Lg«J

et mettons dans Texpression générale de la variable n de l'art. 50, à F imitation de ce que nous avons fait dans Fart. 56, v\^ au lieu de »t, et Or au lieu de Y dans les termes qui sont hors du signe S ; mais dans ceux qui sont sous ce

signe, nous changerons r ens^ et nous mettrons p,, |3, au lieu de |3 et p. On aura ainsi, pour un corps quelconque dont le rang est r en montant,

"-=^[ S(4>.)' cos^v^ J

où le signe S exprime la somme des termes qui répondent à ^ = i , 2, 3, etc. , /z, et le signe 2 représente la somme des termes qui répondent à p = i , 2, 3, etc., w, en supposant que k^^\ k^\ A:^*\ . . . , ^^"^ soient les racines de

l'équation. en k , représentée par $(ai-hi) = o.

On aura une expression tout à fait semblable pour la variable ^^, en chan-

géant simplement j3„ /3„ en y,, y^.

ïje problème des oscillations infiniment petites d'un fil charge d'un nombre quelconque de poids égaux est donc complètement résolu ; il ne reste qu'à

déterminer les racines de Téquation en A: , ce qui ne parait pas possible en général .

45. Au reste, quoiqu'on ne puisse pas déterminer ces racines, on peut néanmoins être assuré qu'elles doivent être toutes réelles, positives et inégales; autrement les valeurs de 0, >i, Ç contiendraient des termes qui iraient en augmentant avec le temps, ce qui ne peut être, puisqu'il est évident, par la nature du problème, que les oscillations du fil doivent toujours être de peu d'étendue, si les valeurs initiales de Ç, w, Çsont très-petites.

Le contraire aurait lieu si Ton supposait la quantité g, qui exprime la gravité, négative, c'est-à-dire agissant en sens opposé; car ce serait le cas où le point de suspension du fil vertical étant placé à son extrémité inférieure, le fil culbuterait, pour peu qu'il fut déplacé de la situation verticale. En effet, en faisant g négative dans l'équation en k, tous ses termes deviennent positifs, de sorte qu'elle ne peut avoir que des racines imaginaires ou réelles négatives.

On peut aussi trouver ces résultats à priori, par les principes établis dans l'art. 8, ce qui peut servir à montrer la justesse de ces {Mrincipes. En effet, si l'on a égard à la condition de l' inextensibilité du fil, laquelle donne (article précédent), en prenant les sommes comptées du corps le plus bas,

la valeur de V sera simplement SllDm, et l'on aura

n = ga? = ga + g?.

Mais puisque le corps le plus haut, qui répond à /i + i , est supposé fixe, Ja valeur de ^ y devra être nulle ; ainsi on aura

SECONDE PAITTIB. — LA BTÏTAMIQUE. Sôj

en supposai)! que la somme renfermée entre deux crochets soit ta somme totale. Donc on aura

^ 2ua

où le signe S^ dénote les sommes prises à rebours, à commencer par le corps le plus haut, et qui sont les différences de la somme totale et des somnèes partielles dénotées par S, lesquelles doivent commencer au corps le plus bas, où est l'origine des abscisses.

On aura donc ainsi.

V = gSaDm ^ gSDm^ ^^]ba^^' '

où Ton voit que la partie de V, qui contient les secondes dimensions des variables w et Ç, qui sont maintenant indépendantes, est nécessairement toujours positive, et que, par conséquent, les racines de l'équation enk seront toutes réelles, positives et inégales. Ce serait le contraire si l'on donnait à g une valeur négative.

^ IV. — Sur les vibrations des cordes sonores, regardées comme des cordes tendues j chargées d'une infinité de petits poids infiniment proches V an de Vautre; et sur la discontinuité des fonctions arbitraires.

44. La solution générale que nous avons donnée du problème des cordes vibrantes a lieu, quel que soit le nombre n des corps mobiles, et quel que soit aussi leur état initial ; par conséquent elle doit s'appliquer aussi au cas où le nombre n deviendrait infiniment grand, et les intervalles entre les» corps diminueraient à l'infini, de manière que la longueur de la corde restât la même : alors le mouvement de chaque corps se trouvera représenté par une série infinie de termes dont la somme sera équivalente à une fonction finie, différente de celle de chacun de ses termes. Ce cas est celui d'une corde sonore uniformément épaisse, et l'on a coutume de le résoudre directement par le cateul difSérentiel ; cependant il peut être intéressant porrr Fanalyse de feire voir comment on peut le déduire de la solution générale, surtout pa>rce que, de cette manière, an. sera asBuiré di'avoîr une solution ^>plîcab}e à quelque tiguce que la corde puisse avoir £U emninencement de son mouvement.

