En effet, on a, en général

D.xy = xDy -+- yDx -+• DxDy

en dénotant par x^ le terme qui suit x dans la série des termes consécutifs x^ X 4- Dxy etc. Donc, en passant des différences aux sommes, on aura

SfDx = oj — Sx^Df.

On trouverait de la même manière

et ainsi de suite, x^ x^, x^^y etc. , étant les termes qui se suivent dans la même série.

Pour compléter ces sommations , il faudra rapporter les termes hors du signe S, au dernier point de l'intégrale finie SyDxy et en retrancher les mêmes termes rapportés au premier point. Ainsi, en marquant par un zéro et par un i placés au bas des lettres les termes qui se rapportent au premier et au dernier point, on aura ces sommations complètes :

SyDx = XiXi — x^x^ — Sx^Djr, SyD^x = j,Da?, — x^^ , Dj,

Lorsque la caractéristique S indique des sommes totales d'un nombre de termes donné, il est clair qu'on peut, à la place des termes ^,Dj, x^^Dy sous le signe S, prendre les termes précédents, que nous dénoterons par xD^y, a:D^^j, etc., en marquant d'un trait, de deux, etc., placés à gauche, les termes ^,j, ,j qui précèdent j dans la série indéfinie, etc., ,^/, ,/, J, j,,

17. Gela posé, mettons dans les formules précédentes Bx à la place de x^ et mDx à la place de j, on aura ces transformations :

SyDa;DS:r = {^fDxBx)^— {^T>x$x)^

— SBxD^iwDx);

et, de même^

-SSjD,(?^Dj), SvDzDSz = (vDzSz),. — (wDzBz)^

— SSzD,(yDz),

et l'on fera ces substitutions dans l'expression de SV.

Si le premier corps et le dernier sont supposés fixes, les variations Bx^^ Sy^, S 2^, et 8a:,, Sj,, 8z,, qui s'y rapportent, seront nulles. Nous adopterons d'abord cette hypothèse! qui simplifie les formules, et nous aurons, en conséquence ,

SV = SSnDm — SSa:D,(VDj?)

— S8jD,(yDj) — SSzD,(yD2).

En général, comme il faut que les variations disparaissent toujours, si le premier ou le dernier corps, ou tous les deux, n'étaient pas fixes, il faudrait supposer la valeur de W nulle au commencement ou à la fin. On aurait

ainsi, à cause de ¥ = ^ j la condition à remplir ^^ = o, ou $, = o, si le

premier ou le dernier corps est supposé mobile ; et si tous les deux étaient mobiles, on aurait les deux conditions 0^ = o et *,. = o.

18. La variation 8V étant réduite à cette forme simple, les équations générales de la sect. IV (art. 10) étant rapportées aux variables x, y, z de chacun des corps du système, donneront pour ces variables les trois équations suivantes, dans lesquelles je remets $ au lieu de ¥D^ :

dl*

Ces équations sont rigoureuses, quel que soit le mouvement des corps; mais lorsque ces mouvements sont très-petits, les équations se simplifient et deviennent linéaires, comme nous l'avons vu plus haut (§ I).

19. Supposons que dans l'état d'équilibre du système, les coordonnées Xy y^ z deviennent a, 6, c, et qu'elles soient dans le mouvement a + ?, 6 -h », c -f- ^, les quantités Ç, h, pétant très-petites. La fonction n deviendra

nH-^-^-h-^w+-T~^. Ainsi , en regardant dorénavant n comme une

simple fonction de a, 6, c, les trois différences partielles 5~ » t~ ' t" pourront s'exprimer ainsi :

m fdm « d*n d*n

(dm ç d*n d*n -,\

\da* * "^ dadb " "•" dad^ ^)

Xdldb ^ "•" dh**~^ dbdc ^) '

de "*" V^^rfc * "•" dbdc " "*" rfc» ^) '

Par les mêmes substitutions de a -h ^, è -h «, c H- Ç, au lieu de x, j^, s, les différences D:r, Dy, Dz deviendront

Da-hD^, D*H-D»i, DcH-DÇ.

A l'égard de la quantité $, qui est supposée fonction de D^, si l'on fait, pour abréger,

D/= ^Da^H-D^'H-Dc*, on aura d'abord

ensuite, si Ton nomme F ce que devient la fonction 4> lorsqu'on y change D^' en D/", et qu'on fasse , ^ = -=r^> on aura, par le développement,

séa

uei

nt.

p/ /Da D$

D& Dr) D/ D/ "^

De DÇX D/D/j'

4> Ds

■«Il, F

F— F/Da -+- D/ \,D/

D6 Du "^D/ D/

DeDÇ

"*" D/ Dy

20. Cki fera ces substitutions dans les trois équations trouvées ci-dessus, et comme dans l'état d'équilibre les variables Ç, n, Ç sont supposées nulles,

il faudra que ces équations se vérifient dans cette hypothèse. Ainsi les tennes constants devront se détruire, ce qui donnera d'abord les trois équations de condition

^^T\ T\ /FDa\

Din-D,(^-^j = o,

-^Dm-D,(^-^j = o,

Dm - D, (^) = o.

Ces équations donneront les valeurs que les coordonnées a, b^ c doivent avoir dans la situation de l'équilibre; et il est facile de voir qu'elles représentent d'une manière générale celles que nous avons trouvées dans la sect. V de la I'^ partie, pour l'équilibre de plusieurs corps liés par un fil extensible ou non.

