CINQUIÈME SECTION

MÉTHODE GÉNÉRALE D'APPROXIMATION POUR LES PROBLÈMES DE DYNAMIQUE, FONDÉE SUR LA VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES.

Les équations générales que nous avons données dans la section précédente étant du second ordre, demandent encore des intégrations qui surpassent souvent les forces de l'analyse connue ; on est obligé alors d'avoir recours aux approximations, et nos formules fournissent aussi les moyens les plus propres à remplir cet objet.

1. Toute approximation suppose la solution exacte d'un cas de la question proposée, dans lequel on a négligé des éléments ou des quantités qu'on regarde comme très-petites. Cette solution forme le premier degré d'approximation, et on la corrige ensuite en tenant compte successivement des quantités négligées.

Dans les problèmes de Mécanique qu'on ne peut résoudre que par approximation, on trouve ordinairement la première solution en n'ayant égard qu'aux forces principales qui agissent sur les corps ; et pour étendre cette solution aux autres forces qu'on peut appeler perturbatrices, ce qu'il y a de plus simple, c'est de conserver la forme de la première solution, mais en rendant variables les constantes arbitraires qu'elle renferme ; car, si les quantités qu'on avait négligées, et dont on veut tenir compte, sont très-petites, les nouvelles variables seront à peu près constantes , et l'on pourra y appliquer les méthodes ordinaires d'approximation. Ainsi la difficulté se réduit à trouver les équations entre ces variables.

On connaît la méthode générale de faire varier les constantes arbitraires des intégrales des équations différentielles, pour que ces intégrales conviennent aussi aux mêmes équations augmentées de certains termes; mais la forme que nous avons donnée, dans la section précédente (art. 10), aux équations générales de la Dynamique, a l'avantage de fournir une relation entre les variations des cpnstantes arbitraires que l'intégration doit y introduire, laquelle simplifie singulièrement les formules de ces variations, dans les problèmes où elles expriment l'effet des forces perturbatrices. Nous allons d'abord démontrer cette relation ; nous donnerons ensuite les équations les plus

3oo MECANIQUE ANALYTIQUE.

simples pour déterminer les variations des constantes arbitraires dans les problèmes dont il s'agit.

§1. — Où l'on déduit des équations données dans la section précédente, une relation générale entre les variations des constantes arbitraires.

2. Soit un système quelconque de corps m, animés par des forces accélératrices P, Q, R, etc., qui tendent à des centres quelconques fixes ou non, et qui soient proportionnelles à des fonctions quelconques de leurs distances /7, ^, r, etc. , à ces centres.

Supposons qu'en ayant égard aux équations de condition du système, on ait exprimé les coordonnées a?, /, z de chacun des corps, en fonctions d'autres variables ^, 4» ?» ^^-9 ^^^ soient tout à fait indépendantes entre elles, et qui suffisent pour déterminer la position du système à chaque instant.

On aura, pour le mouvement de tout le système, les équations de l'art. 10 de la section précédente, et il est facile de voir que ces équations seront du second ordre par rapport aux variables ^, 4> ?> ^tc. ; de sorte que les valeurs complètes de ces variables, qu'on trouvera par l'intégration, et qui seront exprimées en fonctions du temps t, contiendront deux fois autant de constantes arbitraires qu'il y a de variables. Comme ces constantes doivent demeurer arbitraires, on peut les faire varier à volonté; ainsi on pourra différentier les équations dont il s'agit relativement à ces constantes, qui sont supposées contenues dans les expressions des variables f» 4' ^' ^^«

3. Faisons, pour plus de simplicité, d^=^^'dtj d'\=^'\'dt^d^=^'dt^eXc.j la quantité T déviendra une fonction de ^, 4? ^> ^tc- ? et de ^', 4'» ?'> ^'c. ; et si les forces tendent à des centres fixes, ou à des corps du même système, la quantité V sera une simple fonction de ^, 4» ^> etc. Dans ce cas, en faisant Z = T — V, on aura

dT àZ (?T iZ JT^ dZ

OÙ l'on pourra changer la caractéristique ^ en d, puisqu'elle ne sert qu'à représenter des différences partielles.

Ainsi les équations différentielles du mouvement du système (art. 10, sec^

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 3or

tion précédente) 9 étant multipliées par dtj se réduiront à cette forme plus simple,

7 dÉj d£à j

4. DifTérentions ces équations par rapport à la caractéristique ^(*), que nous regarderons comme relative uniquement aux variations des constantes arbitraires qui sont censées contenues dans les expressions des variables 0, 4) ^9 etc. , dont Z est fonction ; et comme la caractéristique d^ qui affecte les

termes d. -jpj ^- 537' ^'^* > i^'^st relative qu'à la variable t qui représente le

temps, on pourra, par les principes du calcul des variations, changer la double caractéristique M en dS'^ de sorte qu'on aura les équations