45. Nous remarquerons d'abord qu'en supposant n infini, la valeur de ^ (art. 54) devient \ jnik p^Tj parce que la dernière limite de 2 (n-f- 1) sin . ^ est pyr; de sorte que les racines de l'équation en /:, qui

étaient toutes incommensurables entre elles, tant que le nombre n des corps mobiles était fini, deviennent toutes commensurables lorsque n est infini,

ayant pour commune mesure '^ y j^ dans les excursions longitudinales f ,

^^ ^ V 7m ^^^^ ^^^ excursions transversales w et ^; d'où il suit que la corde reprendra toujours sa première figure par rapport à l'axe, au bout d'un

temps égal à 2 i/-p ? quel que puisse être son état initial.

Il est vrai que, le nombre p pouvant aussi devenir infini, il y aurait des

cas où l'on ne pourrait plus supposer 2 (/i H- i) sin-j-^ -=p7r; mais

comme cela ne peut avoir lieu qu'après un nombre infini de termes dans les séries infinies marquées par 2, il s'ensuit de la théorie connue de ces séries, que ces cas particuliers ne sont point une exception au résultat général.

On peut d'ailleurs s'en convaincre directement; car, dans le cas dé n infini, les différences finies marquées par D deviennent infiniment petites; ainsi l'équation en X de l'art. 33 devient, en changeant D en dy et mettant

pour n H- 1 sa valeur -j-t

laquelle étant intégrée donne

X = Hsin(^ay^-|-ey

Il faut que X soit nul lorsque a = o, et lorsque a = /, parce que les deux extrémités de la corde sont fixes ; la première condition donne g = o,

et la seconde donne / \/ jw = p^r, d'où l'on tire ^k = P'^K/nÂ^ comme plus haut.

On n'a donc pas besoin, dans ce cas, pour que la corde revienne toujours à son premier état, de supposer qu'elle ne fasse que des oscillations simples

et semblables à celles d'un pendule, comme dans l'art. 5S; car, quel que soit son état initial, on est assuré que ses vibrations seront toujours isochrones entre elles, et synchrones à celles d'un pendule simple de longueur

égale à 2 j mais la loi de ces vibrations sera différente de celle des vibrations

des pendules, et dépendra de l'état initial de la corde.

Pour connaître cette loi, il faut voir ce que deviennent les expressions générales de ^, w, ^ dans le cas de n infini; c'est ce que nous allons examiner.

46. Faisons dans la formule générale de l'art. 36 les substitutions de — —

à la place de <p et de —r^ r à la place de sin?» en supposant n infini, et

au lieu des exposants ou indices r et ^ qui dénotent le rang des corps auxquels appartiennent les variables ^ et a, employons, ce qui est plus simple, les parties mêmes de l'axe ou les abscisses qui répondent à ces corps, en

dénotant par x l'abscisse relative à Ç, et par a l'abscisse relative à ât et à a. Comme la longueur totale de la corde est supposée égale à /, on aura

X sa

' , . , ^= 1^ /ï H- I — TT-;

/i-hi / /i-hi / Da

et la formule dont il s*agit donnera cette expression générale des excursions longitudinales f ,

ç = 22smi-y- A cos(p7rA^) H- A — /^ r en faisant

A =S(^sinfy-pj,

Le signe 2 dénote ici une suite infinie de termes qui répondent à p = i , 2, 3, etc., à l'infini; et le signe S dénote d'autres suites infinies de termes qui répondent à toutes les valeurs de o, Da, 2Da, 3Da, etc., à l'infini, à cause de Da infiniment petit.

On aura de pareilles expressions pour les excursions transversales w et ^, en changeant A' en h et oc, a en /3, /3, et en 7, 7.

Méc, anal, I. 4?

3jO MÉGANIQUE ANALYTIQUE.

47. Daniel Bernoulli, en génëridiâant la solution du problème des cordes vibrantes, donnée par Taylor, était parvenu à une formule semblable à la

précédente, mais dans laquelle les coefficients A étaient nuls, et les coefficients A ^ dénotaient simplement des constantes arbitraires dépendantes de la figure initiale de la corde {Mémoires de Berlin^ 1 753) ; et il avait cru pouvoir expliquer, par les diffi^rents termes de sa formule, les sons harmoniques qu'une corde sonore fait entendre, avec le son principal. Notre formule,

dans laquelle ces coefficients sont exprimés par les valeurs initiales a, a, nous met en état d'apprécier cette explication, qui a été adoptée par plusieurs auteurs après lui.

En effet, il est facile de voir que le son principal de la corde sera donné par le premier ou les deux premiers termes de la série qui répondent à p= i , et que les sons harmoniques successifs, c'est-à^lire l'octave, la douzième, la double octave, la dix-septième, etc., seront donnés par les termes suivants qui répondent à p = 2, 3, 4» 5, etc. Donc, pour que le son principal domine parmi tous les autres, et qu'il n'y ait que les premiers des harmoniques qui se fassent entendre en même temps, il faut supposer que les

coefficients A^*\ A^*^ soient beaucoup plus grands que tous les autres pris ensemble, et que les coefficients suivants :

A(a) A{3) AM) Â(2) Â(3) À(*)

xl. , -Tx , Hl , • • • , JrX, , J\. I J\. , . . . ,

forment des séries extrêmement convergentes. Mais, par la manière dont ces

coefficients dépendent des valeurs initiales a et a, on voit que cette supposition est inadmissible, en regardant l'état initial de la corde comme arbitraire; on voit même que, dans la plupart des cas, ces coefficients formeront des séries divergentes, ce qui n'empêchera pas que la corde ne fasse des vibrations isochrones ou d'égale durée, seule condition nécessaire pour la formation d'un ton.

