SIXIÈME SECTION
SUR LES OSCILLATIONS TRÈS-PETITES d'uN SYSTÈME QUELCONQUE DE CORPS.
Les équations différentielles du mouvement d'un système quelconque de corps sont toujours intégrables dans le cas où les corps ne s'écartent que très-peu de leurs points d'équilibre ; et l'on peut alors déterminer les lois des oscillations de tout le système. L'analyse générale de ce cas, qui est trèsétendu, et la solution de quelques-uns des principaux problèmes qui s'y rapportent, sont l'objet de cette section.
§ I. — Solution générale du problème des oscillations très-petites d'un système de corps autour de leurs points d'équilibre.
I . Soient a, 6, c les valeurs des coordonnées rectangles ;r, j, z de chaque corps m du système proposé dans le lieu de son équilibre. Comme on suppose que le système, dans son mouvement, s'éloigne très-peu de sa situation d'équilibre, on aura, en général,
les variables a, |3, 7 étant toujours très-petites; il suffira, par conséquent,
d'avoir égard à la première dimension de ces quantités dans les équations différentielles du mouvement. La même chose aura lieu pour les autres quantités analogues, qu'on distingue par un, deux, etc., traits, relativement aux différents corps m', m '^j etc., du même système.
G>nsidérons d'abord les équations de condition qui doivent avoir lieu par la nature du système, et qu'on peut représenter par L = o, M = o, etc. , L, M, etc., étant des fonctions algébriques données des coordonnées a:,j, z^ ^' -> x\ ctC' Comme la position d'équilibre est une de celles que le système peut avoir, il s'ensuit que les mêmes équations L = o, M = o, etc. , devront subsister, en supposant que o:, j, z, x\ etc., deviennent a, 6, c, a', etc.; d'où il est facile de conclure que ces équations ne sauraient renfermer le temps t.
Soient A, B., etc., ce que deviennent L, M, etc., lorsque ^, j, z, etc., deviennent a, è, c, a', etc.; il est clair qu'en substituant pour x, j, z, x\ etc. , leurs valeurs a ■+■ a, 6 H- ]3, c H- 7, a' -h a', etc. , on aura, à cause de la petitesse de a, |3, y, a', etc.,
T A dk dk ^ . dk dk f ,
et ainsi de suite.
Donc, 1° on aura
relativement à l'équilibre; 2° on aura les équations
dk dk ^ dk dk f
dh rfB „ rfB dYi .
5i« + 5Â^-^rfc^-»-5^« + •••=*''
lesquelles donneront la relation qui doit subsister entre les variables a, j^, 7, a', etc.
En négligeant d'abord les quantités très-petites du second ordre et des ordres supérieurs, on aura des équations linéaires par lesquelles on déterminera les valeurs de quelques-unes de ces variables par les autres ; ensuite
Mec, anal, I. 4'
322 MISCANIQUE ANALYTIQUE.
par ces premières valeurs on en trouvera de ptus exactes, en tenant compte des secondes puissances, et des puissances plus hautes, comme on voudra. On aura ainsi les valeurs de quelques-unes des variables a, /3, >, ol\ etc., exprimées par des fonctions en série des autres variables ; et ces variables restantes seront alors absolument indépendantes entre elles.
On pourra aussi, dans la plupart des cas, en ayant égard aux conditions du problème, réduire les coordonnées, immédiatement par des substitutions, en fonctions rationnelles et entières d'autres variables indépendantes entre elles, et très-petites, dont la valeur soit nulle dans Tétat d'équilibre.
Nous supposerons donc, en général, que Ton ait
^;=z= a -(- a I Ç -f- a%'\ + a3^ -f- ... H- a' i ^''-h . . ., j = è -h è I Ç -h 6 2^ "^ ^ 3^ H- ... -+■ h' i^^-h . . . , z = c H- c i^ H- C24 -t- cS^H- ... -h c'i^* 4- . . .,
et ainsi des autres coordonnées x\ y\ etc. ; les quantités a, ft, 6-, a i , è i , etc . , sont constantes, et les quantités ^, 4» ^> ^^c, sont variables, très-petites, et nulles dans l'équilibre.
