dt-o

^^' rff -

S.^^dt—o,

^. j^dt-O,

De même, si pour représenter des variations différentes des mêmes constantes arbitraires, on emploie la caractéristique A, on aura '

dà . -j^Ti — A . -rrr rf^ = o, rfA . -5-7 — A . —j— dt = o,

( *) On suppose ici que ces équations ayant été intégrées, on ait substitué aux variables Ç, >p 9 • • • , leurs expressions générales fournies par cette intégration. Les équations deviennent alors identiques» et l'on peut les diCférentier par rapport aux diverses lettres qui y figurent. (/. Bertrand, )

3o2 ihéCANIQUE ANALYTIQUE.

H. Multiplions maintenant les premières équations respectivement par A^, a4> A(p, etc., et retranchons de leur somme celle des dernières équations multipliées respectivement par ^^, ^4» <^?> ^^^- > ^^ ^"^

— S^d^.j^ — «r4rfA. ^, — hdH.-^, -h

+ (^^A.:^^ -h^4A. ^ + S<pA. ^ + . . .) rf« = O.

OrA?rfS.^ = e^.f aÇS.^,') — rfA?S.^;maisrfA? = Arf0 = A|'rf<, à cause de d^ = ^'rff (hyp.) ; donc

A?rf8.^=rf.(A?s.^)-Ara.§cfe. .

On aura pareillement

et ainsi des autres formules semblables.

Par le moyen de ces transformations, l'équation précédente deviendra de cette forme,

A?S.^H- a4S.^H- A<pS.5| +

cfe

«fe = o.

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE:, 3o3

6. Or, si Ton développe les expressions ^ • -^' ^ " ^ ' ^*^' ' ^^"^^ ^"^ '^^ expressions semblables ^ • ^ ' ^ • ^/' ^tc., en regardant Z comme fonction

de ^, 4? ^j ®'^^' ^* ^^ ^'» 4' ^'? ®*^'î ^' ^* facile de voir que les termes multipliés par dt dans Téquation précédente, se détruisent mutuellement. En effet, on a

5, rfZ d^Ta ^y, , d^Z ^ I , , d^Z ^^f d^Z ^ »f

^<|, "rfgrff '' ^ rf<{-» " ^ ^ • ■ ' ^ rf<{<rf|' '' ' <f<{<rftp

» rfZ «?'Z j,g <f*Z « I , , «*Z Rw/ a*Z jj 1/

ce qui donne, en ordonnant les termes par rapport aux différences partielles de Z, ce développement

4^ (A4sr+ Ar H) + 4^7 (a4S4'+ a4'H) p- ^^'«^' + ^ i^^'^-^' + ^4'sr) + ^ a4'H'

En changeant les caractéristiques S, A Tune dans l'autre, on aura le développement de l'expression semblable

3o4 HéCAMQUB ANALYTIQUE.

Mais on voit que ce changement n'en produit aucun dans le développement précédent; d'où il suit que les deux expressions sont identiques : de sorte que, comme elles se trouvent dans l'équation ci-dessus avec des signes différents, elles doivent s'y détruire.