21. On aura ensuite, entre les variables Ç, >i, ^et f, les trois équations suivantes, dans lesquelles je fais, pour abréger,

, Da ,, Di , De

y. (dm y rf«n d^U ^\^

p, rFD$ ^ ffa'm i'Dw cDt\l d*\T\ , { d*U. y. d*n d*U J\r,

dF^'^+[d^^-^dFdi' + ^^)^'^

L D/ ^'^ \Df ^ D/ ^ Df )\ ""■

Ce sont ces équations qui serviront à déterminer les oscillations du système supposées très-petites ; elles sont du genre de celles qu'on nomme à différences finies et infiniment petites, et comme elles sont à coefficients

constants, elles sont susceptibles de la méthode générale exposée dans le paragraphe précédent.

22. Les équations de l'art. 20, qui renferment les conditions de T équilibre, donnent, en passant des différences aux sommes,

FDa c^n p, .

-j^=S^Dm + A,

FDc c ^n T^ . r-

A, B, C étant trois constantes arbitraires; d'où Ton tire tout de suite

Lorsque la quantité F est une fonction donnée de D/*, ce qui a lieu quand on suppose que les corps s'attirent ou se repoussent par une force * fonction de leurs distances Ds^ la valeur précédente de F donnera la valeur de T)fqni doit avoir lieu dans l'état d'équilibre.

Mais lorsque les distances D^ sont supposées données et invariables, alors la quantités, qui tient lieu du multiplicateur A (art. 14), est inconnue, et doit se déterminer par la formule précédente; mais, dans ce cas, on a

D^ = D/, et, par conséquent (art. 19),

Da Y\^ Db j^ . De r\^

ce qui simplifie les équations de l'article précédent.

* 23. L'esprit de la méthode de l'art. 4 consiste à supposer que chaque variable soit exprimée par une même fonction de tj multipliée par une quantité différente pour chaque variable.

Si l'on désigne par 9 cette fonction, on fera

et, après avoir substitué ces valeurs dans les équations de l'art. 21 , on verra aisément que, pour vérifier ces équations, il est nécessaire que la variable 9

Mdc. anal. I. 44

soit déterminée par une équation de la forme

car alors, en mettant pour ^-p sa valeur — Afl, et divisant tous les tenues' par 9, on aura ces trois équations aux différences finies:

kXDm = ( -7^ X -h -j—jr X H- 1— r Z ) Dm

\ da dadb dadc )

T. TFDX ^. f/a'DX fc'DY c'DZ\l

j^^ f dm ^ d'n^ dm rj\r^

/'zn f dm ^ dm ^ dmrj\rx

^'Ld/ ^'^ V n/ ^ D/ + D/ jj 24. Fi'équation en 9 s'intègre facilement; elle donne

9= Esin(f y/^-hç),

E et g étant deux constantes arbitraires.

A regard des équations en X, Y, Z, elles ne sont en général intégrables en termes finis, par les méthodes connues, que lorsqu'elles sont à coefficients constants; mais si l'on développe les différences finies marquées par D, elles deviennent de la forme (art. 16)

AX, + BY, + GZ, + A'X -+- B'Y + C'Z + a;X -f- B; Y + C/Z = o;

les coefficients A, B, G, A', B', etc., sont constants ou variables, mais indépendants de t, et la quantité k n'entre que dans les valeurs de A', B', G', et seulement à la première dimension .

Si maintenant on désigne par X^, X,, X^, X,,, etc., les valeurs consécutives de X, en commençant par la première, qui répond au premier corps du système, et de même par Y., Y",, \\j Y,, etc., Z., Z,, Z.^, Z,, etc., les valeurs consécutives correspondantes de Y et Z, et qu'on substitue siicces-

si veinent ces valeurs dans les trois équations réduites à la forme précédente, il est aisé de voir que les trois premières donneront les valeurs de X,,, Y^, Zj en fonctions linéaires de X^, Y^, Z^^, X, , Y, , Z^ ; que les trois suivantes donneront X,, Y35 Z, en fonctions linéaires de X^, Y^, Z^, X,, Y^, Z^, lesquelles, par la substitution des valeurs de X^, Y^, Z^, deviendront aussi des fonctions linéaires de X^, Y^, Z^, X,, Y,, Z,, et ainsi de suite.

Donc, en général, les valeurs de X„^,, Y,,^^, Z,,^, seront de la forme

AX, + BY, + GZ, -f. A'X, + B' Y, -+- C'Z, ,

et il est facile de s'assurer, par le calcul, que les quantités A, B, C seront des fonctions rationnelles et entières de k de la dimension n — 2, et que les quantités A', B', C sont de pareilles fonctions de la dimension n — i .

Nous avons supposé (art. 17) que le premier et le dernier corps du système étaient fixes ; le premier corps appartient à l'indice o, et si l'on désigne par n le nombre des corps mobiles, le dernier corps, qui doit être fixe, appartiendra à l'indice /î -+- i . Il faudra donc que Ton ait

\^ = o, Yo = o, Z^ = o, X„^, = o, Y„^,=o, Z„^, = o,

ce qui donnera entre X,, Y,, Z, trois équations linéaires de la forme A'X, -f. B'Y, -h G'Z, = o, dans lesquelles les coefficients A', B', C seront des fonctions rationnelles et entières de k de la dimension n.