2. Il ne s'agira que de faire ces substitutions dans les valeurs de T et V de l'art. 10 de la sect. IV; et il suffira de tenir compte des secondes dimensions, pour avoir des équations différentielles linéaires. Et d'abord il est clair que la valeur de T sera de cette forme :
(i,2)rf|rf^fi + (i,3)rf^rfy-f-(2,3)rf<p rfy
en supposant, pour abréger,
(i) = S(ai'-|-èi^-l-ci^)m,
(1.2) = S(aia2 H- èi 62 -hcic2)m, (i,3) = S{aia3-t- b\ bi H-cic3)m,
(2.3) = S(a2a3-+- ft2 63-|-c2c3)m,
SECONDE PARTIE» — LA DYNAMIQUE. inS
OÙ le signe S dénote des intégrations ou sommations relatives à tous les différents corps m du système, et en même temps indépendantes des variables ^, 4' 9' ^^^* ' ^^^ ^^ ^^ temps t.
Ensuite, si l'on dénote par F la fonction algébrique n, en y mettant a^b^Cj à la place de a;, j, z, il est clair que la valeur générale de n sera représentée ainsi,
(ai^H- aa^ -h a3^-h ...)
da dV
dF
(èig-+- èa^-f- ft3(p-h ...)
^^^(ai^ + a24-ha3(p-h ,..)' ^-^(aig4-a24-f-«30-|- ...) (èi$-+-è24-H^3(pH- .. .)
où il suffit d'avoir égard aux secondes dimensions de §, 4' f 9 etc.
Multipliant donc cette fonction par m, et intégrant avec le signe S, on aura, en général,
[i,2]e4-H[^3]Ç(pH-[2,3]4(p,...
H =SFin,
^5^''»*» + ^3^«»^» + ^3fc^^'''»
d*F , rf'F, , </'F
da* ' db* ' de'
l^J = ^i d*F , rf»F d*F ,
f^] — Si ^.p o,Q . d^F o o , d'F ,, ol""'
rf'F . «'"F. , . <i»F
[ I ,a] = S { H- ^^^{ai èa H- aaè i) -|-^^(a 1 C2 H- aac i) } m,
3j3^{*icaH-*aci)
^^aia3-i-^gr*io3 + -^cic3 [i,3]=Sj-h^^(ai*3+a3èi)H-2^{aic3H-a3ci)(m,
^(*ic3 + 63ci)
rf'F o . «'•F, .o . <i*F a
[a,3] = S J -h 3^^(«aè3 -t- a3èa) H- 3^ (a2c3 H-a3c2) J m,
^(*ac3-hi3ca)
3. Ayant ainsi les valeurs de T et V exprimées en fonctions des variables ^, 4> 9) etc., indépendantes entre elles, on n'aura plus aucune équation de condition à employer ; et comme la quantité T ne contient que les difTérentielles des variables, on aura sur-le-champ, pour le mouvement du système,
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. Sa S
les équations suivantes :
a . Ti — I — ^— = o,
dont le nombre sera, comme Ton voit, égal à celui des variables.
Ces équations doivent avoir lieu aussi dans Tétat d'équilibre, puisque le système y étant une fois, y resterait toujours de lui-même; or, dans l'équilibre on a constamment a: = a, j = è, z = c, j:'= a', etc., par l'hypothèse ; donc Ç = o, 4 = o» ^ = o» ctc- » ^i^^i que ^ = o, ^ ^= o, etc. ,
et -jj = o, etc. Donc les termes d, ^^7' ^'Jl^^ ^*^'' seront nuls, et les
termes -jp ? 'JX^ T^ ^^' ' ^ réduiront à H i , H 2 , H 3 , etc. Par conséquent,
on aura
Hi = o, H2 = o, H3 = o,...;
ce sont les conditions nécessaires pour que a, 6, c, a^ etc. , soient les valeurs de Xy j, z, x'j etc., pour l'état d'équilibre, comme on le suppose. En effet, il est visible que
dY = S(P^ H- Qdq + R^ H- . . . ) m
exprime la somme des moments de toutes les forces Pm, Qm, Rm, etc., appliquées à tous les corps m du système, et qui doivent se détruire mutuellement dans l'état d'équilibre; donc, par la formule générale donnée dans la sect. II de la F® partie, il faudra que l'on ait rfV = o, par rapport à chacune des variables indépendantes ; par conséquent,
ON dV d\
seront les conditions de l'équilibre, lequel étant supposé répondre à ^ = o,
^ = o, (p = o, etc. , on aura
Hi =o, H2 = o, H3 = o,....
De sorte que les premières dimensions des variables Ç, 4> 9^ ^*^'? ^^"^ '^*" pression de V, disparaîtront toujours.
Substituant donc dans les équations générales les valeurs de T et de V, et faisant Hi , H 2, H 3, etc. , nuls, on aura, pour le mouvement du système,
[3]^ + [i,3]eH-[2,3]4
équations qui, étant sous une forme linéaire avec des coefficients constants, peuvent être intégrées rigoureusement et généralement par les méthodes connues .
