz — zdy^ lesquelles représentent le double des secteurs élémentaires décrits par le corps m sur le plan des x^ j, des a:, z et des j, z, c'est-à-dire sur les plans perpendiculaires aux axes des z, des j et des x. En effet, si dans xdy — ydx on substitue pour X et y les valeurs pcosç, psin^, on a p^rfç double de l'aire comprise entre le rayon vecteur p et le rayon consécutif qui fait avec lui l'angle d(p ;
a"". Que les quantités X, Y, Z représentent les forces qui sollicitent chaque corps m, suivant les coordonnées a?, jj -> et vers leur origine, et qui résultent de toutes les forces P, Q, R, etc., agissantes sur ce corps, suivant des directions quelconques (art. 5, sect. 11)^ et qu'ainsi les quantités jX — ^Y, xTj — zX, zY — yTj expriment les moments des forces qui tendent à faire tourner les corps autour de chacun des trois axes des coordonnées z^y^x^ en prenant le mot moment dans le sens ordinaire, pour le produit de la force et de la perpendiculaire menée sur sa direction.
2^6 m^CANIQUE ANALYTIQUE.
9. Si le système n'était animé par aucune force extérieure, ou s'il Tétait seulement par des forces tendantes au point que nous avons pris pour l'origine des coordonnées, les trois équations précédentes se réduiraient à celles-ci :
lesquelles, étant intégrées par rapport à la variable f , donneront, en prenant trois constantes arbitraires A, B, G,
Ces dernières équations renferment évidemment \e principe des aires, dont nous avons parlé dans la première section.
10. Il est à propos de remarquer que ces équations sont dans le cas de l'art. 10 de la section précédente ; de sorte qu'on y peut introduire trois nouvelles constantes arbitraires, parle changement des axes des coordonnées.
Soient x' ^ j', z' les nouvelles coordonnées ; on aura également
ç^ ( z'dx' —x'dz'\ p,
^V '^ jin = B,
les quantités A^ B , C étant aussi des constantes arbitraires, mais différentes de A, B, G.
Substituons maintenant dans l'expression xdy — ydx les valeurs de x, j,
SECONDE PAUtlE. — La DYNAMIQUE. a^y
en x' ,y' , z' données dans l'article cité de la même section, on aura
xdy — ydx= («p'— |3«') {x'df — fdx') H- (7«'— «>') {z'dx'^ x'dz') H- {/Sy'— y^') {y'dz'^ z'tfy').
On trouvera de même,
zdx — xdz = {pu"— a^") {x' dy' — y' dx') 4 (a/ ;.«') (z'^'— a;'^z') H- (7^"— py") (j'eiz' — z'dy'),
ydz — zdy = («'|3"— p'a") (*'rfr'— /dir') .
, {y' a"— a! y") {z' dx' — x'dz') H- {y' ^'' — ^'y") {y' dz' -^ z' dy' ) .
Si l'on affecte tous les termes de ces équations du signe S, après les avoir multipliées par m et divisées par di^ et qu'on y substitue à la place des intégrales affectées de S, leurs valeurs A, B, G, A', B', G', on aura
C = («p' — p«')G' H- (y«' — «y)B' -h (p>' — >p')A', B = {^" - oc^")C' + («7" -7«")B' -h {yf - P>") A', A= («'p"- pV)G'-h (/«"- «'7'')B'-h (>T- ^'>")A'.
On peut réduire ces formules à une expression plus simple, en observant que l'on a identiquement
(«P'- ^oc'y-h (pa"- «p")»+ («'p'^-p'a")* = («» -h «"-h «"») (p*-h |3'* -h p''*)-- (a|S+ «'p'-h a"|3^)%
quantité qui se réduit à l'unité, en vertu des équations de condition de l'art. 10 de la sect. III de la P partie. On a, de plus, ces équations identiques :
«(«'|3'— p'O H- a'i^ec"-- a^") + «"{«^'—^a') ^ o, /3(«'|3"- p'O H- p'(P«"- «p") -h |3"{«|3'- /3«') = o.
Si donc on compare ces équations avec les trois équations de condition
y^ -\- y'^ -\- y"* = i , «y -^ a' y' -\- a" y" = o , ^y-\- ^'y' -h fy" = o, il est facile de conclure de cette comparaison qu'on aura
«'P"-pV = 7, ^a" - a^" = y' , «a' - Pcl' = y" .
Les quantités 7, y\ y" pourraient avoir également le signe — ; mais comme, dans la coïncidence des axes des x\ j', z' avec ceux des a?, j, z, on doit avoir a = i, |3 = o, 7= o, a' = 0,^'= i , y'= o, «'"'= o, |S''= o, y'^ = I (art. 1 1 , sect. III, partie I), cette condition ne peut avoir lieu qu'en prenant y*' positivement, et par conséquent aussi 7' et 7.
