Ainsi on aura simplement l'équation

A^S.^ -h a48. ^ -H A(pS. ;^, + . . .

dans laquelle on peut changer Z en T, puisque Z = T — V, et que V ne doit point contenir les variables ^', 4', ^', etc. (art. 5). On voit par cette équation que la quantité

- S0A.^ - S4a.^ - S(pA. 5^ - . . .

est toujours nécessairement constante relativement au temps t^ auquel se rapportent les différentielles marquées par la caractéristique d\ que, par conséquent, si l'on y substitue les valeurs des variables ^, 4» ^j ^tc-^ exprimées en fonctions de t et des constantes arbitraires, déduites des équations d'un problème quelconque de Mécanique, la variable t s'évanouira d'elle-même, quelles que soient les variations qu'on fera subir à ces constantes dans les quantités affectées des caractéristiques S et A; ce qui est une nouvelle propriété très-remarquable de la fonction T, qui représente la force vive de tout le système, et ce qui peut fournir un critère général pour juger de l'exactitude d'une solution trouvée par quelque méthode que ce soit. Mais l'usage principal de cette formule est pour la variation des constantes arbitraires dans les questions de Mécanique, comme nous allons le montrer.

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 3o5

§ II. — OÙ Von donne les équations différentielles les plus simples pour déterminer les variations des constantes arbitraires, dues à des /or ces • perturbatrices.

8. Supposons maintenant qu'après avoir résolu le problème contenu dans les équations difTérentielles de l'art. 3, par l'intégration complète de ces équations, il s*agisse de résoudre le même problème, mais avec l'addition de nouvelles forces appliquées au nlême système, tendantes à des centres fixes ou mobiles d'une manière quelconque, et proportionnelles à des fonctions des distances aux centres. Ces nouvelles forces, qu'on peut regarder comme des forces perturbatrices du mouvement du système, étant d'une nature semblable aux forces P, Q, R, etc. , d'où dépend la fonction V, ajouteront à cette fonction une fonction analogue que nous désignerons par — 11. De sorte qu'il n'y a qu'à mettre V — à la place de V, dans les équations de l'art. 10 (section précédente), et, par conséquent, Z — Q à la place de Z, dans les termes de celles de l'art. 5, qui contiennent les différences partielles de Z relatives à f , 4> ?> etc. , pour avoir les équations du nouveau problème, lesquelles seront ainsi,

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