En éliminant les quantités X,, Y,, Z,, on aura une équation en k du degré 3/î, nombre des inconnues X, Y, Z, et qui aura, par conséquent, 3/ï racines.

Les mêmes équations donneront les rapports entre les trois quantités X, , Y, , Z, ; de sorte qu'on pourra prendre à volonté la valeur d'une de ces quantités. Gomme ces rapports se trouveront exprimés par des fonctions rationnelles de A*, on pourra exprimer les valeurs des trois quantités X^ , Y, , Z, par des fonctions rationnelles et entières de k, et, par ce moyen, les inconnues X, Y, Z seront aussi exprimées, en général, par des fonctions connues, rationnelles et entières de k.

25. Nous dénoterons par k\ k'\ k''^ etc., k^^"^ les différentes racines de l'équation en A:, dont la résolution doit être supposée connue ; et nous dénoterons pareillement par X', X'', X'^ etc., T, Y'', Y'^ etc., Z', Z^ Z'^, etc.,

les valeurs correspondantes des quantités X, Y, Z, qui résultent de la substitution de ces différentes racines à la place de k. Donc, puisqu'on a trouvé (art. 25, 24)

= XEsin(^v/*4-O.

»f = YEsin(^y/Â -h e),

^= ZEsin(^v^ + ê),

en substituant successivement les différentes valeurs de ^, et en prenant différentes constantes arbitraires E et g, on aura autant de valeurs particulières de 0, w, Ç, dont la somme donnera les valeurs complètes de ces variables, par la nature des équations linéaires.

Ces valeurs particulières de Ç, w, Çsont analogues à celles qui représentent

les petites oscillations d'un pendule dont la longueur serait | (art. il),

pourvu que k soit une quantité réelle et positive ; et le mouvement de chaque corps sera composé d'autant de pareilles oscillations qu'il y aura de valeurs différentes de ^ ; de sorte que si toutes ces valeurs sont incommensurables entre elles, il sera impossible que le système reprenne jamais sa première position, à moins que les valeurs de ^, «, ^ ne se réduisent aux valeurs particulières qui répondent à une seule des racines k. Dans ce cas, en faisant ^ = o dans les formules précédentes, on aura XEsing, YEsing, ZEsing pour les valeurs

^® ?> >»> C» ^^ ^^ ^^^ ^5 Y^ ^^^ ^? ^^ ^^^ ^ pour celles de ^> ^-j -j^- Ainsi, pour que ce cas puisse avoir lieu, il faudra que les déplacements primitifs ^, w, ^, ainsi que les vitesses initiales ^^ T'^zi^ soient proportionnels à

X, Y, Z ; et il y aura autant de manières de satisfaire à ces conditions, qu*il y a de valeurs différentes de A:.

26. Si l'on désigne, par des traits supérieurs, des constantes arbitraires différentes, on aura

^=Z'E'sin(.^V^'4-6')-f. Z'^E^in(^V^^-h6'')-h Z'''F/'sin(^v^'+/^')

pour les valeurs complètes des variables f , u, ^, qui représentent les oscillations de chacun des corps du système donné, quel que soit leur état initiai.

On peut représenter ces valeurs d'une manière plus simple, en employant le signe I pour exprimer la somme de toutes les valeurs correspondantes aux différentes valeurs de k ; on aura ainsi

Ç = 2.[XEsin(^V^-hg)],

'C=l.[ZEsm{t)/k^e)],

et r on aura les expressions particulières des variables ^, ? w n Ci ^ ?2 ? ^'a > Ca ' ^^^ • » pour chacun des corps du système, en changeant, dans les précédentes, X, Y, Z, en X,, Y,, Z,, X^, Y^, Z^, etc., et prenant pour E et g différentes constantes arbitraires E, , E^, etc. , g, , g^, etc. , qui dépendent de l'état initial du système.

27. Pour déterminer ces constantes de la manière la plus simple, je reprends les équations en Ç, w, ^de l'art. 21, et je les ajoute ensemble, après avoir multiplié la première par X, la seconde par Y et la troisième par Z; je prends ensuite la somme de toutes ces équations ainsi composées, relativement à tous les corps du système, et je dénote cette somme par la caractéristique S ; si Ton fait attention que cette caractéristique est indépendante de la caractéristique d des différentielles relatives à t, on aura l'équation

/f'.S(Xg-hYy3>i-ZC)Dm

^fdm^ . dm ^ ^ dm y\^^

- SXD,[-jjy- -Ga (-5^ + ^j- H- P^jJ

35o Ml^CANIQUE ANALYTIQUE.

Dans cette équation, les termes qui contiennent des différences marquées par D sous le signe sommatoire S, sont susceptibles de réductions analogues à celles des intégrations par parties, et dont nous avons donné le type dans Fart. 16. Pour cela, considérons en général un terme quelconque de la forme SXD^ ( VDÇ) ; nous aurons, par les réductions de l'article cité, en faisant attention que les quantités X et Ç sont nulles au commencement et à la fin des intégrations marquées par D (art. 24) ,

SXD,(VD^) = — SVD^DX = Se,D(VD\).

Or SÇ,D(VDX) est la même chose que SÇD,(VDX), en prenant à la place du terme ^,D(VDX) celui qui le précède.