On trouvera, de la même manière,
y' Cl"— aV= /3, oLy" —yoL"= j3', ya — ocy' = ^\ 7'/3''-/3V = «, y^'-^y'=oc', ^y-y^'=a';
de sorte que l'on aura
A = a.V -hpB' +7C',
d'où Ton tire, par les équations de condition de l'art. 10 (sect. III, partie I),
A'= Aa + Ba' + Ca^
et
A^ + B^ + C' = A'^ + B'^ + C ^ Il résulte de cette dernière équation qu'on a, en général,
-H'^^^^f^H ^H'^^^^^^yj M^^^^^^^hJ '
d'où l'on peut conclure que la fonction
[s (îi-2±)„] V [s (î^^ii:*)™] V [s (^-^i^) .]•
a toujours une valeur indépendante du plan de projection et de la position des axes des coordonnées a?, j, z dans l'espace, pourvu que ces coordonnées soient rectangulaires entre elles.
H. Ces expressions de A, B, C, en A', B', C qu'on vient de trouver, sont semblables à celles de a:, j, z en x\ j', z' de l'art. 9 de la section précédente; par conséquent, si Ton prend a?' = A', j'= B', z =C, on aura A = ,r, B = y, C = 2, et réciproquement ^=A,j = B, 2 = donnera A^= x\ B'= /', C' = z' ; c'est-à-dire que A, B, G et A', B', C seront deux systèmes de coordonnées qui répondent à un même point, le premier étant relatif aux axes des x^ j, z, et le second aux axes des x\ jr\ z\
On voit tout de suite par là qu'on peut faire A'= o, B' = o, en faisant passer l'axe des G' ou z' par le point auquel répondent les coordonnées A, B, G, et qu'alors la coordonnée G^ aura sa plus grande valeur égale à
\/(A^H- B*H-G'). On aura, dans ce cas,
et il est Êicile de voir que les coefficients y, y\ y'^ ne seront autre chose que les cosinus des angles que la ligne C^ fait avec les axes des A, B, G. Ainsi la résolution des écpiations
^\ dt )"* = «'
(r'dz'—z'dy'\
donnera celle des équations
S iJ-^j^^ m = 7C',
les quantités 7, y\ y" étant trois constantes telles que >^-+- 7'^ + y"'^ = i ? et dont deux sont arbitraires.
Le plan perpendiculaire à l'axe des G', lorsque G' devient un maximum, est celui que M. Laplace nomme /^/a/^ in^fariahle, et dont il a, le premier, démontré l'existence et la position.
Méc, anal. I. 32
25o MECANIQUE ANALYTIQUE,
Cette position est facile à déterminer par les équations
car, puisque les quantités 7, y\ y" sont les cosinus des angles que l'axe des CI ou z\ qui est perpendiculaire au plan invariable, fait avec les axes des .r, y, z du système, en nommant ces angles /, m, n, on aura, à cause de
cos/n^-T 1 cosm= r— > COS/2 =
12. Si le système est libre, c'est-à-dire qu'il n'y ait aucun des points du système qui doive être fixe, on peut prendre l'origine, supposée fixe, des coordonnées a?, j, z partout où l'on voudra; par conséquent, les propriétés des aires et des moments que nous venons de démontrer auront lieu par rapport à un point fixe quelconque pris à volonté dans l'espace. .
Mais, par ce que nous avons démontré dans l'art. 6, ces mêmes propriétés auront lieu également par rapport au centre de gravité de tout le système, soit que ce centre soit fixe ou non. En effet, si dans les trois équations de l'art. 7, on substitue pour x^ j, z les quantités a:' H- 0,y'H- w, z' -\- ^, en rapportant, comme dans l'art. 3, les coordonnées .r', j', z' au centre de gravité du système, et qu'on ait égard aux trois équations de ce dernier article, on aura ces transformées :
qui sont, comme l'on voit, semblables à celles de l'art. 7, et dont toute la différence consiste en ce qu'à la place des coordonnées or, j, z partant d'un point fixe, il y à les coordonnées f , >», Ç*, dont l'origine est dans le centre de gravité du système.
Ainsi, lorsque les forces accélératrices sont nulles, on aura les intégrales
sur lesquelles on pourra faire des remarques analogues à celles que nous avons faites sur les équations de l'art. 9.
