PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE

18. Quant à la nature du principe des vitesses virtuelles, il faut convenir qu'il n'est pas assez évident par lui-même pour pouvoir être érigé en principe primitif; mais on peut le regarder comme l'expression générale des lois de l'équilibre, déduites des deux principes que nous venons d'exposer. Aussi, dans les démonstrations qu'on a données de ce principe, on Ta tou^ jours fait dépendre de ceux-ci, par des moyens plus ou moins directs. Mais il y a, en Statique, un autre principe général et indépendant du levier et de la composition des forces, quoique les mécaniciens l'y rapportent communément, lequel paraît être le fondement naturel du principe des vitesses virtuelles; on peut l'appeler le principe des poulies.

Si plusieurs poulies sont jointes ensemble sur une même chape, on appelle cet assemblage poUspaste ou moufle , et la combinaison de deux moufles, l'une fixe et l'autre mobile, embrassées par une même corde dont l'une des extrémités est fixement attachée, et l'autre est attirée par une puissance, forme une machine dans laquelle la puissance est au poids porté par la moufle mobile, comme l'unité est au nombre des cordons qui aboutissent à cette moufle, en les supposant tous parallèles et faisant abstraction du fi'ottement e\ de la roideur de la corde ; car il est évident qu'à cause de la tension uniforme de la corde dans toute sa longueur, le poids est soutenu par autant de puissances égales à celle qui tend la corde qu'il y a de cordons qui soutiennent la moufle mobile, puisque ces cordons sont parallèles et qu'ils peuvent même être regardés comme n'en faisant qu'un, en diminuant, si Ton veut, à l'infini le diamètre des poulies.

En multipliant ainsi les moufles fixes et mobiles, et les faisant toutes embrasser par la même corde, au moyen de différentes poulies fixes de renvoi, la même puissance, appliquée à son extrémité mobile, pourra soutenir autant de poids qu'il y a de moufles mobiles, et dont chacun sera à cette puissance comme le nombre des cordons de la moufle qui le soutient est à l'unité.

Substituons, pour plus de simplicité, un poids à la place de la puissance, après avoir fait passer sur une poulie fixe le dernier cordon qui soutient ce poids, que nous prendrons pour l'unité; et imaginons que les différentes moufles mobiles, au lieu de soutenir des poids, soient attachées à des corps regardés comme des points, et disposés entre eux en sorte qu'ils forment un système quelconque donné. De cette manière, le même poids produira, par le

s 2 MECANIQUE ANALYTIQUE.

moyen de la corde qui embrasse toutes les moufles, différentes puissances qui agiront sur les diffîérents points du système, suivant la direction des cordons qui aboutissent aux moufles attachées à ces points, et qui seront au pœds comme le nombre des cordons est à l'unité; en sorte que ces puissances seront représentées elles-mêmes par le nombre des cordons qui concourent à les produire par leur tension.

Or il est évident que, pour que le système tiré par ces différentes puissances demeure en équilibre, il faut que le poids ne puisse pas descendre par un déplacement quelconque infiniment petit des points du système (*) ; car, le poids tendant toujours à descendre, s'il y a un déplacement du système qui lui permette de descendre, il descendra nécessairement et produira ce déplacement dans le système.

Désignons par a, |3, 7, etc., les espaces infiniment petits que ce déplacement ferait parcourir aux différents points du système suivant la direction des puissances qui les tirent, et par P, Q, R, etc., le nombre des cordons des moufles appliquées à ces points pour produire ces mêmes puissances; il est visible que les espaces a, /3, 7, etc., seraient aussi ceux par lesquels les moufles mobiles se rapprocheraient des moufles fixes qui leur répondent, et que ces rapprochements diminueraient la longueur de la corde qui les embrasse des quantités Pa, Qp, R7, etc. ; de sorte qu'à cause de la longueur invariable de la corde, le poids descendrait de l'espace

Pa4-Q/3 H- R7 -h ....

Donc il faudra, pour l'équilibre des puissances représentées par les nombres P, Q, R, etc., que l'on ait l'équation

Pa -h Q/3 -h R> •+- ... = o,

ce qui est l'expression analytique du principe général des vitesses virtuelles.

19. Si la quantité Pa -h Q|S H- R7 -f- ..., au lieu d'être nulle> était négative, il semble que cette condition suffirait pour établir l'équilibre,

(*) On a objecté , avec raison, à cette assertion de Lagrange Fexeniple d*un point pesant en équilibre au sommet le plus élevé d'une courbe; il est évident quu'n déplacement infiniment petit le ferait des* cendre, et, pourtant , ce déplacement ne se produit pas. La première démonstration rigoureuse du principe des vitesses virtuelles est due à Fourier [Journal de l'École Polytechnique , tome II, an vu). Le même cahier du Journal contient la démonstration que Lagrange reproduit ici. (/. Bertrand, )