Donc, en général, on aura

SXD,(VDÇ)=SeD,(VDX),

et il en sera de même des termes semblables. Ainsi Téquation précédente deviendra de la forme

+ S[(X)Çh-(Y)« + (Z)CJ = o, ,

dans laquelle les quantités désignées par (X), (Y), (Z) contiendront les mêmes termes qui composent les seconds membres des équations de l'art. 23, de manière que ces équations donneront

(X) = ^XDm, (Y) = *YDm, (Z) =AZDm,

d'oii il suit que l'équation ci-dessus deviendra

<f.S(X$-f-YTi+ZODm dt*

-h AS (X0 H- Y« -f- ZÇ)Dm = o, laquelle donne tout de suite, par l'intégration,

S(XÇ-hY«-hZODm = Lsin(«v/Â-hA), L et A étant deux constantes arbitraires.

28. Il est facile de voir, par la nature du calcul, que si Ton substitue dans cette équation pour k une des racines de Téquation en k que nous avons dénotées par k' ^ k^ ^ k'" ^ etc. (art. 25), on devra avoir un résultat identique avec les expressions de Ç, w, ^de Tart. 26, de sorte qu'en substituant ces mêmes expressions dans Téquation précédente, elle devra devenir absolument identique pour toutes les valeurs de k.

On aura donc ainsi T équation identique

X2[XEsin(^v/^-+-0]

Y2 [YE sin {t^k -h é)] [ Dm = L sin (ty/^ + a),

Z2[ZEsin(^v/ÂH-g)]

pour chacune des valeurs k\ k^\ k"\ etc., de k\ et comme cette identité doit avoir lieu indépendamment de la valeur de ^, il ne sera pas difficile de se

convaincre que tous les termes qui contiendront le même arc t ^k devront être identiques dans le premier et dans le second membre de Téquation ; d'où il suit d'abord qu'on aura nécessairement A = g pour toutes le valeurs de A et de g.

Ensuite, si Ton fait attention à la valeur des signes sommatoires S et 2, dont le premier, S, représente la somme des quantités sous le signe qui appartiennent à tous les corps du système, et que nous avons dénotées par des nombres placés en forme d'indices au bas des lettres (art. 24), et dont le second, 2, représente la somme des quantités semblables qui répondent à toutes les racines k' , k" ^ k"\ etc., k^"\ et que nous dénotons par des traits supérieurs (art. 23), on trouvera, par la comparaison des termes affectés des mêmes sinus, l'équation

ES(X* + Y^ -^ 77)Dm = L.

Donc on aura, en général,

Esin [ts/k -h = S(X' + Y'+Z')D m' et, par conséquent, par l'art. 27,

t.&m\ts/K + t) — s(X» + Y' + Z')Dm ' équation qui aura Heu pour toutes les valeurs de k.

29. Soient maintenant, lorsque ^ = o, f = a, >î = |3, ^=7, et

-^=:a,-j^ = |3,^ = 7; ^^s six quantités seront données par l'état initial

du système: si donc on les introduit dans T équation précédente et dans sa différentielle relative à ^, en y faisant ^ = o, on aura les valeurs suivantes des constantes arbitraires :

F .^ n . - S(Xa + YfS-f-Zy)Dm iLSing— s(X«-hY*4-Z«)Din '

E cos g = -pà— '-^ •

^/*.S(X«4-Y'-hZ«)Dm

Donc enfin, si Ton substitue ces valeurs dans les expressions de ^, »f, ^de l'art. 26, on aura

/ XS(X«-f-Yp + Zy)Dm /^N

. ,/< XS(X«-hY^-<-Zy)Dm . ^ ,-\

,./YS(X« + Y^ + Zy)Dm /T\

^/YS(X;-4-Y^ +Zy)Dm . /y\ Hs^.S(X'-f.Y«-HZ')Dm^*"*V^j'

y /ZS(Xa + Y0 + Zv)Dm , /t\ ^=H~ ^(X'-i-Y'+Z«)Dm ^'^^ V*)

/ZS(X,H-Y(^-^Zy)Dm .^\

\v^*.S(X«+Y«-hZ«)Dm : ^ /

Ces formules, remarquables par leur généralité autant que par leur simplicité, renferment la solution de plusieurs problèmes dont l'analyse serait fort difficile par d'autres méthodes. Nous allons en faire l'application à deux problèmes déjà résolus dans différents ouvrages, mais d'une manière plus ou moins incomplète.

§ III, Oïl l'on applique les formules précédentes aux vibrations d'une corde tendue et chargée de plusieurs corps, et aux oscillations d'un fil inextensible, chargé d'un nombre quelconque de poids, et suspendu par ses deux bouts ou par un seulement,

30. Les expressions des variables ^, w. Çque nous venons de trouver, se simplifient beaucoup lorsque, dans les équations différentielles de Fart. 21, les variables dont il s'agit se trouvent séparées. Alors les variables X, Y, Z se trouvent aussi séparées dans les équations aux différences finies de l'art. 23 ; et chacune de ces équations donne, par le procédé de l'art. 24, une équation particulière en k du degré m. Si l'on dénote par A:, â:i , A: a les valeurs des k qui répondent aux quantités X, Y, Z données par ces trois équations, et que l'on conserve les dénominations de l'article précédent, les expressions de 0, w, Ç se réduiront, dans le cas présent, à celles-ci :

e/XSXaDin ^ tj \ ^ ( XSXaDm • . /r \ = 2 1 -cYTn — cos « i/A: ) H- 2 ( 7=r sm t\^k ) ,