48. Quoique les formules de l'art. 46 donnent rigoureusement le mouvement de la corde au bout d'un temps <pielconque ^, les séries infinies qui entrent dans ces formules empêchent néanmoins qu'elles ne représentent ce mouvement d'une manière nette et sensible; mais, en envisageant sous un autre point de vue la formule générale de l'art. 56, on peut en tirer une

sin

2 sin r(f

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. Sj I

construction simple et uniforme pour déterminer l'état delà coeée à chaque instant, que) que puisse être son état initial.

Reprenons cette formule, et mettons-la sous la forme siHvante, ce qui est permis à cause de l'indépendance des signes sommatoires S et 2 :

Ç^= Sa^zj^-^^^^sin^^cos 2(n -h ï)A'^sin£ |

\m\ 2(«+ i)h'tsiu * I

«/2 — — ^sin^<p — != — ^

in -f-i)/» sin -^

Nous tirerons d'abord de cette formule une conséquence qui nous sera fort utile. Comme on a supposé que a est la valeur initiale de (art. 29), il faut qu'en faisant ^ = o dans l'expression précédente de ^^ elle se réduise à ft^, et qu'on ait, par conséquent, cette équation identique,

S^ 2 sin ro .

a,2 ; — ^sm^^.

Il est évident que le second membre de cette équation ne peut se réduire à a^y à moins que l'on n'ait en général

^ 2sinr(p .

2 îsm^® = o,

tant que s est différent de r ; et que, lorsque j = r, on ait

2 sin r(p .

2— -— ^ smr(p = I,

^ étant égal à ? et le signe 2 étant rapporté aux valeurs successives i ,

2, 3, etc., n de p: ce qui donne une série formée des produits de sinus d'angles multiples de et — '—y dont la somme devra être toujours

nulle dans le premier cas, et égale à dans le second. C'est aussi ce

qu'on peut démontrer directement par les formules connues, pour la sommation de ces sortes de suites.

Dans ces formules, r et s sont supposés des nombres quelconques entiers

3y'2 MECANIQUE ANALYTIQUE.

compris entre o et /i -h i ; mais, à cause de ^= -: — i p étant aussi un nombre entier, si Ton met 2A(/iH-i)±ràla place de r, A étant un nombre quelconque entier positif ou négatif, on aura

sin [2 A(/i h- i) dt r'](p= it sin r^;

par conséquent, on aura, en général.

Il ^ — ^ ^ ='-^sin^<p J = it 1 OU =0,

selon que s sera égal à r ou non.

La formule 2 A (n H- i ) ± r peut représenter tous les nombres entiers positifs ou négatifs, comme nous l'avons vu dans Tart. 57; ainsi, ayant un nombre quelconque entier N, on peut faire N= 2A{n-hi)=tr, ce qui donnera r = ±[N — 2A(n-Hi)],et Ton aura en général, quel que soit N,

sin N(p X sms(f , j

1 ^-r-, ^ = =t ? ou = o.

selon que s sera = zt [N — 2 A (« -h 1)] ou non, s étant un nombre entier entre o et n-h i.

49. Gela posé, comme l'expression de Ç^ est composée de deux parties, dont la première contient les valeurs initiales a de la variable ^, et dont la

seconde contient les valeurs initiales a des différentielles -p > nous considérerons ces deux parties séparément, et nous désignerons la première par f [. et la seconde par ^l , de manière que l'on ait ^^ = Ç[. -f- 5' •

En supposant n infini, l'angle cp =^ --^ — devient infiniment petit, et sin ^

se réduit à ^ (art. 46).. Faisant cette substitution dans l'expression de Ç'^, on

aura (art. 48)

f ,== Sa,2 sinrçsin j^cos(/î H- i) h^tç;

Tw ' 7 I

et développant le produit sin r<p cos {n n- i) A'^^,

Ç, = Sa,2 j —^ ^~p^' ^ Sin s(p j

«,2j j;^:^ J^Sin^cpj

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 3y3

Comme n est supposé un nombre infiniment grand, on pourra toujours regarder comme un nombre entier le nombre (/i -+- i)h'tj quel que puisse être le nombre exprimé par h' t.'