4. On peut supposer d'abord que les variables, dans ces sortes d'équations, aient entre elles des rapports constants, c'est-à-dire que l'on ait
par ces substitutions, elles deviendront
[(i) + (i,2)/+(i,3)g-+...]^^+([i] + [i,2]/-h[i,3]g-+...)e=o, [(2)/-H(i,3)-h(a,3)ê-+...]Sf^H-(W/-t-[i,2]-h[2,3]g-H...)^=o, [(3)g^H-{i,3) + (a,3)/+...]J|+([3]ê-H-[i,3]H-[2,3]/H-...)t=o,
lesquelles donnent -jj -+- A^ = o, en faisant
Le nombre de ces équations est, comme Ton voit, égal à celui des inconnues/*, gj etc., k; par conséquent, elles déterminent exactement ces inconnues; et comme, en retenant pour premier membre le terme Âr, et le multipliant respectivement par le dénominateur du second, on a des équations linéaires en/*, g, etc., on pourra les éliminer par les méthodes connues, et il n'est pas difficile de voir, par les formules générales d'élimination, que la résultante en k sera d'un degré égal à celui des équations, et, par conséquent, égal à celui des équations différentielles proposées; de sorte que l'on aura pour k un pareil nombre de différentes valeurs, dont chacune étant substituée dans les expressions de/, g, etc. , donnera les valeurs correspondantes de ces quantités.
Maintenant l'équation ^t + k%=^o donne par l'intégration
Ç = Ewn(^V^-hg),
E, î étant des constantes arbitraires; ainsi, comme on a supposé 4 =/?» f = ^^, etc. , on aura aussi les valeurs de 4, 9, etc.
Cette solution n'est que particulière, mais elle est en même temps double, triple, etc., selon le nombre des valeurs de ^; par conséquent, en les joignant ensemble, on aura la solution générale, puisque d'un côté la somme des valeurs particulières de ^, 4, ^, etc., satisfera également aux équations différentielles, à cause de leur forme linéaire, et que de l'autre cette somme contiendra deux fois autant de constantes arbitraires qu'il y a d'équations, et, par conséquent, autant que les intégrales complètes peuvent en admettre.
Dénotant par k\ k"y k'^, etc. , les différentes valeurs de ky c'est-à-dire les racines de l'équation en k^ et par/', g\ etc. yf^ g" ^ etc. ,/''', g^ ^ etc. , etc. , les valeurs correspondantes de/*, g", etc. ; et prenant un pareil nombre de
S'iS MECANIQUE ANALYTIQUE.
coefficients arbitraires Ë', E''', E*^, etc., et d'angles aussi arbitraires s', t" ., s'", etc. ; on aura ces valeurs complètes de 0, 4> 9i ^^c* >
e= E'sin(«\/F-h«')-«- E''sin(<v/F-h6'')H- E''sin(^v/P^-f-6«')-f-..., 4 =/E'sin(/ v^-h«')H-/''Ë''sin(< v/F-h«''')-f-/'"E*sin(<v/P-h«"')+... . ,
dans lesquelles les arbitraires E', E", E"', etc., é', e'^, g"', etc., dépendront
des valeurs de ^, 4? 9y ^tc., et ^> -^y ^> etc., lorsque t est égal à o, et,
par conséquent, de l'état initial du système.
En effet, si dans les expressions trouvées de ^, 4? ^^ ^^c, on fait ^ = o, et qu'on suppose données les valeurs de ^, 4* Çj ^'c*? on aura des équations linéaires entre les inconnues E'sin^^ E'^sins'"^, etc., par lesquelles on pourra déterminer chacune de ces inconnues. De même, si l'on fait ^ = o dans les différentielles dés mêmes expressions, et qu'on regarde aussi comme
données les valeurs de n^i -^j -^j etc., on aura un second système d'équations linéaires entre Ë' cos «', E^ cos ('\ etc. , lesquelles serviront à leur détermination. De là on tirera aisément les valeurs de £', E", etc. , ainsi que de tang e', tang e'\ etc., et enfin celles des angles mêmes c', s^, etc.
Mais voici un moyen plus simple de déterminer ces inconnues directement et sans les embarras de l'élimination.
o. Je remarque qu'en ajoutant ensemble les équations différentielles de l'art. 3, après avoir multiplié la deuxième par y, la troisième par g, et ainsi de suite; et disant, pour abréger,
on a l'équation
d*l d*é cf»9 -h P0 H- Q4 -h R<P -h
Mais les équations de Tart. 4 donnent
Donc l'équation précédente deviendra de la forme
dont l'intégrale est
L et A étant deux constantes arbitraires.
