CL . -T-ï T- M = -j— ut
df d(f d(f ^
9. Si l'on suppose connues les expressions des variables ^, 4? ?> etc., en t et en constantes arbitraires, dans le cas où les seconds membres de ces équations sont nuls, on peut, en conservant ces mêmes expressions, mais en rendant variables leurs constantes arbitraires, faire en sorte qu'elles satisfassent 9ussi à la totalité de ces équations ; et l'objet de l'analyse que nous allons exposer, est de donner les formules les plus simples [Jour la détermination de ces constantes devenues variables.
Nous remarquerons d'abord que, puisque ces constantes sont en nombre double de celui des variables Ç, 4> ^» ^'c. , comme nous l'avons déjà observé (art. 2), et, par conséquent, en nombre double de celui des équations aux-
Méc, anal. I. 89
3o6 MECANIQUE ANaLYTIQÙË.
quelies il &ttt sâti^iré, ott pourra encore h» Msn^uir à nn nombre de conditions atbitrd^ëà éga) à cehii de ëes^ variables.
Les conditions les plus simples et en même temps les plus appropriées à la
chose, sont que les valeurs de -^j -^j -tJ> etc., conservent aussi la même
forme qtie si les constantes n'y variaient point. De cette manière^ non-seulement les espaces parcourus par les corps, mais encore leurs vitesses seront détermiriées par des formules semblables^ soit que les constantes arbitraires demeurent invariables, comme lorsqu'il n'y a point de forces perturbatrices, soit qu'elfes deviennent variables par l'effet de ces forces.
Ces conditions auront de plus l'avantage de réduire an premier ordre les équations différentielles entre les nouvelles variables, de sorte qu'on aura un nombre double d'équations, mais du premier ordre seulement.
10. En employant, comme dans Tart. 4, la caractéristique 8 pour désigner les différentielles dues uniquement à la variation des constantes arbitraires, tandis que la caractéristique d ne se rapporte qu^aux différentielles relatives au temps ^, les conditions dont nous veriotis de parler seront exprimées par les équations
dans lesquelles il faut remarquer que toutes les constantes arbitraires doivent devenir variabfes à la fois, de sorte que la caractéristique ^ indiquera dans la suite la variation simultanée {*) de toutes les constantes arbitraires, au lieu que dans les formules de l'art. 4 et suivants, la même caractéristique dénotait en général les différentielles relatives à la variation de toutes les constantes, ou seufemëht dé qtfelque^unes d'entre elles à volonté^ ainsi que l'autre caractéristique A.
Donc, èA faisant tout vaHer^ les différentielles de f , 4 9 0i ^^^-^ seront simplement rff ^ d^, rf^, etc., ou bien ^^dt, '^'dt^ ^' dJt^ etc., comme si le tetnps seul variait.
Ainsi, dans les équations de l'art. 8^ la fonctioii Z sera la même, soit que
(*) C'est-à-dire la variatioa des fonctions qui remplacent ces constantes, et qui, dans chaque problème, sont parfaitement déterminées, de telle sorte que leur valeur soit une fonction du temps dont la variation n'a rien d'aibitraire. (/. Bertrand. )
SECONDE ^AJJTIE. — LA DYNAMIQUE. Soj
les constantes arbitraires soient censées variables ou non ; mais en regardant ces constantes comme varial^Jes, les di^érences ^--jy^ ^--JiÙ^^' d"^^ ^^^' '
/I7 AU fLI
devront être augmentées des termes ^-jp^ ^'dé'^ ^' T'' ^^^'^ ^^^ ^ '^ variation des constantes.
D'un autre côté, comme par l'hypothèse le^ foQetions .de t et des constantes qui représentent les valeurs de ^, 4' ^» ^*'^-' satisfont identiquement aux mêmes équations, sans leurs seconds membres, dans le cas où ces constantes ne varient p9s,<quelles que soient d'aiUeiurs leurs valeurs, il est clair que les termes
j rfZ rfZ » I «Z dZi f f dZi dZi »
se détruiront d'eux-n(iêmes, et pourront, par .conséqiiQnt, c^^re effacés.
On aura donc simplement, pour la variation des constantes arbitraires, les équations
j, dZ da, j^ ^Z rfft , j, dZ dii,
^' di^ — HJ^^' ^'d^—d^^^' ^-rf^— rf^^^'- • •'
qu'il faudra combiner avec les équations données ci-4^.us, S^ = Oj S-y^z^o, ^(p = o, etc.