Ainsi, en faisant, dans la dernière formule de l'article précédent,

on aura

où

Sa,2 j — t i-^-p^ — =^1 sm j<p j = ± i«„

j = dz [r H- {/i + i)A'^ — 2A(/i-+- 1)]; et faisant N = r — (/î + i)A'^, on aura pareillement

où

^'= ih [r — (/» -h i)/i'^ — 2 /(/ï H- i)],

A et / étant des nombres entiers quelconques, ou zéro. Donc, réunissant ces deux valeurs, on aura simplement

où les signes ambigus de a^ et de a^ répondent à ceux des valeurs de s et de s\

50. Mais, à la place des exposants ou indices r et ^ qui dénotent le rang des corps auxquels appartiennent les variables f et a, il est plus commode d'employer les parties mêmes de la corde comprises entre la première extrémité fixe et ces mêmes corps.

Désignons, comme dans l'art. 46, par x la partie de Taxe ou l'abscisse qui répond à Ç, et par a celle qui répond à a ; la longueur de la corde étant /, on aura

et de même

ce qui donne

et à^la place de Ç,., a,, a^, on pourra écrire simplement f',, a^, a^.

Substituant ces valeurs de r, s^ s' dans les formules de Tarticle précédent, multipliant par /, et divisant par n + 1 9 on aura

a = it (iTH- Ih't — 2 a/), a'= ± {x — lh't — 2A7),

les signes ambigus de a^ et u^ répondant à ceux de a et a'; et l'on déterminera ces signes, ainsi que les valeurs de a et de a\ par la condition que ces valeurs soient positives et moindres que /.

51. Représentons par A et A' les valeurs de ± a^ et ± a^, en sorte que

l'on ait, en général,

Donc, 1°. si 0? -4- Zfe'^ est entre o et /, on prendra a = a: 4- Ih't et A = +a«;

2*^. Si a? + Ih't est entre / et a /, on prendra a = — {x -\- lh!t — 2 /) et A = — a^ ;

3®. Si ^ H- /^'^ est entre 2 / et 3 /, on prendra a=^ x -v- Ih't — 2 / et A = + a^. Et ainsi de suite.

De même, i®. si .r — Ih't est entre / et o, on prendra a' =^ x — Ih't et

2®. Si a: — Ih't est entre o et — /, on prendra a'= — [x — Ih't) et

3**. Si :r — UiU est entre — /et — 2 /, on prendra a' =^ x — Ih't + 2 / et A'= a^. Et ainsi de suite.

On voit que ces différents cas se réduisent à déterminer les abscisses a ou a', en ajoutant ou en retranchant de Tabscisse x la ligne Ih'tj de manière que, lorsqu'elle passera Tune ou l'autre extrémité de l'axe /, elle soit repliée en arrière et comme réfléchie par des obstacles placés à ces deux extrémités,

et à prendre Tordonnée correspondante «^ ou «^ positive, si. le nombre des réflexions est pair, ou négative, si ce nombre est impair.

52. Maid il est encore plus simple tle continuer la courbe des et sur le même axe / prolongé des deux cotés, de manière qu^on ait directement les ordonnées a^ et a^, qui répondent aux abscisses x -+- Ih't et x — Ih' t.

Pour cela, ayant décrit sur Taxe / le polygone d'une infinité de côtés, ou la courbe dont les coordonnés sont a^, pour une abscisse quelconque x^ et qui sera donnée par les valeurs initiales des excursions ^^ de tous les points de la corde, il n'y aura qu'à transporter cette même courbe alternativement au-dessous et au-dessus du même axe prolongé indéfiniment des deux côtés, de manière qu'il en résulte une courbe continue formée de branches égales situées symétriquement autour de l'axe et se joignant par les mêmes extrémités, dans laquelle les ordonnées prises à distances égales de part et d'autre de chacune des deux extrémités de l'axe /, soient toujours égales entre elles et de signe contraire.

En prenant dans cette courbe les ordonnées qui répondent aux abscisses x-^lhlt et X — Ui^t^ on aura les valeurs de A et de A', et la variable Ç', sera représentée, au bout d'un temps quelconque f , par la formule

Çx =^ ï y^x^vi/t ■+" ^x-ikft) •

On aurait pu déduire tout de suite cette continuation de la courbe qui représente les valeurs de a, de ce que nous avons démontré en général dans l'art. 37, en supposant que la corde, au lieu d'être terminée aux deux points fixes, s'étende de part et d'autre à l'infini; le polygone que nous avons imaginé dans cet article deviendra ici une courbe continue, laquelle, étant appliquée au premier instant du mouvement, sera la courbe des valeurs de a prolongée à l'infini.

53. Considérons maintenant la seconde partie de f^, que nous désignons par Ç*, et qui est représentée par la formule (art. 46)

;în 1 («-Hi)A'fsm ^ I

sm «•• o • ! 2 sin ro .

?r=Sa,2< — — -î-smj(p

'lin -f-i)^'sin ■^

Il faut commencer par la délivrer du dénominateur sin ^1 pour la rendre

semblable à celle de Ç,. et susceptible des mêmes réductions.

Pour cela, je prends la différence D.^^, et comme l'exposant r n'entre que dans sinrip, il suffira d'affecter ce sinus de la caractéristique D.