13. Quand un des corps du système est retenu fixement par un obstacle quelconque, en plaçant dan^ ce corps T origine des coordonnées, on a le cas de Fart. 7. Mais si deux corps du système sont supposés fixes, on regardera la ligne qui passe par ces deux corps comme un axe fixe autour duquel le système peut tourner librement, et prenant cet axe pour celui des coordonnées z, on aura simplement, par le même article,
S^ étant la rotation élémentaire autour de cet axe, laquelle doit demeurer indéterminée. On n'aura ainsi qu'une seule équation relative à cette variation, J"^, laquelle sera
et lorsque le moment xY — jX des forces extérieures par rapport à Taxe de rotation est nul, on aura par l'intégration, comme dans l'art. 9,
équation qui donne le principe des aires par rapport au plan des x^ y perpendiculaire à l'axe de rotation, et sur lequel les aires décrites par les corps doivent être projetées.
Si trois corps du système étaient supposés fixes, alors la position de chacun des autres corps dans l'espace serait déterminée par ses distances à ces trois corps, et il n'y aurait plus de variations indépendantes dq la nature du sys-
tème et de: la disposition respective des corps entre eux, d'où l'on pût déduire des équations générales pour le mouvement d'un système quelconque.
,^ III . — Propriétés relatwes aux rotations produites par des forces
d'impulsion.
14. Quand un système libre de tourner en tout sens autour d'un point fixe reçoit des impulsions quelconques, on peut aussi employer, dans l'équation de l'art. H de la section précédente, les expressions de ^x^ (Jj, ^z de l'art. 7, après avoir réduit à X, Y, Z les forces d'impulsion P, Q, R, etc. ; et, en égalant séparément à zéro les termes multipliés par les variations ^^, (Toi, ^4? ^^ aura les trois équations
S [m (^ — yx) H- x\ — jX] = o, S [m ( 20? — xz) -h zX — xTj\ = o, S f m (jz — zy) H-/Z — z Y] = o,
pour le premier instant du mouvement produit par les impulsions X, Y, Z. Dans les systèmes qui sont tout à fait libres, on peut prendre le point fixe partout où Von veut dans l'espace, et les équations précédentes auront toujours lieu par rapport à ce point.
15. Dans ces systèmes, on peut aussi rapporter leurs rotations à trois axes qui passent par le centre de gravité ; car en faisant, comme dans l'art. 5,
les variations ix\ ^y\ Sz' donneront d'abord les trois équations relatives au mouvement du centre de gravité trouvées dans ce même article. Il restera ensuite l'équation
S [(m^ -h XfiTf -h (mj + Y) cTw + (mz -h Z) c^C] = «•
Or, en rapportant les rotations (T^^ ^û>, S(p aux axes des coordonnées ^, >i, ^, et n'ayant égard qu'à ces rotations, on a, comme dans l'art. 7,
et les trois variations indéterminées ^4» ^'^) ^9 donneront les trois équations
S[m(^a;-^z)-hCX- ^Z] = o, S[m(»2 — Ç/) + «Z — ^] = o.
Mais 07 = oî'h- f , j = j'h- w, z = z-i- }^; donc, substituant ces valeurs,
faisant sortir hors du signe S les quantités x\ j', z', qui ne se rapportent qu'au centre de gravité, et observant que par les propriétés de ce centre on a
Sm^ = o, Smw = a, Sni^=o,
les trois équations ppécédentes deviendront
S[m(?«-,iê) -^eY-ifX] = o, S[m{Cê-eC)+CX-eZ] = o, S[m(<-6)-+-''Z -^Y]==o,
qui sont tout à fait semblables à celles de Tarticle précédent, et dans les« quelles les coordonnées ^, «, ^ ont leur origine au centre de gravité, et les
vitesses ^, «, ^ sont relatives à ce centre.
Ainsi les équations relatives à un point fixe, subsistent aussi, lorsque le système est libre, par rapport à son centre de gravité.
16. Les équations que nous venons de trouver pour l'effet des impulsions dans le premier instant, ont lieu aussi dans les instants suivants, s'il n'y a point de forces accélératrices, en regardant comme constants les termes qui
dépendent des impulsions X, Y, Z; car oc^jr^ z étant les vitesses parallèle-
ment aux axes des x, j, z, on a dx= xdt, dy ^=^ ydt, dz^=^ zdt^ et les équations de Tart. 9 deviennent
Sm(ay — jo?) = C,
Sm {zx — xz) = B, Sm ( jz — zr) = A,
lesquelles, étant comparées à celles de l'art. 14, donnent
c = S(.rX — jrY),
B = S(xZ — zX), A=S(zY — jZ),
Ainsi on a les valeurs des constantes A, B, C exprimées par les impulsions primitives données à chaque corps ; et Ton voit que ces valeurs ne sont autre chose que les sommes des moments de ces impulsions, par rapport aux axes des x^ des j et des z.