Ces équations étant en nombre double «de celui, des variables^, 4? (p^ etc. , et, par conséquent, en-mêipe nombre que les iconstantesarbitrfiires (ait. 2), serviront à déterpiiner /toutes ces icmistaates. devenues variables.
il. Les équations qu'on vient de trouver étant multipliées respectivement par A^, a4) A(P, etc., et ensuite ajoutées ensemble, donnent
Ici Af , a49 àk<p^ etc., indiquent, comme dans l'art. 4, des différentielles des fonctions ^, 4? <p9 etc. , prisesi^enfai^s^t varier ^ul^nent les constantes arbitraires d'une manière quelconque, <soit gu'eQes varient toutes en même temps, ou quelques-unes seulement à volonté.
Or, en regardant Çl comme une fonction de f , 4? 9? ^^^ ^^ aura, en
3o8 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
diffërentiant par rapport à A,
^ ^ diï ^y dit ^ ^ da .
A.n = ^Af+^A4 + ^A(p +
Donc on aura
A.flcft===Af<J^. j^+A4<r.2;pH- A(p<J^.-^;H-
Retranchons du second membre de cette équation la quantité
^^^' di^ -^ H^' d^' -^ ^^^'d^* -^ •••'
qui est nulle en vertu des équations de condition ^^=o, J^ = ^> (Tcp = o, etc., on aura cette formule générale,
~ ^^^-rfg^ — ^4^.^, — ^^A.^, — ...
~ ^^ ^ • Jf ' ~ ^'^ ^ • 3f ~ ^^ ^ • rfi^ ~ • • ' '
en changeant Z en T, comme dans lart. 7.
On voit que le second membre de T équation précédente est la même fonction que nous avons vu devoir être indépendante du temps t (art. 7) : d'où il suit qu'après y avoir substitué les valeurs de ^, 4» ^> ^^y ^^ fonctions de t et des constantes arbitraires, on pourra y faire t nul ou égal à une valeur quelconque.
12. Donc, si Ton suppose, ce qui est toujours permis, que ces fonctions, ainsi que celles qui représentent les valeurs de ^p» 'rn^ 'j~i^ ^^^-j soient développées en séries de puissances ascendantes de ^, de cette manière :
4 = |3 -h |3'« + jS"*' + p''t' + . . . ,
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. Sog
ai
et qu'on substitue ces valeurs dans le second membre de l'équation de l'article précédent, on pourra y faire ^ = o, ce qui les réduira aux seuls premiers termes a, ]3, 7, etc., A, /a, v, etc.
Cette équation se réduira ainsi à la forme
— AAcTa — A^e^/S — ^ifSy — ....
15. Les quantités a, p, 7, etc., A, ^t, v, etc., ne peuvent être que fonctions des constantes arbitraires que la double intégration introduit dans les expressions finies des variables ^, 4> ^? ^t^-» ^* ^'^^ P^"* ^^ssi les prendre pour ces mêmes constantes.
En effet, les constantes arbitraires qui donnent à la solution d'un problème de Mécanique toute l'étendue qu'elle peut avoir, sont les valeurs initiales des variables, ainsi que celles de leurs différences premières, c'est-à-dire
les valeurs de ^, 4» <P? etc. > ^^ de ^ » ^ > Th^ ^^^"* ^^^^^^ ^ = o ; ces valeurs
sont donc, dans les expressions de ^, 4? ?9 etc. , que nous avons adoptées, 6c, |3, 7, etc. , a', /3', y\ etc. Or, T étant une fonction donnée de Ç, 4» ?, etc. ,
et de f = ^ , 4'= 5^^' ^ "^ ^' ^'^^ *' ^^* ^'^^'^ qu'en faisante = o dans
les fonctions T^> -jr;? ^;> etc., ce qui les réduit à A, /^, v, etc., ces constantes A, /t6, V, etc., seront les mêmes fonctions des constantes «9 /3, 7^, etc.,
jrrt //T* //T
^'> /3', y\ etc. ; que les fonctions^,» 337' rf^' ^^^^ '^ ^^'^^^ ^^^ variables ^, 4> ^ï etc., f , 4\ ç'j etc. Par conséquent, au lieu de prendre immédiatement a', ]3', y, etc., pour constantes arbitraires, on peut prendre celles-ci, A, ^c, V, etc., qui en dépendent. Ainsi on aura a, ^, y, etc.. A, /u, v, etc., pour les constantes arbitraires des expressions de Ç, 4? ?» etc. ; et l'on voit
3lO KBCANkJUE ANALYTIQUE.