Or, par les théorèmes connus, on a

D .sin r<p = sin (r -h i) ^ — sin r^ = 2 sin ^ cos (r + |) (p. Substituant donc cette valeur dans l'expression de DÇ', on aura

'^ • ^' = (ÏTTÔT ^ «^^ i'-^^TT)^ **" ^^ ^'" [

Faisant, pour le cas de n infini, sin^ = ^> et développant le produit cos(r -h{)^sin(/i -h i)A'^^, on aura

Cette expression de D^^ est composée de deux parties semblables à celles de ^'^ (art. 49); on peut donc y appliquer les mêmes raisonnements, et la ramener à une construction semblable.

Ayant donc tracé sur l'axe / le polygone d'une infinité de côtés, ou la

(tourbe dont les ordonnées pour chaque abscisse x soient a^, et qui sera

donnée par les vitesses initiales a, on la transportera alternativement audessous et au-dessus du même axe prolongé indéfiniment des deux côtés, de manière que l'on ait une courbe continue semblable à celle de l'article précédent. Alors, en mettant jr— ou g— à la place de n + i , et négligeant comme

nul le terme —. r vis-à-vis de x^ on trouvera

et passant des différences aux sommes.

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. SjJ

54. Ces sommes ou ces intégrales représentent, comme l'on voit, des

aires de la courbe dont les coordonnées sont a; et il faut que ces aires ne commencent qu'aux points où «r = o, et où les abscisses sont Ih't et — Ih't; mais il est plus commode de les faire commencer à l'origine commune des abscisses, qui est l'extrémité antérieure de l'axe /. Pour cela, il faudra retrancher de l'aire qui commence à ce point, et qui répond à l'abscisse X H- Ih^t, l'aire qui répond à l'abscisse Ih^t^ pour que l'aire restante n« commence qu'au point où x = o ; et quant à l'aire qui répondra à l'abscisse X — /A'^, il faudra y ajouter Taire relative à — /A'^, pour en rapporter le commencement au même point de l'origine des abscisses.

Dénotons en général par {fadx)^ toute aire qui commence à cette origine et qui répond à une abscisse quelconque x; d'après ce que nous venons de dire, on aura, dans l'expression de Ç^,

Sa^wA^.Da: = {Jccdx)^^,^., -h {fadx)^^,.

On substituera donc ces valeurs, et l'on remarquera qu'on a, en général,

puisque, par la nature de la courbe des a, les ordonnées qui répondent à des abscisses égales, mais de signe différent, sont aussi égales et de signe différent; de sorte qu'on a constamment d^f^^ -f- ol__^^^ = o. Donc on aura simplement (article précédent)

55. Donc enfin réunissant les valeurs de ?', et de §^, on aura cette expression générale de 0^, au bout d'un temps quelconque f ,

On aura des expressions semblables pour les variables n,, Ç„ en changeant seulement A' en A et a, a en |3, ^ et 7, 7, et en supposant qu'on ait tracé

de la même manière les courbes correspondantes aux valeurs initiales |3, p et >, y.

Méc. anal. I. ^8

Ayant ainsi les excursions longitudinales 0^ et les excursions latérales w^, ^^ de chaque point de la corde qui répond à l'abscisse x prise dans Taxe, on connaîtra Tétat de la corde au bout d'un temps quelconque t écoulé depuis le commencement du mouvement, et comme les valeurs initiales «, ]3, 7,

ainsi que a, /3, y, sont absolument arbitraires, on voit que rien ne pourra limiter cette solution, tant que les courbes formées d'après ces valeurs auront une courbure continue et ne formeront point d'angles finis, ce qui produi-* rait des sauts dans les expressions des vitesses et des forces accélératrices.

On a supposé (art. 33) h= y j^' ^'= VTyî^ ^ étant la longueur de

la corde, et M la masse de tous les poids dont elle est chargée (art. 33); ainsi M sera la masse ou le poids de toute la corde qui est supposée tmiformément épaisse; de sorte que si l'on nomme P sa pesanteur spécifique qui dépend de la densité et de la grosseur, on aura M = /P; par conséquent, on aura

A l'égard des quantités F et F', nous avons vu que ce sont deux constantes, dont l'une, F, exprime la tension de la corde, et est, par conséquent, proportionnelle au poids qui la tend; mais F' dépend de la loi de cette tension, relativement à l'extension de la corde (art. 32).

56. Pour peu qu'on examine la nature des courbes qui représentent les

valeurs de a et ex, il est facile de voir que les ordonnées éloignées entre elles de l'intervalle 2 / seront toujours égales et de même signe, et que les an-es qui se termineront à ces ordonnées seront aussi égales entre elles, parce que toute aire qui répond à un intervalle 2 /, pris dans un endroit quelconque de l'axe prolongé à l'infini, est toujours nulle, étant composée de deux parties égales entre elles, mais de signe contraire.

Il suit de là que la valeur de ^^ demeurera la même si l'on augmente le

temps t de la quantité n ou d'ini multiple quelconque de cette quantité;

donc les excursions longitudinales de la corde reviendront les mêmes au

bout d'un intervalle de temps égal à p ou 2 / \/çr,; c'est la durée des vibrations longitudinales.