V SX«Dm V ; \SX«Dm.s/* ^ /

31 . Ce cas a lieu premièrement lorsque les corps sont supposés placés en ligne droite dans l'état d'équilibre; car, si l'on prend cette ligne pour l'axe des a?, les ordonnées b et c deviennent nulles, ainsi que leurs différences D6, De, et les équations de condition de l'art. 20 exigent que l'on ait

^ = 0,-^ = 0, c'est-à-dire que les forces perpendiculaires à l'axe soient nulles. On aura donc aussi ^^^ = o, ^^^ = o, etc. , et les équations de l'art. 21 deviendront, à cause de a'= i , è' = o, c' = o, et de G = F — F',

^*$n^ . ^'n^ ^ /F'DS\

Dm-D,(^^ = o,

Mëc. anal, I. â^

Par conséquent, les équations de l'art. 23 se réduiront à celles-ci :

^YDmH-D,(^)=o,

dans lesquelles on voit que les variables sont séparées, de manière qu'on peut les déterminer chacune en particulier.

La constante indéterminée k pourra donc être différente dans ces trois équations, et chacune d'elles donnera une équation du n'^'"^ degré pour la détermination de cette constante. On aura ainsi les formules de l'article précédent.

52. Puisqu'on a, dans le cas dont il s'agit, Db = o, Dc = o, on aura D/=Da (art. 19), et les équations de l'équilibre (art. 22) donneront

F = S^Dm-hA.

Mais pour avoir la valeur de la quantité F' {art. 19), il faudra connaître la valeur de F en fonction de D/ou Da ; et l'on en déduira, par la différentiation, la valeur de F' en fonction de F.

Si, par exemple, on suppose 4» = K (D^)*", on aura F = K (D/)"*, et, de là, F'=mK(D/)'"=mF.

Dans le cas où l'on ferait abstraction de toute force étrangère, on aurait

^ = o, ce qui donne F == A, et, par conséquent, F constante pour tous

les corps. Mais la valeur de F pourra varier d'un corps à l'autre, à moins que l'intervalle Da entre les corps consécutifs ne soit aussi le même pour tous les corps. Dans ce dernier cas, les quantités F et F' seront deux constantes qu'on pourra déterminer à posteriori, sans connaître la loi de la fonction *. Ce cas est celui d'un fil ou corde tendue, dont les deux extrémités sont fixes, et qui est chargée d'un nombre quelconque de corps placés à distances égales entre eux ; la quantité F exprime alors la tension de la corde ou le poids qui peut la produire; mais, pour la quantité F', on ne peut la déduire de F sans connaître la loi de l'élasticité de la corde.

Ce problème , qui est connu sous le nom àe problème des cordes vibrantes, mérite un examen particulier, tant parce qu'il est susceptible d'une solution générale, que parce qu'il est intimement lié avec le fameux problème des vibrations des cordes sonores.

33. Nous supposerons que tous les corps Dm dont le fil est chargé, soient égaux entre eux et sans pesanteur, et que les intervalles D/ou Da qui les séparent dans l'état d'équilibre soient aussi tous égaux.

Comme n est le nombre des corps mobiles, si l'on désigne par M la masse entière ou la somme de toutes les masses Dm, en y comprenant la dernière, qui est supposée fixe, et par / la longueur de la corde dans l'état d'équilibre, il est clair qu'on aura

Dm = -^ et D/=Da = — ^; et les trois équations en X, Y, Z de Fart. 31 deviendront

lesquelles étant semblables entre elles, il suffira de résoudre la première, et il n'y aura plus qu'à changer F^ en F pour avoir aussi la résolution des deux autres.

34. Soit r l'exposant ou l'indice du rang qu'un terme quelconque X tient dans la série des X ; nous désignerons en général ce terme par X^, et le terme précédent ,X sera X^ , ; ainsi la première équation sera

Supposons, pour résoudre cette équation,

X^ = H sin [r<p -f- e),

H et 6 étant deux constantes arbitraires; on aura, par les formules connues

de la maltiplication des angles,

D»X,^, = X,,, - 2X, -h X,, = - 4Hsin (r(p -h e)(^sin ?)',

et ces valeurs étant substituées dans l'équation précédente, elle deviendra, après la division par X^,

IMk , / . oY

.^—-^-/ii^smlj =o,

laquelle donne

Or on a (art. 24) les deux conditions à remplir X^^ = o et X„^, = o ; la première donne e = o ; la seconde donne sin (/^ -f- i) (p = o; d'où Ton tire {n -f- i) 9 = pTT, TT étant l'angle de i8o degrés, et p un nombre quelconque

entier. Donc on aura (p = P ; par conséquent, en faisant, ce qui est

permis, H = i , on aura en général

X^ = sin r -^ — •

Et l'on aura la tnéme expression pour Y^ et pour Z^, qu'on substituera à la place de X, Y, Z, dans les expressions de ^, w, Ç de l'art. 50.

La même valeur de (p étant substituée dans l'expression de ^k trouvée ci-dessus, donne

ou l'on peut mettre pour p tous les nombres entiers depuis o jusqu'à n inclusivement; car p = n H- I donne X, Y, Z nuls, et au-dessus de w -f- i , les^

sinus de , ^ , — r reviennent les mêmes.

Ainsi on aura autant de valeurs différentes de k qu'il y a de corps mobiles ; ce seront les racines de l'équation en k.