Il en sera de même des équations relatives au centre de gravité, en comparant les équations de l'art. 12 avec celles de l'art. 15.
17. Si l'on ne considère que les mouvements de rotation par rapport
aux trois axes des coordonnées x, j, z, et qu'on désigne par 4i ^j ? les vitesses de ces rotations, les variations cTo?, <Jy , Sz seront proportionnelles aux
vitesses ^, J, z, et les variations (J4j ^^> ^9 seront en même temps propor-
tionnelles aux vitesses '>ly eo^ (p; ]es formules de l'art. 7 donneront ainsi
X = ZC& — jç,. yz=:x(p — z4? z = /4 — œci).
Os valeurs de a;, /, z ne sont que les parties qui dépendent des trois rotations; pour avoir les valeurs complètes des vraies vitesses .r, j, z, il faut y ajouter les parties qui dépendent du changement de situation des corps du système entre eux, et qui sont indépendantes des rotations.
Mais lorsque le système est invariable, ce qui a lieu dans tous les corps solides d'une figure quelconque, ces parties des vitesses sont nulles, et les valeurs de x, j, z se réduisent simplement à celles que nous venons de donner. On pourra donc substituer ces valeurs dans les équations
précédentes, et faisant sortir hors du signe S les quantités 4> û), ç, on aura, pour un solide de figure quelconque, en mettant l'élément Dm à la place de m (art. 7, section précédente), les équations
(pS {x^ H- J^) Dm — '>lSxzï)m — aSjzDm = C,* û)S {x^ -+- z^) Dm — 4S^Dm — çSjzDm = B, 4S(j^4-z^) Dm — (Si)Sa:jDm — <pSxzDm = A,
par lesquelles on pourra déterminer les vitesses des rotations initiales 4> û;, (p, produites par les impulsions X, Y, Z appliquées à des points queIcon(|ues du corps, et dont les moments, par rapport aux axes des ^r, j, z, sont A, B, C. Gomme les vitesses de rotation sont proportionnelles aux angles infiniment petits, décrits en même temps par les rotations respectives, il s'ensuit de ce qu'on a démontré dans la sect. III de la P® partie (art. H), que les trois vitesses 'n^, &>, ^ se composent en une seule vitesse 9, telle que
avec laquelle le corps tournera réellement autour d'un axe instantané , faisant, avec les axes des .r, /, z, des angles A, a^, v, tels que
cos A = -r > COS U = -r? COS V = i .
Ainsi les trois équations précédentes donneront la position de l'axe autour duquel le corps tournera dans le premier instant, et la vitesse de rotation autour de cet axe. C'est celui qu'on appelle axe spontané de rotation.
18. Dans les instants suivants, le corps continuera à tourner par sa force d'inertie, et les trois équations qu'on vient de trouver auront encore lieu, en regardant comme constants les termes qui contiennent les forces d'impulsion X, Y,Z, comme on l'a vu dans l'art. 16 ; mais les quantités 8(^7^ -f-j^) Dm, S a?)^Dm, etc. , deviendront variables à raison de la variation des coordonnées a, j, z pendant la rotation.
Mais une conséquence remarquable qu'on tire de ces équations, c'est que, dans un instant quelconque, le corps a le même mouvement de rotation qu'il recevrait dans cet instant par l'impulsion des mêmes forces qui l'ont mis d'abord en mouvement, si ces forces lui étaient appliquées de manière à produire les mêmes moments autour des axes des a:, j, z.
Et comme ces équations ne sont que les équations générales de l'art. 16, pour un système quelconque de corps, appliquées à un corps solide de figure quelconque, il s'ensuit que si le système qui a reçu des impulsions primitives devient, par l'action mutuelle et successive des corps, un système invariable ou un solide quelconque, les mêmes équations auront encore lieu; de sorte
que le solide aura à chaque instant le même mouvement de rotation qu'il recevrait par les mêmes impulsions primitives, si elles lui étaient appliquées immédiatement de manière à produire les mêmes moments.
Donc aussi une masse fluide, agitée primitivement par des forces quelconques, abandonnée ensuite à elle-même, et devenue solide par l'attraction mutuelle de ses parties, aura, à chaque instant, le même mouvement de rotation que les forces primitives lui imprimeraient si elles agissaient de la même manière sur la masse solide.