Il en sera de même des valeurs de w^ et de ^^, en changeant h! en A, c'està-dire F' en F; ainsi la durée des vibrations transversales sera ^ly y-

Tous les auteurs qui ont traité jusqu'à présent des vibrations des cordes sonores, n'ont considéré que les vibrations transversales, et ils ont trouvé pour leur durée la même formule que nous venons de donner. *

A l'égard des vibrations longitudinales, M. Gbiadni est le seul, que je sache, qui en ait fait mention dans son intéressant Traité d* A caustique , § 43; il donne le moyen de les produire sur une corde de violon, et il remarque que le ton qu'elles rendent n'est pas le même que celui des oscillations transversales, d'où il suit que F' est différent de F; par conséquent, dans l'hypothèse très-vraisemblable que la fwce élastique par laquelle chaque élément de la corde résiste à être allongé, ou tend à se raccourcir, soit proportionnelle à la puissance m de cet élément, c'est-à-dire qu'on ait $ = K{D^)"' (art. 14), il faudra que m soit différent de l'unité (art. 32); et si, comme M. Ghladni paraît l'insinuer, le ton longitudinal est toujours plus élevé que le transversal, il faudra que F' > F, et, par conséquent, m > i .

37. Nous avons vu (art. 36) qu'une corde tendue, de la longueur / et

chargée de n corps, peut se mouvoir comme si elle n'avait qu'une longueur -?

V étant un diviseur de /« -H i . Lorsque n est un nombre infini, v peut être un nombre entier quelconque ; ainsi une corde sonore de la longueur / pourra

osciller comme une corde dont la longueur serait j > c'est-à-dire une partie

aliquote de /, et la durée de ses oscillations se réduira alors ^ — y pv pour

les oscillations longitudinales, et à — y ^^ pour les oscillations transversales*

En effet, si les valeurs initiales et arbitraires a et a sont telles, que les courbes ou les lieux de ces valeurs sur l'axe / coupent cet axe en deux ou en y parties égales, et que les branches qui répondent à ces parties soient les mêmes, mais situées alternativement au-dessus et au-dessous de l'axe, de manière qu'à distances égales de part et d'autre de chacun de ces points d'intersection, les ordonnées soient égales et de signe contraire; ces courbes étant ensuite prolongées à l'infini, suivant la construction de l'art. 49, auront

38o MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

la même forme que si elles provenaient d'une corde dont la longueur ne

serait que -> et l'expression générale de f, (art. 52) fait voir que les valeurs

de Ç qui répondent aux points d'intersection sont toujours nulles ; de sorte que la corde, dans ses oscillations longitudinales, se partagera d'elle-même en autant de parties égales, qui oscilleront comice si leurs extrémités étaient fixes.

11 en sera de même par rapport aux oscillations transversales représentées par les variables w et ^.

58. Comme le ton que donne une corde sonore ne dépend que de la durée de ses oscillations isochrones, laquelle, pour une même corde tendue, est proportionnelle à sa longueur, il s'ensuit qu'une corde, en se partageant ainsi d'elle-même en parties aliquotes, rendra des tons qui seront au ton principal, dans lequel l'oscillation est entière, comme les fractions qui expriment ces parties sont à l'unité. x\insi, si la corde se partage en deux, trois, quatre, etc., parties égales, ces tons seront exprimés par les fractions {, {, j, j, etc., et seront, par conséquent, à l'octave, à la douzième, à la double octave, à la dix-septième, etc., du ton fondamental.

On a[)pelle ces tons qu'une même corde peut donner d'elle-même, tons harmoniques y et Ton sait qu'on peut les produire à volonté, en louchant légèrement la corde pendant sa vibration, dans un des points de division qu'on nomme nœuds de vibrcUion, d'après Sauveur, qui a expliqué le premier, par ces nœuds, les sons harmoniques de la trompette marine et des autres instruments, dans les Mémoires de V Académie des Sciences de 1701. Wallis les avait déjà observés dans les cordes qui sont à l'octave, à la douzième, à la double octave, etc. , au-dessous d'une corde qu'on fait résonner, et qui frémissent en se divisant naturellement en deux, trois, quatre, etc., parties égales, dont chacune donnerait le même ton que la corde qu'on Tait résonner. Ployez le chapitre 107 de son Algèbre,

59. La théorie et l'expérience sont bien d'accord sur la production des sons harmoniques ; mais il n'est pas aussi facile de rendre raison de ce qu'on appelle, d'après Rameau qui en a fait la base de son Système, la résonnance du corps sonore, et qui consiste dans la réunion des sons harmoniques avec le son principal de toute corde qu'on fait résonner d'une manière quelconque.

Si ces sons harmoniques sont, en effet, produits par la même corde, en même temps que le son principal, il faut supposer que la corde fait à la fois des vibrations entières et des vibrations partielles, et que ses vibrations effectives sont composées de ces différentes vibrations, comme tout mouvement peut être composé ou regardé comme composé de plusieurs autres mouvements.