Cette équation doit avoir lieu également pour toutes les différentes valeurs de k qui résultent des mêmes équations de condition, et que nous avons dénotées par /•', k'\ etc. Ainsi désignantde même par/?', /?'', etc. , ^f', ^", etc. , les valeurs correspondantes de p, q^ etc., et prenant différentes constantes arbitraires L', L", etc. , a', a", etc., on aura les équations suivantes :
p'i: -^ ^'4 + ^'^ H- • = L'sin {typP -h / ), /'Ç-H/4 + r'>-+-...=L^in(«v/^-hA"),
Ces équations serviraient également à déterminer les valeurs de §, 4» <p, etc., et il est clair que ces valeurs devraient coïncider avec celles qu'on a trouvées ci-*dessus (art. 6), puisqu'elles résultent les unes et les autres des mêmes équations différentielles. Ainsi, en substituant les valeurs de l'article cité dans les équations précédentes, elles devront devenir entièrement identiques.
D'où il est &cile de conclure que, pour la première équation. Ton aura
Méc, anal, I. 4^
33o ensuite
que ToH aura de même, pour la seconde équation^
ensuite
et ainsi des autres.
Donc, substituant dans les équations ci-dessus pour a', L', a", I/, a"', \1" , etc., les valeurs qu'on vient de trouver, on aura celles-ci :
E'sin(<v'F-hê') = E''sin(<v/>^"''' -+-«") =
E"'sin(<\/^
^m^ gllf'"^ ,
J//„Mt
qui sont les réciproques de celles de Fart. 4.
Maintenant la détermination des arbitraires E', E^'', etc., e\ s\ n'a plus de difficulté; car, i** en supposant ^ = o, les premiers membres des équations précédentes deviennent E'sing', E'^sing'', etc., et les seconds sont tous connus, en supposant les valeurs de ^, 4> ?? etc^ données dans le premier instant; 2° en difFérentiant les mêmes équations, et supposant ensuite ^ = o , les premiers membres seront
V^.E'cosg', v^.E''cosg%...,
et les seconds seront aussi tous connus, en regardant comme données les quantités -j-j -7^? -j^? etc., lorsque ^ = 0. Donc, etc.
C. La solution du problème est donc réduite uniquement à la détermination des quantités k^f^ g-, A, etc. ; et nous avons vu dans Tait. 4 que cette
riéteniiiiiation dépend de la résolution des équations
pk — P =: o, qk — Q = o, rk — R = o, . . . ,
en conservant les expressions de/?, y, r, etc., P, Q, R, etc., de Fart. o. Or, si Ton représente par A ce que devient la quantité T en y changeant
T"* ^-> ^> etc., en e,/", g^ etc., et par B ce que devient la partie de la
quantité V, où les variables ^, 4? ^j ^tc., forment ensemble deux dimensions, en changeant de même ces variables en e,y, g^ etc.; il est aisé de voir, et Ton pourrait même s'en convaincre à priori, que l'on aura
dk dh dA
en faisant ensuite <; =: i .
Donc, en général, si l'on fait h.k — B = K, les équations pour la détermination des inconnues k,f, g, etc., seront
dK dK dK
de ~ "' df ~ ^' d^
en supposant e = i . Ainsi, comme la quantité K se forme immédiatement des quantités T et V, on pourra aussi trouver directement les équations dont il s'agit, sans avoir besoin de les déduire des équations différentielles du mouvement du système.
Je remarque maintenant que, puisque K est une fonction homogène de deux dimensions de e,/", g^ etc., on aura par la propriété de ces sortes de fonctions, démontrée dans l'art. 15 de la sect. IV,
Donc on aura aussi K = o; par conséquent, les inconnues/*, g^ h, etc., doivent êlre telles, que non-seulement la quantité K soit nulle, mais que chacune de ses différentielles relatives à ces inconnues le soit aussi ; d'où il s'ensuit que la quantité A' regardée comme une fonction de ces inconnues, dépendante de l'équation K = o, devra être un maximmn ou un minimum.
Si Ton fait d'abord c = i , et qu'on remplace par K = o T équation ^ = o, on aura, pour la détermination des inconnues /*, g, A, etc., les équations
Si donc Ton tire d'abord la valeur de/* de l'équation -^ = o, et qu'en la
substituant dans K = o on change cette équation en K'= o, il n'y aura
qu'à faire ensuite -^ = o, et substituer de même la valeur de g tirée de
cette dernière équation dans K' = o ; alors nommant K'^ = o l'équation
résultante, on fera de nouveau -^r- = o, et ainsi de suite. Par ce moyen, on
parviendra à une équation finale qui ne contiendra plus les inconnues/, g^ A, etc., mais seulement la quantité kj et qui sera l'équation cherchée en /, dont les racines ont été nommées k\k^ ^k"\ etc.