19. Les trois équations de l'art. 17 donneront les valeurs des moments A, B, C de toutes les forces primitives, en connaissant la position instantanée
du corps et ses trois vitesses de rotation 4> û>, <p, par rapport aux axes fixes
des x^ y^ z-, ou la vitesse composée ô autour de l'axe instantané, avec les angles A, ^t, v, de cet axe avec les axes fixes des a:, j, z; et réciproquement, ayant ces mojnents, on pourra en déduire les valeurs des vitesses de rotation. On voit aussi par ces équations que les moments seront nuls si les vitesses sont nulles ; mais les moments étant supposés nuls, il ne s'ensuit pas évidemment que les vitesses de rotation doivent être nulles. Car, en faisant A = o,
B = o,C = o, on a trois équations linéaires entre '^^ et>^ (p\ ttîX faudrait
prouver que ces trois équations ne peuvent pas subsister ensemble, à moins
de supposer >!, = o, a» = o, ^ = o.
En éliminant deux de ces inconnues, on a une équation qui donne la troisième inconnue nulle ou arbitraire, mais avec la condition
S ( x'' + r' ) D m X S (a:' H- z^ ) Dm X s ( j' -h z' ) Dm = S ( ^' -h y) Dm X ( SojDm)^ + S (^' + z') Dm x (Sa:zDm)^- S(j^+ z^)Dm X (SjzDm)*+ 2S.ryDmx So^zDmx SjzDm;
et il faudrait prouver que cette condition est impossible à remplir, ce qui parait très-difficile (*). Mais nous démontrerons plus bas (art. 51) que, lorsque les moments sont nuls, toute rotation s'évanouit aussi.
(*) Nous donnons à ]a fin du volume la démonstration de ce théorème, qui n'offre pas, à beaucoup près, la difficulté que Lagrange semble lui attribuer. M. Binet en a publié une depuis longtemps dans le Bulletin de lu Société Philomaiique, (/. Bertrand,)
• ^— ■■«■ «i* ■ t f » M ^ M»^ mutm
D'où nous pouvons d'abord conclure qu'il est impossible qu'un système de points isolés , ou une masse fluide quelconque, puisse former un corps solide qui ait un mouvement de rotation, à moins que les impulsions primitives n'aient été telles, qu'il en soit résulté un moment par rapport à l'axe de cette rotation.
20. Par les transformations exposées dans l'art. 10, on peut changer les trois équations de l'art. 17 en des équations semblables, dans lesquelles les quantités x^ /, z, A, 6, G soient remplacées par les quantités analogues x\
, a', (p les vitesses de rotation par rapport aux nouveaux axes des x\ y\ z' , on aura aussi :
dx'= x'dt = ( z'a — x'^') dt, dy' = y'dt= {x'ip' — z''\')dt, dz' — z'dt = {y'-\' — x'a)dt,
et les trois premières équations de l'art. 10 deviendront, par ces substitutions, en changeant m en Dm,
<p' S (ar'* -|-/*)Dm — 4'Sa;'z'Dm — «'SjVDm = C, «'S(z"-f-a;'»)Dm — 4'SxyDm — ?»'S/z'Dm = B', 4'S(/»-+-z'«)Dm— «'Sa^'/Dm — ^'Sa;VDm = A',
dans lesquelles on aura, par le même article,
A' = AaH-Ba'-hCa%
C'=A7 + By-hC7^
Ces équations ont l'avantage que la position des axes de rotation y est entièrement arbitraire, puisqu'elle ne dépend que des quantités a, |3, 7, tf', etc. ; et, comme elles ne sont que du premier ordre, rien n'empêche de donner à ces axes une position différente d'un instant à l'autre, et de les prendre de manière qu'ils soient fixes dans l'intérieur du corps, et, par conséquent, mobiles avec lui dans l'espace. Alors les quantités S (a:'* -H j'^)Dm,
Méc, anal, I. 33
Sj:yDm, etc., deviendront constantes; mais les quantités A', B', G seront variables, à cause de la variabilité des quantités a, p, 7^, a', etc. Nous donnerons dans la suite des moyens directs de parvenir à ces équations, qui sont d*une ^nde utilité dans le problème de la rotation des corps.
21. On a vu dans Tart. 16 que les constantes A, B, G expriment les sommes des moments des impulsions primitives doAnées aux corps, relativement aux axes des x, j, z. Or il est facile de prouver que les quantités a, cx.\ ex.'' représentent les cosinus des angles que l'axe des x' fait avec les axes des x^ y-j z; que les quantités |3, p', p'^ représentent les cosinus des angles que Taxe desjr' fait avec les mêmes axes des x^ y^ z, et que les quantités >, y\ y" représentent les cosinus des angles que Taxe des z' fait avec ces mêmes axes. Donc, par ce qu'on a démontré dans la première partie sur la composition des moments (sect. III, art. 16), les trois quantités A', B', C seront les moments des mêmes impulsions rapportés aux axes des x\y\z\ c'est-àdire aux axes de rotation fixes dans le corps et mobiles dans l'espace. Ainsi on pourra appliquer à ces axes*les mêmes conclusions qu'on a trouvées dans l'art. 19.