Nous avons déjà vu plus haut (art. 47) qu'on ne peut expliquer d'une manière plausible la coexistence des sons harmoniques, par la formule de Daniel Bernoulli ; on peut ajouter que les séries qui pourraient donner ces différents sons disparaissent de la formule, lorsqu'on suppose le nombre des corps infini, et qu'il en résulte, pour chaque point de la corde, une loi d'isochronisme simple et uniforme, qui dépend immédiatement et simplement de l'état initial, comme nous venons de le démontrer.

Au reste, si l'on voulait à toute force expliquer la résonnance multiple des cordes par les vibrations composées, il faudrait regarder la figure initiale, par exemple, comme formée de différentes courbes superposées Tune à l'autre, de manière que l'une serve d'axe à la suivante, et dont la première ne forme qu'une branche dans toute l'étendue de la corde; la seconde forme deux branches égales et placées symétriquement, qui divisent l'axe en deux parties égales; la troisième forme trois branches égales qui divisent l'axe en trois parties égales, et ainsi de suite.

Alors les vibrations de la corde pourront être regardées comme composées de vibrations entières dans toute la longueur de la corde, et de vibrations qui ne répondent qu'à la moitié de la corde, au tiers, au quart, etc. Mais cette composition de courbes et de vibrations n'étant qu'hypothétique, les conséquences qu'on pourrait en déduire, relativement à la coexistence des sons harmoniques, seraient tout à fait précaires.

60. Revenons à la formule générale trouvée dans l'art. 55. Comme les quantités «^^^v, et a^^;^, sont les coordonnées d'une courbe donnée, qui répondent aux abscisses x -+- Ih't et x — llit^ on peut les représenter par des fonctions de ces abscisses de la même forme. Ainsi, en désignant par la caractéristique F une fonction indéterminée, on aura

^x^/.. = F (x H- Ih't), «,..,^, = V{x- Ih't).

Pareillement, en prenant une autre fonction désignée par la caractéristique f, on pourra faire

{f«dx)^^, = f{x^lh't), ifadxl^^,= f{x-lh't).

Ainsi l'expression de Ç^ (art. 55) pourra se mettre sous cette forme,

ç F{x-hIh't)^F{x — lh'i)

{ (X -h Ih' t) -^ f {X — IhU)

ni? '

dans lesquelles les fonctions marquées par les caractéristiques F et f sont arbitraires, puisqu'elles dépendent de l'état initial de la corde.

On peut même réduire cette expression à une forme plus simple, en obser-

vant que — ^ H — ^ — m — - ne représente proprement qu une tonc-

tion de x -h Ih't qu'on peut marquer par la caractéristique *, et que

^ ~ ^ „ ; — ^ ne représente aussi qu'une seule fonction de .r — //it,

mais différente de la précédente, et qu'on peut marquer par une autre caractéristique W .

De cette manière, l'expression générale de ^ deviendra simplement

^ = <D (a: H- Ih't) + V (a: — Ui't).

61 . On peut parvenir directement à cette expression par l'équation différentielle qui détermine la variable ^ (art. 51). Cette équation, en faisant

— = o et F' constant, comme dans l'art. 52, et changeant la caractéristique D des différences finies dans la caractéristique d des différences infiniment petites, devient

Si maintenant on fait df= doc, dm = -y— et A'= v/rjrf» cette équation devient

laquelle est aux différences partielles du second ordre, entre les trois variables ^^ X ettj et qui a pour intégrale complète

^ = <b{x -j- Ih't) -h V {x — Ih't) ,

les signes 4» et Y dénotant deux fonctions arbitraires comme ci-dessus. Ces fonctions doivent être déterminées par Tétat initial de la corde, et par

les conditions que ses deux bouts soient fixes. Si on les décompose en deux

autres fonctions marquées par les signes F et f, et telles que $ = - h — jj-,

et y = JT7J de manière que l'on ait

(Ix-^lh't) ~{(x — lhU)

comme nous l'avons déduit de notre construction; la première condition donnera , en faisant £ = o ,

^ = Fx = oc et ^ = {'x = a;

d'où l'on tire

ix =i Jadx;

ainsi on a tout de suite les valeurs des fonctions F a? et f a: dans toute l'éten-

due / de la corde, par le moyen des valeurs initiales a et a.

Les conditions de l'immobilité des extrémités de la corde donnent*^ = o, lorsque a: = o et lorsque ^ = /, quelle que soit la valeur de ^ En assujettissant séparément, ce qui est permis, à ces deux conditions, les deux fonctions F et f, on a pour la première,

F(— Ih't) = - F (Ih't), F{l-+-lh't) = — F(/ — Ih't), et pour la seconde,

f ( Ih't) = f{lh't), f (/ -h Ih't) = f (/ — Ih't), ce qui donne par la différentiation

-• {'{— Ih't) = f'ilh't), f'{l -h Ih't) = - {'{l — Ih't),

OÙ l'on voit que les conditions de la fonction f sont les mêmes que celles de la fonction F.

