VI -4-^' -H M

cos V = -7== >

et Ton aura des expressions semblables en marquant les lettres A, /u, v, ^5 u d'un trait, ou de deux. Ainsi la détermination des trois axes principaux pourra toujours s'effectuer par ces formules dans tout corps solide de figure quelconque, homogène ou non, pourvu qu'on connaisse les valeurs des quantités y, g, A, /, m, n pour une position quelconque donnée du corps, relativement aux axes fixes des a:, /, z.

En substituant ces valeurs de cos A, cos ac, cosv dans les trois équations de l'art. 22, on aura les valeurs des moments A, B, C qui seront nécessaires

pour faire tourner les corps avec une vitesse constante donnée fl, autour d'un axe fixe dans l'espace, dont la position sera donnée par les mêmes angles A, /U, v, et qui sera en même temps un des trois axes principaux du corps, selon qu'on prendra pour s et u l'une des trois racines de l'équation en s.

31. Comme ces trois axes sont toujours perpendiculaires entre eux, on pourra les prendre pour les axes des x\ /', z' dans les formules de l'art. 20. On aura ainsi, par la nature de ces axes,

S;r'r'Dm = o, Sj:'z'Dm=o, Sj'z'Dm==o;

et si l'on fait

/' = Sa:'^Dm, m'= S/^Dm, /i' = Sz''Dm,

Méc, anal, I. Zi

a66 MliCANIQUE ANALYTIQUE.

les trois équations de l'article cité prendront cette forme très>simple :

(/' -hm')à'=B\

par lesquelles on a tout de suite les vitesses de rotation 4^ ^\ <p' autour des trois axes principaux.

C'est ici le lieu de démontrer la proposition que nous avons indiquée dans l'art. 19. En effet, en faisant A = o, B = o, C= o, on aura aussi (art. 20)

A'= o, B'= o, G'= o ; donc, les équations précédentes donneront 4'= o,

û>'= o, ^'= o, puisque les quantités /, m, n ne peuvent jamais être nulles pour un corps de trois dimensions. D'où l'on doit conclure qu'il ne peut y avoir de mouvement de rotation si les moments primitifs sont nuls.

Quand, parmi les trois moments A^ B^, G^ deux sont nuls, comme B' et G , ce qui a lieu lorsque l'impulsion se Eût dans le plan des y' z\ les deux vitesses

de rotation cùj 9 seront aussi nulles, et le corps tournera autour de l'axe prin-

cipal des x' avec la vitesse 4'- Or, par les formules de l'art. 20, on a

à cause des équations de condition entre les quantités a, j3, y, a', etc. : donc, faisant B'= o, C= o, on aura

et, par conséquent, constante ; donc, par la première équation, la vitesse 4' sera aussi constante.

52. A l'égard des valeurs de /', m', /i', il sera facile de les déduire de celles de /, /w, /i,/*, g^ h\ car les expressions de .r, j, z en .r', j', z\ en vertu des équations de condition (art. iO, sect. III, F* partie), donnent réciproquement

SECONDE PAlitlE. -^ LA DYNAMIQUE. 267

Or, en prenant les axes deBos^y, z' pour les axes principaiix, on voit, par Tart. 21, que les quantités a, a\ a" sont identiques avec cos A, cosyu, cosv, et que, pareillement, /3, p^ ^" seront identiques avec cosV, cos/it^ cos v', et 7, 7', 7'' avec cos A'^ qos/i/, cosv''. Ainsi, en substituant les valeurs de ces cosinus données ci^dessus (art. 30), on aura

/ X + sy -+- uz