On peut même réduire cette équation en une formule générale, en considérant que, puisque les quantités/*, g^ A, etc., ne forment ensemble dans la
valeur de K que deux dimensions, la quantité ^7^ sera nécessairement sans/, sa différentielle relative à /étant , ., j et par conséquent
nulle. De sorte qu'on pourra faire K'= ^r^ ; et comme dans cette
quantité K', les inconnues restantes, g", A, etc., ne montent aussi qu'à la
seconde dimension, on pourra faire de même K''= ^-^ » ^^ ^"'***
de suite. La dernière des quantités K, K', K", etc. , étant égalée à zéro, sef a l'équation cherchée en k. Il est vrai que cette équation pourra monter à un degré plus haut qu'il ne faut, à cause des facteurs étrangers introduits dans les équations K''= o, K'"= o, etc.; mais si, en développant ces équations, on a soin de les débarrasser successivement de ces mêmes facteurs, et de ne prendre ensuite pour les valeurs de K'', K*', etc., que leurs premiers membres ainsi simplifiés, l'équation finale se trouvera rabaissée d'elle-même à la forme et au degré dont elle doit être.
Quant aux valeurs de/, g^ etc. , on les déterminera ensuite par les equa-
lions -TTT = o, -j^ = o, etc. , en commençant par la dernière, et remontant à la première par la substitution successive des valeurs trouvées.
7. Comme la solution précédente est fondée sur la supposition que les variables ^, 4» ?» ^*^' > soient très-petites, il faut, pour qu'elle soit légitime, que Cette supposition ait lieu en effet; ce qui demande que les racines k\ k'\ etc., soient toutes réelles, positives et inégales, afin que le temps ^, qui croît à l'infini, soit toujours renfermé sous les signes de sinus ou cosinus. Si quelques-unes de ces racines devenaient négatives ou imaginaires, elles introduiraient dans les sinus ou cosinus correspondants des exponentielles réelles, et si elles devenaient simplement égales, elles y introduiraient des puissances algébriques de l'arc ; c'est de quoi on peut s'assurer, par les méthodes connues, en mettant dans le premier cas, à la place des sinus ou cosinus, leurs expressions exponentielles imaginaires, et en supposant dans le second, que les racines égales diffèrent entre elles de quantités infiniment petites indéterminées; mais comme le développement de ces cas est inutile pour l'objet présent, nous ne nous y arrêterons point.
Si la condition de la réalité et de l'inégalité des coefficients de ^ a lieu, il est visible que les plus grandes valeurs de ^, de ^, etc., seront moindres que les sommes des quantités E', E", E"', etc., des quantités /'E',/"E'\ f"'¥u"\ etc., en prenant toutes ces quantités positivement; par conséquent, si ces différentes sommes sont fort petites, on sera assuré que les valeurs des variables le seront toujours aussi.
Mais comme les coefficients E', E", E'^, etc. , sont arbitraires et dépendent uniquement du déplacement initial du système, il est possible que les variablés Ç, 4> ^tc, restent fort petites, quand même parmi les quantités y/F,
\/ÎP, etc. , il y en aurait d'imaginaires ou d'égales; car il suffit pour cela que les quantités correspondantes E\ E^, etc., soient nulles, ce qui fera disparaître les termes qui croîtraient avec le temps t. Alors la solution, sans être exacte en général, le sera néanmoins dans le cas particulier où la condition précédente aura lieu.
8. On a des méthodes pour reconnaître si une équation donnée, de quel-
que degré qu elle soit, a toutes ses racines réelles ou non, et pour juger, dans le cas de la réalité, de leur signe et de leur inégalité; mais l'application de ces méthodes étant toujours un peu pénible, voici quelques caractères simples et généraux qui serviront à juger de la forme des racines dont il s'agit, dans un grand nombre de cas.