que le nombre de ces constantes sena précisément double de celui des variables ^, 4» ^» ^*^-
De cette manière, la différentielle à . H, dans laquelle la caractéristique A
ne doit affecter que les constantes arbitraires contenues dans 12, à raison des valeurs de ^, 4» ^^ ^^' » ^"^ renferment ces constantes, deviendra
En la substituant dans le premier membre de Féquation de l'article précédent, et ordonnant les termes par rapport aux différences marquées par A, on aura
^ f^dt-^Sc^àh^^^^dt-^ê^y^-hl^^ . =o.
Comme on peut donner aux différences Aa, A/3, etc., marquées. par la caractéristique A, une valeur quelconque, il faudra que Téquation soit vérifiée, indépendamment de ces différences, ce qui donnera autant d'équations particulières, telles que
'j^dt= — ^ot, ^dt = —S^, ^dt= — ^y,....
14. Les différences .marquées par la caractéristique ^ sont proprement les différentielles des constantes arbitraires devenues variables (art. 10); ainsi, comme ces différentielles peuvent maintenant être rapportées également au temps £, il est permis et même convenable -de changer le ^>en dy et Fon aura, pour la détermination des nouvelles variables a, p, >, etc. , A, /e«, y, etc. , les équations
da da d^ dSl dy da dt oT dt d\t. dt """ dv
dl da ^rfû dv da
7ît~da' 'dt~d^' dt~^'"
SECONDE ^AUTTE. — LA DYNAMIQUE. 3l I
qui sont, comme Ton voit, sois ime forme trè^-simple, et qui fournissent ainsi la solution la plus simple du problème de la variation des constantes arbitraires.
15. Comme la fonction SI renferme les quantités a, (B, 7, etc. , A, yu, v, etc. , il faudra les regarder aussi comme variables dans les difTérences partielles de cette fonction ; mais lorsque la valeur de £î, qui dépend des forces perturbatrices, est supposée fort petite, il est clair que les variations de ces quantités seront aussi fort petites, et qu'on pourra, dans la première approximation, les regarder comme constantes dans les différences partielles de Î2, et n'avoir égard à leur variabilité que dans les approximations suivantes.
Dénotons par a, 6, c, etc., /, m, n, etc., les parties constantes de a, |S, 7, etc.. A, /bty V, etc., et par a', |3', >', etc., a', iu\ v\ etc., leurs parties variables, qui, étant de l'ordre de la quantité 11, serrcHit nécessairement trèspetites, et soit O la valeur de fl, en y changeant a, /3, 7, etc. , A, /w, v, etc. , en a, è, c, etc., /, m, n^ etc.
On aura ainsi
et Ton aura par le développement
Les équations diffénentidles de l'article précéckent donnâront
d}K = -^r- dtj dfd! ^=:^ —Tj- dt^ rfy'= -^^ dt^ ... ;
car il est évident que les différences partielles relatives à a, |3, 7, etc. , A, a, V, etc., peuvent être rapportées aux quantités analogues a, è, c, etc. , /, w, w, etc.
Pour la première approximation, on aura iî = 0, O étant une simple
3l2 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
fonction de t; donc on aura par l'intégration
En substituant ces valeurs dans l'expression de Û» on aura pour la seconde approximation,
daj dl
do rdo ,. do rdo
dm
» rdo j, do rdo ,,
J1b'^'--^Jd^'^^
et ainsi de suite.
16. 11 y a ici une remarque importante à faire. Si la fonction O ne contient le temps que sous les signes de sinus et cosinus, il est clair que la valeur de a ne contiendra, dans la première approximation, que les mêmes sinus et cosinus. Mais on pourrait douter si, dans l'approximation suivante, elle ne contiendrait pas des termes où le temps t serait hors des signes de sinus et de cosinus, et qui, croissant continuellement, augmenteraient à l'infini la valeur de H, et rendraient, par conséquent, l'approximation fautive.
Pour lever ce doute, nous remarquerons que de pareils termes ne pourraient venir que d'une partie constante de Û, c'est-à-dire dégagée de tout • sinus ou cosinus renfermant le t.