§ IV. — Propriétés des axes fixes de rotation d'un corps libre de figure
quelconque.
22. Nous réservons pour un chapitre particulier la solution complète du problème général de la rotation d'un corps solide de figure quelconque; nous allons seulement examiner ici le cas où l'axe instantané de rotation demeure immobile dans l'espace, ou au moins toujours parallèle à lui-même lorsque le corps a un mouvement progressif, parce que ce cas se résout facilement par les formules du paragraphe précédent, et qu'il conduit aux belles propriétés des axes qu'on novame principaux, ou a^es naturels de rotation.
Reprenons les équations fondamentales de l'art. 17; faisons, pour
abréger,
/=Sx'^Dm, m = Sj^Dm, /ï = Sz^Dm,
f=z SjzDm, g = Sa;zDm, h = SxyDm^
et substituons pour 4> û), ç leurs valeurs ô cos A, Ô cos ^w, ô cos v, 9 étant la vitesse de rotation autour de l'axe instantané qui fait les angles A, ^, v avec
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. '25g
les axes fixes des a?, j, z ; ces équdtions deviendront ainsi, en les divisant par 9,
{m 4- n) cos A — h cos /u — g cos v = — ?
(/ + n) cos/^ — h cos A — /^cos V = — ?
(/ + m) cos V — g cos A — /<^os/u = -r •
23. Les six quantités /, m, n, f^ g^ h sont variables ; en les differen-
tiant, substituant pour dXj dy^ dz les quantités xdt^ ydt^ zdt^ et, ensuite, pour 0?, j, z leurs valeurs (article cité), on aura
dl = !^ {g cos ju — Acos v) flûfe, dm= 2 (A cos y — /cos ?C)èdt, dn = 1 (y cos A — g cos fji) Sdtj
df = [(m — n) cos A -f- g* cos v — A cos/ia] ôcfe,
«?§•= [(/2 — /)C0SyU-h ACOSA — y COS vJflflJ^,
dk=:^\j^l — to) COS V H- fcosfJL — g COS a] ^dt.
Ces six équations, jointes aux trois de Tarticle précédent, renferment la solution générale ; mais nous ne considérons \ck que le cas où les angles A, ^, V demeurent invariables, et il s'agit de voir sous quelles conditions ces quantités peuvent être constantes.
24. Pour cela, il n'y a qu'à difFérentier les trois premières équations dans cette supposition, et y substituer les valeurs des différentielles rf/, dm^ etc. ;
on aura, après avoir divisé par ôrf^, ces trois-ci :
f{cos 9^ — cos /LL^) — g cos A cos fJL-^h cos A cos V
-h [m — n) cos fJL cos v = — "^ ^ ^ ' /"cos A cos Ai -h g^ (cos A* — cos y*) — A cos /u cos V
/ IX B rfé
-h (« — l) cos A cos V = — Tj X -^t
— /cos A cos V 4- g* cos fjL cos V -h A ( cos ft* — cos A^ )
/ 1 X c dé
-f- ( / — m) cos A COSytt = — Tj X 2i*
26o tféCANIQUE ANALXTIQUE,
Si Ton ajoute ces trois équations ensemble, après avoir multiplié la pre* mière par cos A, la deuxième par cos /jlj la troisième par cos r , on a Téquation
Aco5X-+-Bcosa-4-Cco8v ^ M o = r-î- X :3->
laquelle donné
dQ=Oj ou bien AcosA-hBcos/tc +Gcosy = o.
Nous verrons plus bas (art. 38) que la quantité
A4 H- Bai H- G ^, qui est la même chose que
(A cos A -h Bcos^ H- Ccosv)ô,
exprime la force vive du corps, laquelle ne peut jamais être nulle tant que le corps est en mouvement.
H faut donc supposer en général dQ = o, et, par conséquent, la vitesse
de rotation constante. Alors les trois équations ci-dessus se réduisent à deux, qui donnent les rapports des cos A, cosyu, cos v; et comme on a
cos A* -h cos ^* -h cos V* = I ,
ces rapports suffiront pour déterminer les trois cosinus. 25. Supposons
cos a cos V
S = Ç> U = rr
cos A cos A
les trois équations précédentes deviendront, à cause de rfô = o,
/{u' — s^) — gs -{- ku -h {m — n)su = o, g{i — u^) — hsu -^fs -h (n — l)u = o, h[s'^ — "+" S^^ — f^ "^^ (^ — ^)^ = o.