En prenant l'équation K = o, ou A^ — B = o (art. 6), on a ^ = ~;
or il est facile de se convaincre que la quantité A a toujours nécessairement une valeur positive, tant que y, g", etc., sont des quantités réelles; car la
fonction T, d'où elle résulte, en changeant ^? -^^ ^? etc., en i , /i
g, etc. (article cité), est composée de la somme de plusieurs carrés multipliés par des coefficients nécessairement positifs. Donc, si la quantité B est aussi toujours positive, ce qui a lieu lorsque la partie de la fonction V, oii les variables ^, 4? <P? etc., forment ensemble deux dimensions, est réductible à la même forme que la fonction T, parce que la quantité B résulte aussi de cette partie de V, en changeant ^, 4> ?>> etc. , en i ,/*, g-, etc. , on est assuré que les valeurs de ^, c'est-à-dire les racines de l'équation en k, seront toujours positives toutes les fois qu'elles seront réelles.
Au contraire, si la quantité B est toujours négative, ce qui arrivera quand elle sera composée de plusieurs carrés multipliés par des coefficients négatifs, les valeurs réelles de k seront toutes négatives. Dans ce dernier cas, la solution ne pourra pas être bonne, parce que les racines de l'équation en k ne pouvant être qu'imaginaires ou réelles négatives, les expressions des variables $, 4> ^*^' contiendront nécessairement le temps t hors des signes de sinus et cosinus.
Dans le premier cas oii B est positive, on voit seulement que si les racines sont réelles, elles sont nécessairement positives; et il serait peut-être difficile de démontrer directement qu'elles doivent être toutes réelles; mais on peut se convaincre, d'une autre manière, que cela doit être ainsi.
Car le principe de la conservation des forces vives, que nous avons démontré dans le § V de la sect. III, donne l'équation T -}- V = const. (art. 14, section précédente), laquelle a toujours lieu puisque T et V sont fonctions sans t (art. 2). Or, si l'on désigne par V' la partie de V qui contient les termes de deux dimensions, en sorte que V = H -t- V, à cause de
SECONDE PARTIE. — w LA DYNAMIQUE. 33")
Hi = o, Ha = o, H3 = o, etc. (art. 5), on aura
T 4- H -h V'= const. = (T) 4- H -h (V), en dénotant par (T) et (V) les valeurs de T et V au premier instant; donc
Donc, puisque T est par sa forme une quantité toujours positive, si V Test aussi, on aura nécessairement V > o et < (T) + (V) ; de sorte que la valeur de V, et conséquemment aussi celles des variables Ç, '^^ ç, etc., seront renfermées clans des limites données et dépendantes uniquement de rétat initial. Ces variables ne pourront donc pas contenir le temps t hors des signes de sinus et cosinus, parce qa*alors elles pourraient aller en croissant à Tinfini. Or, lorsque la valeur de B est constamment positive, celle de V Test aussi; par conséquent, les racines de T équation en k seront nécessairement toutes réelles, positives et inégales (art. 7), et la solution sera toujours bonne.
Dans ce cas, Tétat d'équilibre d*oii le système a été déplacé sera stable, puisque le système y reviendra, ou tendra toujours à y revenir par des oscillations très-petites; du moins il ne pourra jamais s'en écarter que très-f)eu.
9. C'est de cette manière que nous avons démontré, à la fin de la sect. 111 de la Statique (art. 23 et suivants), que lorsque la fonction II est un minimum dans l'état d'équilibre, cet état est stable; car il est facile de voir que la fonction nommée II, dans l'art. 21 de la section citée, est la même que nous représentons ici par V, puisque l'une et l'autre est l'intégrale de la totalité des moments des forces agissantes sur les différents corps du système, totalité qui doit être nulle dans l'équilibre. Or, comme l'on a V = H -h V, et que V ae contient les variables f , 4? ?> ^tc., qu'àia seconde dimension, il s'ensuit que V sera un minimum ou Un maximum, selon que la valeur de V sera positive ou négative, en donnant à ces variables des valeurs quelconques. Donc l'équilibre sera nécessairement stable dans le cas du minimum de V (article précédent) .
Au contraire, dans le cas du maximum de V, la quantité V étant toujours négative, la quantité B Je sera aussi, puisqu'en fusant
la valeur de V devient ^'B (art. 6); et, par ce que nous avons démontré dans r article précédent, les expressions des variables contiendront nécessairement des termes où t sera hors des signes de sinus et cosinus ; l'équilibre ne pourra donc pas être stable, car le système en étant tant soit peu déplacé, s'en éloignera toujours davantage. Cette seconde partie du théorème énoncé dans l'endroit cité de la Statique n'avait pu y être démontrée faute des principes nécessaires ; nous en avions remis la démonstration à la Dynamique, et celle que nous venons de donner ne laisse plus rien à désirer.