Soit donc A cette partie qui sera fonction des constantes arbitraires a, |3, 7, etc., A, At, V, etc. Ainsi O contiendra une pareille fonction de a, è, c, etc., /, m, », etc., que nous dénoterons encore par A.
En substituant A au lieu de O dans l'expression de ù de l'article précédent, on aura la partie de 11, due à la constante A, dans la seconde approximation, et cette partie sera
dAdA dAdA.
dl da da dl
±AdAdAdA^ dm db db dm '
jo\x l'on voit que les termes affectés de t se détruisent mutuellement.
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 3l3
Ainsi Ton est assuré que la seconde approximation ne donne dans Ù aucun terme qui croisse avec le temps t; mais il resterait à voir s'il en pourrait naître dans les approximations suivantes.
Au reste, le même terme constant A pourrait donner encore dans il des termes multipliés par tj étant combiné avec des termes non constants de la même fonction Cl ; mais alors le t qui se trouverait dégagé des sinus et cosinus, serait en même temps multiplié par des sinus ou cosinus d'angles proportionnels au temps. La même chose aurait lieu si le coefficient de t sous les signes de sinus et cosinus était fonction des constantes arbitraires a, |3, 7 , etc. , parce qu'alors les différentiations partielles de (î, relatives à ces constantes, feront sortir le t hors des sinus ou cosinus. Mais on peut remarquer, en général, que lorsque les approximations successives font paraître des termes de la forme dont il s'agit, dans lesquels des sinus ou cosinus se trouvent multipliés par l'angle qui est sous ces sinus ou cosinus, ces sortes de termes sont presque toujours le résultat du développement d'autres sinus ou cosinus, et l'on peut les éviter en intégrant directement les équations différentielles entre les constantes arbitraires devenues variables ,
17. Quoique les constantes arbitraires que nous avons employées soiejit celles qui se présentent le plus naturellement, et qui donnent les résultats les plus simples, il arrive souvent que les différentes intégrations introduisent à leur place d'autres constantes, mais qui ne peuvent être que des fonctions de celles-là.
Nous désignerons, en général, les constantes arbitraires qui sont censées entrer dans les expressions des variables Ç, 4? <Pj etc. , par a, è, c,/, gy etc. , dont le nombre doit être également double de celui des variables ; et pour avoir les relations entre ces nouvelles constantes et les premières, il suffira
de supposer ^ == o dans les valeurs des fonctions ^, 4» ^> ^^c., -jpj -Tr,y
•^y etc., et d'égaler les résultats aux quantités a, |3, y, etc.. A, yu, v, etc.
De cette manière on aura autant d'équations entre ces différentes constantes, par lesquelles on pourra déterminer les valeurs de a, 6, c,/, g^ etc., en fonctions de a, |3, 7, etc.. A, At, r, etc.
Nous supposerons donc ces fonctions connues, et la différentiation nous
Méc. anal. I. 4^
Hi
^ca:
mq
lUB
donnera tout de
suite
da
da da
doi
da
da j
■^dy^y
da -^dl
rfA
da dii
df/,-
da 1
Donc, substituant les valeurs trouvées ci-dessus (art. 14) de rfa, rfj5, etc. , et divisant par dt^ on aura
da
dt
da da dX da
da da dyL d^
da da d)^ dy
da da da 'dX
da da
dp dii
da da dy dv
Il en est de même des valeurs de j-> ^^ etc., pour lesquelles il n'y aura qu'à changer dans l'équation précédente a en 6, en c, etc.
18. Mais ces formules contiennent encore les difîerences partielles de iï relatives aux constantes or, ^, 7^, etc., et il s'agit de les chariger en différences partielles relatives à a, 6, c, etc., ce qui est facile par les opérations connues.
En effet, comme Q est censée maintenant fonction de a, i, c, etc. , et que ces quantités sont elles-mêmes fonctions de a, |3, y, etc.. A, yu, v, etc., on a tout de suite, par l'algorithme des différences partielles,
^dada daM da de da da da db da de da
da dada da M dade
"5^~^5p"^"3&rf/3"^ de
et il n'y aura plus qu'à substituer ces valeurs dans celles de -t-j -tt^ etc. , de
l'article précédent.