En changeant F' en F, on aura les valeurs des racines A: i et A: 2 des deux autres équations en k.

On fera donc ces substitutions dans les formules générales de l'art. 30, et l'on observera que la caractéristique sommatoire S doit se rapporter uni-

quement aux exposants ou indices de rang r, depuis r = i jusqu'à r = /^, et que la caractéristique sommatoire 1 doit se rapporter aux indices p des différentes racines depuis p = i jusqu'à p = n.

A regard de la valeur de SX* Dm = Dm SX*, on aura, à cause de

<p = —^ — > la sommation suivante :

SX* = sin* (P + sin* 2 (p + sin* 3 (p -h . . . + sin* n(p

= \n — I (cos2^-hcos4?H-cos 6(p-f- . . . -h cos2/«)

I 4 f cosa/ty — cosa (/> + 1 ) y 1 \ /»-hi

« «\ 2(1 — cos2(p) «y ^'

On aura de même SY* = SZ* = ^^ •

3S. Gomme les valeurs de k sont incommensurables entre elles, la corde ne pourra jamais reprendre sa première position, à moins que les expressions àe ^y fijl^ne se réduisent à un seul terme (art. 2S). Dans ce cas, en mettant dans les formules de l'article cité, pour X, Y, Z et A, les valeurs qu'on vient de trouver, et faisant, pour abréger.

on aura ces expressions, dans lesquelles j'ai conservé l'angle 9 à la place de sa valeur — — j

n-hi

^ = E sin r(p sin ( h'tsin ^ -f- e ] »

H = E sin r(p sin (ht sin ^ -h g j r Ç = E sin rç sin (ht sin ^ -h g j ;

mais il faudra que les valeurs initiales a, j3, 7, a, |3, 7, qui répondent à ^ = o, soient proportionnelles à sin r<p. C'est la solution connue, dans laquelle on suppose que les corps ne font que des oscillations simples et isochrones.

36. Pour avoir des expressions générales applicables à un état initial quel'-

conque, il faut employer les formules de l'art. 50, en y substituant les valeurs trouvées ci-dessus (art* 54). Nous appliquerons, pour plus de clarté, aux variables Ç, w, ^ l'exposant ou indice r placé au bas de ces lettres, pour marquer le rang du corps auquel elles se rapportent, et à l'égard des quantités

«5 ^? 7ï «> ^> 7> et X, Y, Z, qui sont sous le signe sommatoire S, nous emploierons l'exposant s au lieu de r, parce que cet exposant est uniquement relatif au signe S, lequel indique qu'il faut prendre la somme de tous les termes qui répondent aux valeurs de S, depuis o jusqu'à n. On aura ainsi cette formule générale :

S«^ sin«f(pcos 2 (n -h i)A'^sin ^ 1

' ' Sa,sin<9^ —

2(fi-hi)A'sîn- ^ ' 2

et pour avoir les expressions de u^ et ^^, il n'y aura qu'à changer h' en h et a,

a en |3, p et en y^ y.

Les variables ^^ représentent les excursions longitudinales des corps dans la ligne droite ou axe qui passe par les deux extrémités fixes de la corde, et les variables w^, ^^ représentent leurs excursions transversales ou latérales dans la direction perpendiculaire à l'axe, les seules qu'on ait considérées jusqu'ici dans la solution du problème des cordes vibrantes.

A l'égard du signe 2, on se souviendra qu'il exprime la somme de toutes les quantités, sous ce signe, qui répondent à p = i , 2, 3, etc. , n\ d'où l'on voit que les excursions de chaque corps, tant longitudinales que transversales, seront composées en général d'autant d'excursions particulières analogues à celles de différents pendules dont les longueurs seraient

qu'il y a de corps mobiles, g étant la force de la gravité.

Pour que les valeurs de h et h' soient réelles, il faut que les quantités F et F' soient positives (art. 55); donc, suivant l'hypothèse de l'art. 52, il faudra que l'exposant m soit positif. Si les corps se repoussaient, F serait une quan-

tité négative, et il faudrait alors que l'exposant m fut aussi négatif, et que,

de plus, on eût |3 = o,|3 = 0,7 = 0,7 = 0, pour rendre nulles les excursions transversales w et ^.

37. Il y a une remarque importante à faire sur l'expression générale de Ç, que nous venons de trouver. Quoique nous ayons supposé que le nombre n des corps mobiles est donné, et que la corde, dont la longueur est aussi donnée, est fixe par ses deux bouts, le calcul n'est pas arrêté par ces suppositions, et l'expression dont il s'agit donne la valeur de ^,. pour tout corps placé sur la même ligne droite dont le rang serait exprimé par un nombre quelconque r entier, positif ou négatif.