10. Au reste, entre ces deux états de stabilité et de non-stabilité absolue, dans lesquels l'équilibre étant tant soit peu dérangé d'une manière quelconque, tend à se rétablir de lui-même, ou à se déranger de plus en plus, il peut y avoir des états de stabilité conditionnelle et relative, dans lesquels le rétablissement de l'équilibre dépendra du déplacement initial du système.
Car, si quelques-unes des valeurs de ^k sont imaginaires, les termes correspondants dans les valeurs des variables contiendront des arcs de cercle, et l'équilibre ne sera pas stable en général ; mais si Içs coefficients de ces termes deviennent nuls, ce qui dépend de l'état initial du système, les arcs de cercle disparaîtront, et l'équilibre pourra encore être regardé comme stable, du moins par rapport à cet état particulier.
11. Lorsque toutes les valeurs de y/Â sont réelles et inégales, et que, par conséquent, l'équilibre est stable, les* expressions de toutes les variables seront comppsées d'autant de termes de la forme
Esin(«y^ -f- i) qu'il y a de variables.
Or ce terme représente les oscillations très-petites et isochrones d' un pendule simple dont la longueur est | j en prenant g pour la force de la gravité. Donc les oscillations des différents corps du système pourront être regardées comme composées d'oscillations simples analogues à celles des
pendules dont les longueurs seraient ^,j ^,i ^,^ etc.
Mais les coefficients E', E'^ etc., étant arbitraires et dépendant uniquement de l'état initial du système, on peut toujours supposer cet état tel, que
tous ces coefficients, hors un quelconque, soient nuls; alors tous les corps du système feront des oscillations simples, analogues à celles d'un même pendule; et l'on voit qu'un même système est susceptible d'autant de différentes oscillations simples, qu'il y a de corps mobiles (*). Donc, en général, les oscillations quelconques d' un système ne seront composées que de toutes les oscillations simples qui pourront y avoir lieu par la nature du système.
Daniel Bemoulli avait remarqué cette composition d'oscillations simples et isochrones, dans le mouvement d'une corde vibrante chargée de plusieurs petits poids, et il l'avait regardée comme une loi générale de tous les petits mouvements réciproques qui peuvent avoir lieu dans un système quelconque de corps. Un seul cas, comme celui des cordes vibrantes, ne suffisait pas pour établir une telle loi ; mais l'analyse que nous venons de donner établit cette loi d'une manière certaine et générale, et fait voir que, quelque irrégulières que puissent paraître les petites oscillations qui s'observent dans la nature, elles peuvent toujours se réduire à des oscillations simples, dont le nombre sera égal à celui des corps oscillants dans le même système.
C'est une suite de la nature des équations linéaires, auxquelles se réduisent les mouvements des corps qui composent un système quelconque, lorsque ces mouvements sont très-petits.
12. Si les valeurs des quantités y/F, y/P, y/^''', etc., sont incommensurables, il est clair que les temps de ces oscillations seront aussi incommensurables, et que, par conséquent, le système ne pourra jamais reprendre sa première position.
Mais si ces quantités sont entre elles comme nombre à nombre, et que leur plus grande commune mesure soit ^, on verra facilement que le système reviendra toujours à la même position, au bout d'un temps 9 = — ,
TT étant l'angle de i8o degrés. Ainsi fl sera le temps de l'oscillation composée de tout le système.
13. La solution que nous venons de donner demande que les coor-
(*] Le nombre des oscillations simples n*est pas égal au nombre des corps mobiles , mais au nombre des variables indépendantes. C'est, du reste, ce que Lagrange dit lui-même au commencement du paragraphe. (/. Bertrand. )
Méc, anal. I. i^3
données puissent être exprimées par des fonctions en série de variables très-petites, et qui soient nulles dans l'état d'équilibre, ainsi que nous Favons supposé dans Tart. 3.
Or c'est ce qui est toujours possible, comme nous l'avons vu, lorsque les équations de condition, réduites en série, contiennent les premières puissances des variables supposées très-petites, parce que ces termes donnent d'abord des équations résolubles rationnellement, et qu*ensuîte on peut toujours, par la méthode des séries, avoir des solutions rationnelles de plus en plus exactes.
Il peut néanmoins arriver que les termes de la première dimension manquent dans une ou plusieurs des équations de condition, ce qui aura lieu, par exemple, si, dans l'équation L = o, les valeurs des coordonnées pour l'équilibre sont telles, qu'elles rendent non-seulement L nulle, mais aussi chacune de ces différences premières ; car on aura alors
dA dk
et l'équation L =± o ne contiendra que les secondes puissances et les puissances ultérieures de a, ^, 7, a', etc. (art. 1). Dans ce cas, si l'on réduit les coordonnées en fonctions de variables indépendantes, ces fonctions ne pourront plus être rationnelles, et les équations différentielles ne seront ni linéaires, ni même rationnelles. Ainsi la supposition des mouvements trèspetits du système ne servira pas alors à simplifier la solution du problème, ou du moins ne la rendra pas susceptible de la méthode générale que nous avons exposée.