En feisant ces substitutions et ordonnant les termes par rapport aux différences partielles de iî, on voit d'abord que le coefficient de -^ est nul dans
la valeur de ^ > que celui de -tt- est nul dans la valeur de ^ > etc .
SECOJVDE PAUTIB. — LA DYNAMIQUE. 3l5
Ensuite si , pour représenter la valeur de ^ > on emploie la formule
du j f\ diï i V dix i j*\ dil
on aura
. , V da db da db da db
(a.b) jj ^ H- 2^^ -I- H . . .
. da db da db da db da dX d^ d[i dy dv ' * * '
y V da de da de da de
da de da de da de da dy d^ dfi dy dv
db
Et pour avoir la valeur de -j- ' îl ^'y ^ura qu'à changer dans ces formules a en è et 6 en a, en remarquant que Ton a (b^a) = — {(^yb) ; on aura ainsi
db / f\ dil ti \ dQ» il y>\ dH
/f \ db de db de M de
db de db de db de ~didl^d(idii~d^di~''''
En général, si k représente une quelconque des constantes aiintraires a, bj c^/, etc., et qu'on observe que la valeur des symboles représentés par deux crochets devient nuHe lorsque les deux lettres renfermées entre les crochets sont identiques, et qu'elle change simplement de signe lorsqu'on change Tordre de ces lettres, on aura ces formules générales,
dk / . V dil / y * V dit / « V dit
/f V dk da dk da dk da
^da dk^da dk^ da
da dX d^ dfi ^ dy dv ' ' ' '
3lG MÉCANIQUE ANALYTIQUE,
19. Le principal usage de ces formules est dans la théorie des planètes , pour calculer l'effet de leurs perturbations, en le réduisant à la variation des constantes arbitraires qui sont les éléments du mouvement primitif. Elles sont surtout utiles pour déterminer les variations que les astronomes appellent séculaires, parce qu'elles ont des périodes très-longues et indépendantes de celles qui ont lieu dans les variables primitives.
Comme les équations de Tart. 18 ne contiennent d'autres fonctions du temps que les différences partielles de la fonction il^ si l'on cherche par la résolution en séries, ou autrement, la partie A de la fonction fi, qui est indépendante du temps ^, et ne contient que les constantes arbitraires a, 6, c, etc., il suffira de substituer, dans ces équations, A au lieu de fi, et Ton aura directement les équations entre les quantités a, b, c, etc., devenues variables, et le temps t, lesquelles serviront à déterminer leurs variations séculaires, parce qu'elles sont débarrassées de tout sinus ou cosinus.
§111. — Oà l'on démontre une propriété importante de la quantité qui exprime la force vii^e dans un système troublé par des forces perturbatrices .
20. Les constantes arbitraires dont nous venons de donner les variations, dépendent de la nature de chaque problème, et ne peuvent être déterminées que dans les cas particuliers. Il y en a cependant une qui a lieu, en général, pour tous les problèmes où V n'est fonction que de Ç, 4>^> ^*^- ? ^'^^* ^^^'^ que l'intégration doit ajouter à t\ car, comme les équations différentielles ne renferment alors que l'élément cfe, il est clair que dans les expressions finies des variables en fonction de ^, on peut toujours mettre t plus une constante arbitraire à la place de t.
Désignons cette constante par K, et rapportons-y les différences marquées par la caractéristique A dans la formule générale de l'art. H. On aura ainsi
Mais puisque $, 4? <P, etc. , sont fonctions de ^ -f- K, il est clair qu'on aura
dK'^ dt —^ '
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 3iy
et de même
dK dt ~^' dK dt ^ '"" Donc
A^ = 0'AK, a4 = 4'^K, A(p — (p'aK, ....
Par la même raison, on aura
, dZi , dXi
.dZ "dl\rr .dZ WaK-
Mais les équations différentielles de Tait. 3 donnent
•rff <^Z "gf dZ
dt ~ d\' dt ~ d<^*
Donc on aura
aZ dZ .-wr . dZ dZ . jw-
Ainsi la formule générale de Tart. il deviendra par ces substitutions, et après la division par AK,
Or on a
dTà i^te dià ^ ■ aZ |i
~dî'^^~d^'^'^~d^'^^~'-'
et comme Z est censée fonction de f , 4> ^? ^*^^- ? et de f ', 4'? ^'> ^t**? o*^ aura
<^z = f <^Ç+f<^4-Hf ^^+...