Ces conditions déterminent les valeurs des fonctions Fx, f'x pour le» abscisses x négatives ou plus grandes que /, d'après les valeurs de ces fonctions pour les abscisses comprises entre o et /; et il est facile de voir qu'il en résulte les constructions données dans les art. 52 et 53.

Si, au lieu des excursions longitudinales ^, on considère les excursions transversales « ou Ç, on a la même équation différentielle, et, par conséquent, aussi la même intégrale et les mêmes constructions, en changeant seulement

h' en A, efe a, a en /3, /3 ou en y, y.

Ces constructions sont semblables à celle qu'Euler avait donnée pour déterminer la figure de la corde dans un instant quelconque, d'après sa figure initiale, en faisant abstraction des vitesses imprimées au commencement du mouvement. Mais il faut remarquer que, comme elles ne sont fondées ici que sur les fonctions qui représentent les intégrales des équations aux différences partielles, elles ne peuvent avoir plus d'étendue que ne comporte la nature des fonctions, soit algébriques ou transcendantes. Or l'équation différentielle étant la même pour tous les points de la corde et pour tous les instants de son mouvement, la relation qu'elle représente doit régner constamment et uniformément entre les variables, quelque étendue qu'on leur donne ; par conséquent, quoique les fonctions arbitraires soient en ellesmêmes d'une forme indéterminée, néanmoins lorsque cette forme est donnée dans une certaine étendue par l'état initial de la corde, il est naturel d'en conclure qu'elle doit demeurer la même dans toute l'étendue de la fonction, et qu'il n'est pas permis de la changer pour la plier aux conditions qui dépendent de l'immobilité supposée des extrémités de la corde.

Aussi d' Alembert, à qui on doit la découverte de cette intégrale en fonctions arbitraires, a toujours soutenu que la construction qui en résulte n'est légitime que lorsque la courbe initiale est telle, qu'elle ait par sa nature des branches alternatives égales et semblables, toutes renfermées dans une même équation, pour que la même fonction puisse représenter cette courbe avec toutes ses branches à l'infini. Euler, au contraire, en adoptant la solution analytique de d' Alembert, a cru qu'il suffisait de transporter la courbe initiale alternativement au-dessus ou au-dessous de l'axe à l'infini, pour en

SECONDK Partie. — là dynamique. 3d5

former une courbe continue, sans s'embarrasser si ses cliflEérentes branehes pouvaient être liées par une iKieme équation, et assujetties à la loi de continuité des fimctiûlis amly tiques. Voyez ies Mémoires de Bertin de 17479 1 7489 et les tomes I et IV <ies Opuscules de d'Akmbert.

62. Gomme les formules qui donnent le mouvement d'une corde tendue et chargée d'un nombre indéfini de corps égaux ne sont sujettes à aucune difficulté, parce que le mouvement de chaque corps est déterminé par une équation particulière, il est évident que si Ton peut appliquer ces mêmes formules au mouvement d'une corde uniformément épaisse, en supposant le nombre des corps infini, et leurs distances mutuelles infiniment petites, la loi qui en résultera pour les vibrations de la corde sera entièrement indépendante de son état initial ; et si cette loi se trouve la même que celle qui se déduit de la considération des fonctions arbitraires, il sera prouvé que ces fonctions peuvent être d'une forme quelconque, continue ou discontinue, pourvu qu'elles représentent l'état initial de la corde. C'est ainsi que je démontrai, dans le premier volume des Mémoires de Turin, la construction d'Ëuler, qui n'était encore fondée que sur des preuves insuffisantes. L'analyse que j'y employai est, à quelques simplifications près que j'y ai apportées depuis, la même que je viens de donner, et j'ai cru qu'elle ne serait pas déplacée dans ce Traité, parce qu'elle conduit directement à la solution rigoureuse d'une des questions les plus intéressantes de la Mécanique.

La généralité des fonctions arbitraires et leiir indépendance de la loi de continuité étant démontrées pour l'intégrale de l'équation relaâve aux vibrations des cordes scmores, on est fondé à admettne cesfonodons, de la même manière, dans les intégrales des auti^es équations aux différences partielles; j'ai même fait voir, dans le second volume des Mémoires cités, comment on pouvait intégrer plusieurs de ces équations, sans la considération des fonctions arbitraires, et parvenir aux mêmes solutions que l'on trouverait par le moyen de ces fonctions, envisagées dans toute leur étendue.

Maintenant, le principe de la discontinuité des fonctions est reçu généralement pour les intégrales de toutes les équations aux difSérences partielles ;

Méc. anal, I. 49

et les constructions que M. Monge a données d'un grand nombre de ces équations, jointes à sa théorie de la génération des surfaces par les fonctions arbitraires, ne laissent plus aucune incertitude sur Temploi des fonctions discontinues dans les problèmes qui dépendent des équations de ce genre.