La dernière donne
cette valeur étant substituée dans la première ou dans la seconde, ou plutôt
dans la somme de ces deux, après avoir multiplié Tune par g et l'autre par/, pour en chasser Yu^^ on a
[g{l -m) {m- n) ^fh {n-il + m) + g{g^^h'- 2/^)]/^ [/(/-m) (m - n) + gh{n- im -h /) ^f[p^h^- 2^^)]^
Cette équation étant du troisième degré, aura nécessairement une racine réelle; ainsi on aura une valeur de s et une valeur correspondante de w, par le moyen desquelles on pourra déterminer la position d'un axe invariable et de rotation uniforme. Mais comme cette détermination dépend des quantités /, /w, /i,y, g^ A, qui varient avec le temps t^ il faut encore prouver que la variabilité de ces quantités n'influe point sur la valeur des deux quantités j et w.
26. Pour y parvenir, nommons P, Q, R les premiers membres des trois équations de l'art. 22; les premiers membres des équations de l'art. 24
seront -7--) v--^> ■: — > en y mettant pour dL dm. etc., leurs valeurs. Or il ^dt 9dt 6de -^ '^
est facile de voir qu'on a, par la substitution de ces mêmes valeurs,
rfP = (R cos (te — Qcos 9)6dt, rfQ=(Pco8» — RcosA)Ôrf<, dK = (Q cos A — P cosft) Qdt.
D'après ces équations, dans lesquelles A, ^, v et ô sont des quantités constantes, il est facile de voir que si les valeurs ^^ ^' -^' x^ sont nulles lorsque * == o, ou t = à une quantité quelconque donnée, celles de -^> -jpr » -^^ oe "2^» -3^ 9 -^7 et ainsi de suite a 1 innm, seront aussi nulles pour la même valeur de t.
Or on sait, par le théorème de Taylor, que la valeur d'une fonction — de t, lorsque t devient t-i-t', devient en même temps
rff "•" rf«» ' "*" ÏÂ"» ^ "•" ZT3? ' -•-••••
!i62 lnéGANIQUE ANALYTIQUE.
Donc, si -^ = o lorsque ^'= o, on aura toujours -j- = o, quel que soit t\
Et la même chose aura lieu pour les valeurs de -4^ et -^ •
Il s'ensuit de là que si les équations de Tait. 25, qui ne sont que les
transformées des équations -rr = o , -4^ = o , -j- = o , ont lieu dans un
instant quelconque, elles auront lieu, quel que soit le temps ^, dans Thypothèse des quantités ^ et i^ constantes. Par conséquent, les valeurs de ces quantités seront indépendantes de la variabilité des quantités /, m, n^f^ g, h ; de sorte qu'il suffira de déterminer les valeurs de ces dernières quantités pour une position quelconque du corps à l'égard des axes fixes des o:, /, z, pour avoir celles des quantités ^ et i^ qui déterminent la position de l'axe de rotation, lequel doit demeurer immobile dans l'espace, ou du moins toujours parallèle à lui-même, si le corps a un mouvement progressif.
Et comme cet axe, par sa nature, est fixe dans l'intérieur du corps pendant un instant, puisque le corps est censé tourner autour de lui, il s'ensuit qu'il y doit toujours demeurer fixe; car il est évident que si, dans l'instant suivant, il changeait de place dans le corps, il changerait nécessairement de place dans l'espace; ce qui est contre l'hypothèse.
27. Ayant trouvé la position de cet axe dans l'espace, rien n'empêche de supposer qu'il coïncide avec l'axe des x dont la position est arbitraire.
On pourra ainsi supposer A ^ o, et, par conséquent, cos A = i , ce qui donnera ^ = o et w = o. De là on trouve, par les équations de l'art. 2o, g- = o, A = o. Ainsi cet axe a la propriété qu'en le prenant pour l'axe des x^ les valeurs des deux intégrales S:r^Dm, SxzMm (art. 22) deviennent nulles.