En effet, puisque ce nombre r n'entre que dans le sin r^, il est visible qu'on peut lui donner telle valeur que l'on veut, et l'on voit en même temps

que, comme ^ = ^^ ? ce sinus ne changera pas de valeur si l'on y met

2A(/i-l- i)-hràla place de r, et deviendra simplement négatif si Ton y change r en 2A(/i H- i) — r, A étant un nombre quelconque entier, positif ou négatif. D'où il s'ensuit qu'en imaginant, suivant l'esprit du calcul, que la corde s'étende indéfiniment de part et d'autre, et qu'elle soit chargée, dans toute sa longueur, de corps égaux et placés à distances égales entre eux, les mouvements de ces corps seront tels, qu'on aura toujours

s •i;.(n-+-i)rfcr ^^^^ -^ Çr'

Or il est facile de voir que la formule 2 A(/i + i ) it r peut représenter tous les nombres entiers, positifs ou négatifs, en supposant r compris entre o et /ï -f- I ; car ayant un nombre entier quelconque, si on le divise par 2 (/iH- 1) jusqu'à ce que le reste, positif ou négatif, soit moindre que w + i , ce qui est toujours possible, et qu'on prenne A pour le quotient et it r pour le reste, ce nombre sera représenté par 2A {/i-h i) ± r. Ainsi la valeur de 5, relative à un corps (|uelconque placé sur la même ligne, à telle distance qu'on voudra de l'origine de l'axe /, se réduira toujours à la valeur de ^ pour un des corps placés sur cet axe.

Comme la relation que nous venons de trouver entre les différentes valeurs de % est générale, quel que soit le nombre r, si l'on y met a(/h- i ) H- r à la

36o MECANIQUE ANALYTIQUE.

place de r, et qu'on prenne les signes inférieurs, elle devient

D'où il est facile de conclure que si l'on imagine toute la longueur indéfinie de la corde divisée en parties égales à Taxe / de la corde donnée, les valeurs de ^, dans chacune de ces parties, seront les mêmes, à égale distance des points de division, mais de signes différents dans les parties contiguës. Si donc on représente les valeurs de ^ pour tous les corps placés sur l'axe /, par les ordonnées des angles d'un polygone décrit sur cet axe, il n'y aura qu'à transporter ce polygone alternativement et symétriquement au-dessous et au-dessus de l'axe prolongé des deux côtés à l'infini, de manière que les côtés qui aboutissent aux points de division soient les mêmes, mais placés en sens contraire et dans la même direction ; on aura ainsi à chaque instant les valeurs de % pour tous les corps qu'on supposera distribués sur la même ligne droite prolongée à l'infini par les ordonnées des angles de ce polygone composé d'une infinité de branches. Ces valeurs seront nulles dans chaque point de division, de sorte que les corps placés dans ces points seront d'eux-mêmes immobiles; et c'est ainsi que le calcul satisfait à la condition, que les deux bouts de la corde donnée soient fixes.

Ce que nous venons de démontrer par rapport aux variables f a lieu également pour les différentielles ^ ; car, en différentiant l'expression de ^^ par

rapport à ^, on a une expression de -^ à laquelle on peut appliquer les mêmes raisonnements.

Donc les valeurs de a et de a, qui représentent celles de ^ ^* ^^57 ^^

premier instant, et qui sont arbitraires pour tous les corps placés sur l'axe /, seront représentés par une pareille construction dans l'étendue de la corde de longueur indéfinie.

Gomme les expressions des deux autres variables >i et ^ ne diffèrent de celle

de Ç que par les valeurs initiales ^, |3 et T', 7, qui sont à la place de a, a, les mêmes résultats auront lieu aussi par rapport à ces autres variables.

58. On conclura donc en général, que si une corde tendue, d'une longueur quelconque, est chargée de corps égaux et placés à distances égales

entre eux, et qu'ayant divisé cette corde en plusieurs parties égales, comprises chacune entre deux corps, tous les corps, à l'exception de ceux qui sont dans les points de division, soient ébranlés à la fois, de manière que Tébranlement soit le même, mais dans un sens opposé, pour ceux qui sont à distances égales de part et d'autre de chaque point de division, les corps placés dans ces points de division demeureront immobiles d'eux-mêmes, et chaque partie de la corde aura le même mouvement que si elle était isolée, et que ses deux extrémités fussent absolument fixes.

Il résulte de là qu'une corde tendue, de la longueur /, fixe par ses deux extrémités, et chargée d'un nombre n de corps, étant divisée en v parties égales, V étant un diviseur de /i -h i, si l'état initial est tel, que les corps placés dans les points de division n'aient reçu aucun ébranlement, et que ceux qui sont en deçà et en delà d'un point de division à distances égales aient reçu des ébranlements égaux, mais en sens contraire, la corde oscillera comme si les points de division étaient fixes, et que la corde n'eût que la

longueur - •

59. La séparation des variables dans les équations en ^ , »f , ^ peut encore avoir lieu sans supposer que les corps soient disposés en ligne droite dans l'état d'équilibre, mais en supposant que leurs distances mutuelles ne varient pas dans le mouvement. Nous avons remarqué dans l'art. 14 que ce cas dépend des mêmes formules générales, en y regardant la quantité ^, et, par conséquent aussi, la quantité F, conune indéterminées; et nous avons vu, dans l'art. 22, que l'on a alors l'équation de condition

jj^DeH-5^D«-+-5^.DÇ=o,

laquelle fait disparaître, dans les équations générales de l'art. 21, tous les termes multipliés par G.

En n'ayant égard qu'à la pesanteur des corps, et prenant Taxe des abscisses X et a, vertical et dirigé de bas en haut , on aura -t- égale à la force

accélératrice de la gravité, que nous désignerons par g^ et, de plus, -^r- = o,

Méc. anal. I. - 4^

-^ = o ; et les équations de l'article cité deviendront

oii les variables sont séparées.