^ÇZ-V ^ ^f^/'Y ' ^y
3l8 MECANIQUE ANALYTIQUE.
Donc réquation précédente deviendra
dK
dont le second membre doit être une fonction des constantes arbitraires, indépendante de t.
21. En effet, si Ton change Z en T — V et 0', 4\ <P\ etc., en ^, ^, ^, etc. (art. 3), il est facile de voir que la quantité
./ aZi tfdZà , ^f dZi rw
sera la même cho^ que la quantité
que nous avons vue être toujours égale à une constante et qui se réduit à T -f- V (section précédente, art. 14), d'où résulte l'équation T -+- V = H, laquelle exprime la conservation des forces vives du système.
Ainsi, en prenant H pour une des constantes arbitraires, on aura pour sa variation due aux forces perturbatrices contenues dans la fonction 12, cette formule très-simple,
22. On pourrait aussi arriver à cette formule par un chemin plus court. En effet, si l'on reprend les équations de Tart. 8, qu on les ajoute ensemble après les avoir multipliées respectivement par d^j rf4» ^^» etc. , et qu'on intègre en employant les mêmes réductions que nous avons pratiquées dans l'art. 14 de la section précédente, on parviendra directement à l'équation
dans laquelle la quantité qui est sous le signe intégral n'est pas intégrable en général , parce que la fonction Û, à cause de la mobilité qu' on peut supposer aux centres des forces perturbatrices, est censée contenir, outre les variables ^, 4» ?> etc., encore d'autres variables indépendantes de celles-là.
SECONDE PAUTIB. — LA DYNAMIQUE. il 9
Dans le ca§ où il n'y a point de forces perturbatrices^y on a simpleinent T + V = H« Or il e&t érident cpi'oii peut comerv^ cette forme à rintégrale qu'on vient de trouver, en rendant variable la constante H, et en faisant
mais il est visible que la quantité
dit «V dil I I ail j
n'est autre chose que la différentielle de (2, en ne faisant varier que les quantités 0, 4' ^9 ^^^*' m^^ dépendent des équations différentielles primitives, et qui sont supposées connues en fonctions de ^ + K, en nommant K, comme* dans l'art. 20, la constante qui peut toujours s'ajouter à la variable t. Ainsi, comme les variables f , 4» 9^ ^^' 9 ^^ varient qu'avec le temps t, il est facile
de voir que la quantité dont il s'agit sera la même chose que -^^ dt ; par conséquent, on aura, comme plus haut, l'équation --x- = -JK'
25. Cette équation peut donc aussi se mettre soud ia forme -^- :=^ ( ^ j 9
pourvu que dans la différence partielle de ù on ne fasse varier Te t qu'autant qu'il est contenu dans les expressions des variables Ç, 4? ?? ^^c.; et il résulte de cette formule, que si la fonction H ne contient le temps t que sous les signes de sinus et cosinus, comme cela a lieu dans la théorie des planètes,
l'expression de ( -^ ) ne pourra contenir que des termes périodiques, pprce
que tout terme constant de fl s'en ira par la diifére]vtiaM>n relative à t. Ainsi, dans la première approximation, où l'on regarde comme absolument constantes, les constantes arbitraires qui entrent dans la fonction (1, Tintégrale
de l -^ jdty c'est-à-dire la valeur de H, ne pourra pas contenir des termes
tels que Nr qui croissent avec le temps t. Nous avons vu plus haut (art. 16) que la seconde approximation ne peut donner à ii aucun terme qui ne soit périodique ; donc la même conclusion relative à la valeur de H aura lieu encore dans la seconde approximation.
320 MISCANIQUE ANALYTIQUE.
24. La quantité T exprime la force vive dti système, et elle est égale à H — V. Lorsque le système n'est troublé par aucune force perturbatrice, la quantité H est constante, et la force vive ne dépend que des forces accélératrices contenues dans l'expression de Y, comme on l'a vu dans l'art. 34 de la sect. IIL Cette quantité devient variable quand il y a des forces perturbatrices, par conséquent la force vive sera altérée par l'action de ces forces; mais, par ce que nous venons de démontrer, on voit que ses altérations ne pourront être que périodiques, si l'expression des forces perturbatrices est périodique, du moins dans les deux premières approximations. Ce résultat est d'une grande importance dans le calcul des perturbations.