Supposons maintenant dans nos formules g" = o, à = o, et désignons par/*', /', m', n', ce que deviennent les quantités f^ /, m, n dans ce cas. Cette supposition donne d'abord ^ =o et î^ = o, c'est le cas précédent; ensuite elle donne aussi ^ et e^ infinis, et, par conséquent , eoâA = o, A = 90^; cette valeur répond aux deux autres racines de l'équation en s du troisième degré, et, par conséquent, à la position des deux autres axes. Or la première des équations en ^ et i^ (art. 25) devient, lorsque g et h sont nuls,
f{u?— s^) 4- {w! — n')su = 0,
et substituant pour ^ et a leurs valeurs,
y'(cos y* — cos /JL^) -f- {m' — n') cos ^ cos v = o ; mais en faisant cos A = o dans cos A^ -H cos fjL^ + cos v^ = i , on a
cos V = y/(i — cos |U*) = sin yw ; et rëquation précédente se réduit à celle-ci :
laquelle donne pour l'angle jul deux valeurs dont l'une surpasse l'autre de 90 degrés.
Ainsi ayant pris l'axe des x dans le premier axe de rotation, les deux autres axes de rotation uniforme seront dans le plan des j et z, et feront avec l'axe des j les angles jul et /ul-^ 90**, de manière que les trois axes de rotation seront rectangulaires entre eux, conmie ceux des coordonnées. On pourra donc prendre aussi ces deux derniers axes pour ceux des/ et z ; l'on aura alors ^ = 0, et, par conséquent, y = o; de sorte que la valeur de l'intégrale SjzDm sera aussi nulle.
SS8. Il existe donc pour chaque corps solide, quelle que soit sa figure et sa constitution, et par rapport à un point quelconque du corps, trois axes rectangulaires qui se coupent dans ce point, autour desquels le corps peut tourner librement et uniformément ; et ces trois axes sont déterminés par les conditions suivantes :
S^Dm = o, S.rzDm = o, SjzDra = o,
en prenant ces axes pour ceux des coordonnées ^, /, z.
Lorsque ces axes passent par le centre de gravité, on les nomme cuves principaux, d'après Ëuler, à qui on en doit la connaissance; on les nomme aussi axes naturels de rotation, ou, en général, a^es principaux, soit qu'ils passent par le centre de gravité ou non.
29. En faisanty= o, g' = o, A = o, ce qui a lieu par rapport aux trois axes pnncipaux, on a aussi, par les équations de l'art. 23,
dl dm dn
264 HJÉGANIQUE ANAI.YTIQUE.
ce qui fait voir que les quantités l, m^ n sont alors les plus grandes ou les plus petites. Pour pouvoir distinguer les maxima et les minima, il n'y aura
qu'à chercher les valeurs de ^j -tt^-, -^ , et Ton trouvera, à cause de ô constante,
-^ = îi[(n — /) cosyu^ — (/ — m) cos y^]fl%
-^=2[(/ — 7w)cosv' — (m — /i)cosA^]d*,
-^ = 2 [(m — n) cos A* — {n — /) cos^*]d*.
Donc, si / > m, m > /i, la valeur de ^ sera toujours négative, celle de ^-,-
toujours positive, et celle de -^-p pourra être positive ou négative; par conséquent, / sera toujours un maximum, n un minimum, et m ne sera ni l'un ni l'autre. On voit aussi que -^ — aura toujours une valeur négative, et ^^ aura toujours une valeur positive; de sorte que la quantité / 4- m sera toujours un maximum, et m -h n un minimum.
Les quantités l-h m^ / -H w, m -{- n^ qui expriment les sommes des produits de chaque molécule du corps par le carré de sa distance aux trois axes des z, j, X, se nomment, d'après Euler, moments d'inertie du corps relativement à ces axes ; ils sont pour le mouvement de rotation ce que les simples masses sont pour le mouvement progressif, puisque c'est par ces moments qu'il faut diviser les moments des forces d'impulsion, pour avoir les vitesses de rotation autour des mêmes axes.
C'est par la considération des plus grands et des plus petits moments d'inertie, qu'Euler a trouvé les axes principaux; maintenant, on les détermine ordinairement par les trois conditions
SocyDm = Oj S^zDm = o, SjzDm = o.
30. Puisqu'on est assuré, par l'analyse de l'art. 27, que l'équation en s
(art. 25) a ses trois racines réelles, il sera toujours facile de les trouver, en
comparant cette équation dégagée de son second terme, avec l'équation
connue
x^ — 3r^x — 2r* cos^ = o.
dont les trois racines sont
2rcos|7 — 2 r cos f 60"" H- | V — 2r cosf 60"*— |j.
On aura ainsi les trois valeurs de s que nous désignerons par Sy s\ s'\et les valeurs correspondantes u^u\u" . Et si l'on désigne de même par A, A', a'^ les angles que les trois axes principaux font avec Taxe des a:, par u? f^\ p»! les angles qu'ils font avec Taxe des j, et par v, v', v' ceux que ces mêmes axes font avec Taxe des z, on aura, par les art. 24 et 25,