La valeur de F sera (art. 22)

F = \/(gSDm + A)^ -h B^ + C ïjes équations en X, Y, Z deviendront donc (art. 2S)

AXDm H- D ( -^qy) ^^ ^^ A YDm + D (^) = o, AZDm + D^(^) = o,

qui sont, comme l'on voil, tout à Ëiit semblables entre elles; de sorte qu'on pourra supposer X = Y = Z, parce que les constantes arbitraires par lesquelles ces quantités peuvent différer, devant être déterminées parles mêmes conditions, deviendront aussi les mêmes. Ainsi les valeurs de Ç, n, Ç, données par les formules générales de l'art. 30, ne seront difSerentes que par les

valeurs initiales a, ^,7, a, |9, 7, qui peuvent être quelconques.

Toute la difficulté se réduit donc à trouver l'expression générale de X ; mais c'est à quoi on ne saurait parvenir par les méthodes connues.

Ce cas est celui d'un fil inextensible chargé de plusieurs poids et fixement arrêté dans ses deux; extrémités.

40. Lorsque le fil n'est arrêté que par une de ses extrémités, que nous prendrons pou ri' extrémité supérieure, le* corps le plus bas devaffit être lîl^e, il faudra, par l'art. 17, cjuje la valeur de $ ou de F soit nulle à l'extrémité inférieure. Or, en prenant cette extrémité pour l'origine des abscisses, que nous supposons dirigées de bas en haut, et y feisant comntencer la somnie

S Dm, la valeur de F y sera nulle, pourvu qu'on ait A :=±: o, B = o, C =i: o.

On aura ainsi F = gSDm.

^ 1 dll dïl dïl . . ^. ,

Comme on a, dans ce cas, ^ =£ g, -^ ££î: o, -^ = o, les équations de

l'art. 22 donneront Da = D/, De = o, De =^ o, c'est-à-dire que les ordonnées bj c seront constantes; de sorte qu'on aura, pour l'état d'équilibre, une ligne droite parallèle à l'axe vertical des abscisses a. Ainsi on peut faire i = o, c = o, en prenant pour l'axe des a la verticale qui passe par le point de suspension du fil.

Ce cas, qui est celui des oscillations très-petites d'un fil suspendu à un point fixe, et chargé d'un nombre quelconque de poids, est aussi susceptible d'une solution générale lorsque les poids sont tous égaux entre eux, et placés à distances égales les uns des autres.

41 . Dans ce dernier cas, en nommant n le nombre des corps, M la somme de leurs masses Dm, et /la longueur du fil, on a

Dm==-, D/=Da = -;

et si l'on nomme, de plus, r le nombre des corps, à commencer du plus bas jusqu'à celui auquel répondent les variables ^, », Ç, on aura

SDm = (r- i)Dm = ^''~'^^ ; et, de là, on aura

L'équation en X de l'art. 59 étant multipliée par ^ deviendra, en mettant X^ au lieu de X, et observant que ,X devient X^, , et X, devient X^^, ,

|^X,+ D[(r-,)DX,;]-o,

savoir, en exécutant les différentiations indiquées par lu cftîactérktique D, suivant la formule de Tart. 16,

Cette équation, à cause du coefficient variable r, ne peut pas être traitée

364 MléCANIQUE ANALYTIQUE.

comme celles qui donnent les suites récurrentes ordinaires ; mais on peut en déduire successivement les valeurs de X,, X,, etc.

Pour cela, il n'y a qu'à la mettre sous cette forme, oîi A = — >

Y ar — A — I Y r — i y

De là, en faisant successivement /• = i , 2, 3, etc. , on aura

X,= î^X,-^X,= (i — 3Ah-^-^JX,, X,= (^,4A-h--f3 + ^X„ et ainsi de suite; de sorte qu'on aura, en général.

L'extrémité supérieure du fil devant être fixe, on peut supposer qu'elle réponde au corps dont le rang serait /i + i ; ainsi il faudra que Ton ait

X,,^, = o, ce qui donne l'équation suivante, en remettant pour h sa valeur

laquelle sera, par rapport à A:, du degré /i, et donnera, par conséquent, les n valeurs de &, que nous désignerons en général par k

42. Il n'y aura donc qu'à substituer, dans les formules de Fart. 50, l'expression précédente de X^ à la place de X, de Y et de Z, et celle de ^ à la place de A , et ensuite exécuter les sommations indiquées par les signes S et 2. Mais il faut observer que dans le cas présent, où Ton suppose De = o, De = o (art. 40), l'équation de condition de l'art. 39 donne D^ = o, et,

(*) Le terme général est ± '''^'' ""/^ V ;l'""pf "^'^ /'^X.. (/. Bertrand, )

par conséquent, ^ égale à une constante pour tous les corps, mais qui peut êtrç une fonction de t\ donc on aura, pour le commencement du mouve-

tnent, a et a égales à des constantes ; or, le premier corps étant supposé fixe,

les valeurs initiales oi et a sont nulles pour ce corps ; donc elles seront aussi nulles pour tous les autres. Par conséquent, Texpression générale de la variable ^ deviendra nulle. Gela a lieu en négligeant, comme nous Tavons fait, les carrés et les puissances supérieures des variables ^, », ^, supposées très-petites. En effet, Téquation D^ = D/de Tart. 19 donne, à cause de Dj'=D^*-hD7'-j-Dz' etdeDè = o, Dc = o,

d'où l'on tire

de sorte que les variables ^ seront du second ordre par rapport à w et ^. Désignons maintenant par Or cette fonction de r,