Pour résoudre ces sortes de questions de la manière la plus simple, on fera d'abord abstraction des équations de condition , où les premières dimensions des variables ne se trouveraient pas ; on parviendra ainsi à des expressions de T et de V de la forme de celles de l'art. 2. Ensuite on ajoutera à cette valeur de V les premiers membres des équaticois de condition auxquelles on n'aura pas encore eu égard, multipliés chacun par un coefficient indéterminé, et qu'on supposera constant dans les différentiations par l\ et il suffira, dans ces termes dus aux équations de condition, de tenir compte des plus basses dimensions des variables très-petites. De là on trouvera les
équations différentielles à Tordinaire, et il s'agira d*en éliminer les coefficients indéterminés.
Si les équations de condition étaient du second degré, et que les coefficients indéterminés pussent être supposés constants, la valeur de V serait encore de la même forme que dans la solution générale ; par conséquent, on pourrait l'appliquer aussi à ce cas; on déterminerait ensuite les coefficients, en sorte que les équations de condition fussent satisfaites. On pourra donc toujours commencer par adopter cette supposition, on verra ensuite si les valeurs qui en résultent pour les variables, peuvent satisfaire aux équations de condition, auquel cas la supposition sera légitime, et la solution exacte ; sinon il faudra chercher à intégrer les équations différentielles par des méthodes particulières.
§ II. — Des oscillations d'un système linéaire de corps.
14. Lorsque les corps qui composent le système proposé sont disposés, les uns par rapport aux autres, d'une manière uniforme et régulière, on peut simplifier le calcul et parvenir à des formules générales et symétriques, en employant la notation et l'algorithme des différences finies. Nous allons en donner un exemple, en examinant le cas où un nombre quelconque de corps rangés sur une ligne droite ou courbe, oscillent en vertu de forces quelconques combinées avec leur action réciproque.
Soient .r, /, z les coordonnées rectangles d'un quelconque des corps du système, que nous dénoterons par Dm, en employant la lettre majuscule D pour dénoter les différences finies (art. 17, sect. IV). On aura d'abord
= S 4-î Dm,
la .caractéristique S représentant les sommes relatives à tout le système.
La fonction V doit contenir la somme SllDm provenant des forces accélératrices P, Q, R, etc. , qu'on suppose telles que l'on ait
n =/(Prf/? -h Qrfy + Rrfr H- . . .).
Cette fonction doit contenir aussi la somme Sf^dDs, en supposant que $ soit k force avec laquelle deux corps voisins qui sont à la distance Ds Tun de l'autre s'attirent, et que cette force soit une fonction de la même dîs-
34o MECANIQUE ANALYTIQUE.
tance D^, en sorte que /OrfD^ soit une quantité intégrable dont la différentielle par S soit <bSDs. Cette force $, que nous supposons fonction de D^, pourra varier d'un corps à l'autre, et sera, par conséquent, aussi fonction du nombre ou de la quantité qui représente la place de chaque corps dans la série de tous les corps, et à laquelle se rapporte le signe sommatoire S. Si les corps, au lieu de s'attirer, se repoussaient, il faudrait prendre $ négativement.
On aura ainsi
V = SnDmH-S/<I>rfD^,
et, par conséquent,
8V = S8nDm + Sil>SD^.
Et il est bon de remarquer que cette expression de SV serait la même, si les corps étaient liés entre eux de manière que leurs distances mutuelles fussent invariables; car on aurait dans ce cas l'équation de condition SDj = o, laquelle donnerait dans l'expression de SV le terme SaSD^' (article cité).
15. En exprimant l'élément J)s par les différences finies de x^ r, z, il est clair qu'on aura
donc, différentiant par S,
Substituant cette valeur, et faisant, pour abréger, jr- = W fonction de D^-, on aura
èY = SSnDm 4- Sw (Dx^Dx 4- DjSDj 4- DzSDz).
Gomme les caractéristiques D et S sont indépendantes entre elles, on peut changer S D en D S, et l'on aura
8V = SSnDm 4- Sw {DxD^x 4- DjDSj 4- DzDSz).
On peut aussi faire disparaître le D avant le S, par l'intégration par parties appliquée aux différences finies.
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 34 ï
